反直觉的数学悖论：堵车是因为路修太多了？

交通拥堵是一个全球性的难题，许多城市试图修建新道路来缓解这一问题。然而，一个反直觉的理论——布雷斯悖论指出，增加道路反而可能让交通状况变得更糟。文章将通过一个简单的模型介绍纳什均衡和帕托雷最优，来解释多修路反而更堵车的原因。

撰文 | Josefina Alvarez

翻译 | virens

审校 | 7号机

如果想要减少交通堵塞，也许应该考虑拆掉几条路。如果你不相信的话，请看下面几个案例。

修复后的清溪川 图源 stari4ek.

1990 年 4 月地球日当天，纽约城市中心区一条非常繁忙的道路 42 街被关闭，人们原本以为这将带来交通出行的噩梦，然而，正如 1990 年 12 月 25 日《纽约时报》报道的那样，交通客流实际上有所改善。

2003年，清溪川修复项目在首尔得到实行，该项目拆除了一条六车道高速公路。项目于2005年竣工，除了带来显著的环境效益外，还显著提高了城市交通速度。

类似的，在伦敦，城市规划者也呼吁关闭波士顿地区的部分主街，以及连接博罗和法灵顿地铁站的部分道路。

如果封闭道路有助于改善交通状况，类似的，扩展交通也可能带来负面影响。例如，在20世纪60年代末的德国城市斯图加特，一条新街道被修通，以缓解市中心的交通拥堵。而后，交通拥堵反倒加剧了，主管方不得不拆除了这条道路，交通情况随之得到了改善。

清溪川高速拆除后残留的高架基座

这样的故事实在是太多了，以至于人们猜测，这背后应当有某种数学上的原因。确实如此！在1968年，德国数值与应用数学研究所的数学家迪特里希·布雷斯（Dietrich Braess）证明了“通过增加几条路扩展交通道路的做法会造成交通流量的再分配，并且这种分配会导致交通时长的增长”。在他的工作中，布雷斯假设所有司机都按照利己原则进行行动，也就是说，每个人都会选择让自己通行时长最短的做法，而不考虑其他驾驶者的情况。这个假设也相当准确地反映了交通高峰期心急的驾驶者的行为。

布雷斯观察到的这个现象，如今被称为布雷斯悖论。现如今人们知道，虽然非常反直觉，布