折纸图案解决了一个主要的物理谜题——振幅多面体（amplituhedron）

★加星zzllrr小乐公众号数学科普不迷路！

振幅多面体（amplituhedron）是粒子物理学核心的一种形状，似乎与折纸数学有着密切的联系。

图源：Ibrahim Rayintakath / Quanta Magazine

作者：Kevin Hartnett（量子杂志特约撰稿人）2025-10-6

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-10-7

振幅多面体（amplituhedron）是一种几何形状，具有近乎神秘的性质 https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/ ：计算它的体积，你就会得到物理学中关于粒子如何相互作用的中心计算的答案。

现在，康奈尔大学一位名叫帕维尔（帕夏）加拉辛——Pavel (Pasha) Galashin的年轻数学家发现，振幅多面体也与另一个完全不相关的学科神秘地联系在一起：折纸（origami）艺术。在2024年10月发布的证明中 https://arxiv.org/abs/2410.09574 ，他证明折纸中出现的模式可以转化为一组点，这些点共同形成振幅多面体。不知何故，纸张折叠的方式和粒子碰撞的方式产生了相同的几何形状。

“帕夏之前做过一些与振幅多面体相关的出色工作，”普林斯顿高等研究院的物理学家尼玛·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）说，他于2013年与当时的研究生雅罗斯拉夫·特恩卡（Jaroslav Trnka） 一起推出了振幅多面体 https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/ 。“但这对我来说是更进一层的东西。”

通过利用这种与折纸的新联系，加拉辛还能解决一个关于振幅多面体的开放猜想，物理学家长期以来一直认为这是正确的，但无法严格证明：形状确实可以切割成更简单的构建块，从而对应于物理学家想要进行的计算。换句话说，振幅多面体的各个部分确实按照它们应该的方式组合在一起。

结果不仅仅是在两个看似不同的研究领域之间架起一座桥梁。加拉辛和其他数学家已经在探索这座桥还能告诉他们什么。他们正在使用它来更好地理解振幅多面体，并在更广泛的环境中回答其他问题。

爆炸性计算

物理学家想要预测当基本粒子相互作用时会发生什么。假设两个称为胶子（gluon）的亚原子粒子发生碰撞。它们可能会原封不动地相互反弹，或者转化为一组四个胶子，或者做别的完全不同的事。每个结果都以一定的概率发生，该概率由称为散射幅度（scattering amplitude）的数学表达式表示。

费曼图（Feynman diagram）用于计算粒子碰撞导致某种结果的可能性。

图源：Mark Belan/Quanta Magazine

几十年来，物理学家通过以下两种方式之一计算散射幅度。第一种方法使用费曼图 https://www.quantamagazine.org/how-feynman-diagrams-revolutionized-physics-20190514/ ，描述粒子如何移动和相互作用的波浪线图。每个图表代表一个数学计算；通过将与不同费曼图相对应的计算相加，你可以计算给定的散射幅度。但随着碰撞中粒子数量的增加，你需要的费曼图数量呈爆炸性增长 https://www.quantamagazine.org/strange-numbers-found-in-particle-collisions-20161115/ 。事情很快就会失控：计算相对简单事件的散射幅度可能需要将数千甚至数百万项相加。

第二种方法于2000年代初引入，称为BCFW递归（BCFW，Britto-Cachazo-Feng-Witten，布里托-卡查索-冯波-威滕）。它将复杂的粒子相互作用分解为更小、更简单的相互作用，更容易研究。你可以计算这些更简单相互作用的幅度，并使用称为图（graph）的顶点和边的集合来跟踪它们。这些图告诉你如何将更简单的相互作用重新拼接在一起，以计算原始碰撞的散射幅度。

这些图跟踪复杂的BCFW递归公式。

BCFW递归比费曼图需要更少的工作。你可能只需要将数百项相加，而不是将数百万项相加。但这两种方法都有相同的问题：最终的答案通常比过程中所需的大量计算要简单得多，许多项最终会被抵消。

然后，在2013年，阿卡尼-哈米德和特恩卡有了一个令人惊讶的发现：粒子碰撞的复杂数学实际上是伪装的几何学。

被几何学拯救

2000年代初期，麻省理工学院的数学家亚历山大·波斯特尼科夫（Alexander Postnikov）正在研究一种被称为正格拉斯曼流形（positive Grassmannian）的几何对象。

自1930年代以来，正格拉斯曼流形一直是数学界感兴趣的主题，它是以高度抽象的方式构建的。首先，以n维空间为例，并考虑位于其中的某个给定较小维度的所有平面。例如，在我们居住的三维空间中，你可以找到无限多的平坦的二维平面，它们向各个方向展开。

每个平面——本质上是更大的n维空间的切片——都可以由称为矩阵（matrix）的数字数组定义。你可以从该矩阵中计算某些值，称为余子式（minor），这些值告诉你平面的性质。

帕维尔·加拉辛 （Pavel Galashin） 在折纸和粒子物理学之间建立了联系。

图源：Pavel Galashin

现在只考虑你空间中那些余子式都是正数的平面。所有这些特殊的“正”平面的集合为你提供了一个复杂的几何空间——正格拉斯曼流形。

为了理解正格拉斯曼流形丰富的内部结构，数学家将其划分为不同的区域，使得每个区域由具有特定模式的各种平面组成。波斯特尼科夫希望让这项任务变得更容易，他想出了一种方法来跟踪不同区域以及它们如何组合在一起。他发明了他所说的“平面双色图”（plabic graph，单词plabic是planar bicolored的缩写）——由边连接的黑白顶点网络，绘制后没有边交叉。每个plabic图刻画了正格拉斯曼流形的一个区域，为数学家提供了一种视觉语言，否则将由密集的代数公式定义。

在波斯特尼科夫推出他的平面双色图近十年后，阿卡尼-哈米德和特恩卡试图计算各种粒子碰撞的散射幅度。当他们努力研究BCFW递归公式时，他们注意到了一些不可思议的事情。他们用来跟踪计算的图看起来就像波斯特尼科夫的平面双色图。出于好奇，他们开车去麻省理工学院见他。

“午餐时我们说，‘这很奇怪，我们看到的是完全相同的东西，’”阿卡尼-哈米德回忆道。

他们是对的。为了计算n个粒子碰撞的散射幅度，物理学家必须将许多BCFW项相加——这些项中的每一项都对应于n维的正格拉斯曼流形的一个区域。

阿卡尼-哈米德和特恩卡意识到，这种几何联系可能使计算散射幅度变得更加容易。使用有关粒子碰撞的数据（例如粒子的动量），他们定义了正格拉斯曼流形的低维阴影。这个阴影的总体积等于散射幅度。

因此，振幅多面体诞生了 https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/ 。

对应于涉及8个胶子的粒子碰撞的振幅多面体的图解。

而使用费曼图，同样的计算大约需要500页的代数内容。

图源：尼玛·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）

图源：Andy Gilmore

这只是故事的开始。例如，物理学家和数学家想要确认，定义正格拉斯曼流形区域的相同平面双色图也可以定义振幅多面体的各个部分——并且这些部分没有间隙或重叠，完美地组合在一起以包含形状的确切体积。这种希望后来被称为三角剖分猜想（triangulation conjecture）：振幅多面体能否干净地三角剖分或细分为更简单的构建块？

证明这一点将巩固阿卡尼-哈米德和特恩卡的愿景：产生粒子碰撞散射幅度（尽管效率低下）的复杂BCFW公式可以理解为振幅多面体构建块体积的总和。

这不是一件容易的事。一方面，从一开始就很明显确实有两个振幅多面体。第一个是用动量-扭量（momentum-twistor）坐标定义的——一种巧妙的数学重新标记，使形状更易于使用，因为它与正格拉斯曼流形和波斯特尼科夫的平面双色图自然相关。数学家们在2021年能够证明这个版本的振幅多面体的三角剖分猜想 https://arxiv.org/abs/2112.02703 。

另一个版本称为动量振幅多面体（momentum amplituhedron），而是直接根据碰撞粒子的动量来定义的。物理学家更关心第二个版本，因为它与真实的粒子碰撞和散射实验使用相同的语言。但用数学来描述也更难。因此，三角剖分猜想仍然开放。

如果动量振幅多面体的三角剖分失败，那么就意味着振幅多面体不是理解计算散射振幅的BCFW公式的正确方法。

十多年来，这种不确定性一直挥之不去——直到对纸张折叠的研究开始提出前进的方向。

寻找大脚怪

帕维尔·加拉辛并没有着手研究折纸或振幅多面体。2018年，作为波斯特尼科夫的研究生之一，他和一位同事刚刚证明了正格拉斯曼流形模型和伊辛模型之间存在有趣的联系，伊辛模型（Ising model）用于研究铁磁体等系统的行为。加拉辛现在正试图从正格拉斯曼流形的角度来理解关于伊辛模型的著名证明——特别是它所表现出的特殊对称性。

在进行证明时——他在接下来的几年里断断续续地回到这个项目——加拉辛遇到了几篇有趣的论文，研究人员使用其他类型的图表来使几何形状更易于处理：折纸折痕图案。这些线条图告诉你怎样折纸来制作鹤或青蛙。

这种折痕图案会产生一只天鹅。

折纸在这里突然出现似乎很奇怪。但多年来，折纸的数学已经出奇地深刻。关于折纸的问题——例如给定的折痕图案是否会产生一种可以压平而不撕裂的形状——在计算上很难解决。现在数学家们已经知道折纸可用于执行各种计算 https://www.quantamagazine.org/how-to-build-an-origami-computer-20240130/ 。

2023年，在探究有关伊辛模型的论文中折纸在做什么时，加拉辛遇到了一个引起他注意的问题。假设你只有有关折痕图案的外部边界的信息，即纸张的边界，折痕将其分成不同的线段。特别是，假设你只有关于这些线段在折叠前后在空间中的位置的信息。你总能找到一个完整的折痕图案，既满足这些约束，又能产生可以正确展平的折纸形状吗？数学家们推测答案是肯定的，但没有人能证明这一点。

加拉辛发现这个猜想很惊人，因为在他通常的研究领域，即处理正格拉斯曼流形，检查物体的边界是获取有关该物体的信息的常用方法。

Jaroslav Trnka（上）和Nima Arkani-Hamed（下）引入了振幅多面体，以便更轻松地执行粒子物理学中的重要计算。

图源：Jaroslav Trnka / UC Davis Dateline；Maximilien Brice Julien-Marius Ordan

但几个月来，他没有取得任何进展。然后他突然意识到：这个问题不仅与他自己的工作有同样的味道。它可以用振幅多面体的语言重写。动量振幅多面体，就是这样。

“这比我愿意承认的时间要长得多，”他说。“你不会想到这种联系，所以你永远不会意识到这一点。你不应该在曼哈顿看到大脚怪。”

但他能证明这一点吗？

忘记平坦

加拉辛考虑了涉及一定数量粒子的碰撞，并从划分为该数量的线段的折痕图案边界开始。

他用一个由两个数字组成的向量来描述每条线段。接下来，他写下了向量，描述了折叠后相同线段的新位置应该是什么。这些是根据他感兴趣的碰撞中粒子动量的信息确定的。

然后，对于每条线段，他将“之前”和“之后”的向量组合成一个四维向量。通过将所有这些向量中的数字列为一组坐标，加拉辛能够在高维空间中定义一个点。这个点并不只存在于高维空间的任何地方——它存在于动量振幅多面体中。

加拉辛证明，关于平折折痕图案的折纸问题的答案确实是肯定的——并且每当可以在给定边界上找到这样的折痕图案时，该边界编码的点必须位于振幅多面体中。

这是一种全新的思考形状的方式。“这是帕夏工作最令人惊奇的地方，这种与折纸的联系只是给了你动量振幅多面体的令人难以置信漂亮的单行定义，”阿卡尼-哈米德说。

加拉辛基于折纸的新解释让他对如何最终解决动量振幅多面体的中心谜题有了想法。如果他能够证明每个折纸派生的点不仅位于振幅多面体内部，而且位于一个非常特定的区域内，那么他就可以解决三角剖分猜想——就像这些区域将锁定在一起而没有间隙或重叠一样。

为此，他设计了一种算法，将边界图案作为输入，并为其分配独特的折痕图案。折痕图案将始终遵循将其与振幅多面体几何形状联系起来的规则：也就是说，折叠时，纸张仍然能够变平。

然后，加拉辛将折痕图案表示为平面双色图：首先，他在折痕图案的每个区域的中间画一个点，如果折叠纸张后该区域朝上，则将其涂成白色；如果该区域朝下，则将其涂成黑色。然后，他在有公共折痕的区域的顶点之间绘制了一条边。

此平面双色图中的边连接共享折痕的区域。

最后，他证明这张图雕刻出了一个振幅多面体区域。由折痕图案的边界编码的点位于该区域内。

这足以解决三角测量问题。如果振幅多面体中的两个区域重叠，即如果振幅多面体中的一个点位于两个不同的区域中，则相当于能够将边界图案与两个不同的折痕图案相匹配。但加拉辛设计了他的算法来产生独特的匹配，所以这是不可能的。同样，该算法也暗示不能有间隙：振幅多面体中的每个点都可以重写为边界，并且每个边界在作为算法的输入时，都整齐地落在一个区域内。

振幅多面体完美地结合在一起。

新梦想

对于数学家来说，证明的优雅性是令人叹为观止的。

“将两个看似不相关的想法联系起来总是非常漂亮的，”哈佛大学数学家劳伦·威廉姆斯（Lauren Williams）说。“我以前从未考虑过折纸折痕图案，所以看到它们与振幅多面体相联系真是太惊讶了。”

加拉辛分享了劳伦的惊讶。“我没有很好的解释为什么折纸的边界是振幅多面体中的点，”他说。“先验地，没有理由让一个与另一个有关系。”但他希望未来的调查能够揭示这种联系的更深层次的原因。

他还希望他的成果能够帮助他实现最初的目标：通过正格拉斯曼流形的视角理解铁磁体模型及相关系统。也许使用折纸会有所帮助。

更广泛地说，物理学家和数学家想看看他们是否可以通过折纸来思考它，从而更多地了解振幅多面体——并在更广泛的粒子碰撞理论计算中运用它。例如，一个目标是能够直接根据振幅多面体的体积计算粒子碰撞的散射幅度，而无需将其分解成碎片。也许继续探索折痕图案和粒子碰撞之间的联系将有助于实现这个梦想。

“作为一名物理学家，我一百万年内都不会想出这个，”阿卡尼-哈米德说。“但我发现这是一个了不起的结果，我想更多地了解它，看看它会告诉我们什么。”

参考资料

https://www.quantamagazine.org/origami-patterns-solve-a-major-physics-riddle-20251006/

https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/

https://arxiv.org/abs/2410.09574

https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/

https://www.quantamagazine.org/how-feynman-diagrams-revolutionized-physics-20190514/

https://www.quantamagazine.org/strange-numbers-found-in-particle-collisions-20161115/

https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/

https://arxiv.org/abs/2112.02703

https://www.quantamagazine.org/how-to-build-an-origami-computer-20240130/

小乐数学科普近期文章

出版社和作家自荐通道

小乐数学科普荐书

·开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙·

让数学

更加

易学易练

易教易研

易赏易玩

易见易得

易传易及

欢迎评论、点赞、在看、在听

收藏、分享、转载、投稿

查看原始文章出处

点击zzllrr小乐

公众号主页

加星★

数学科普不迷路！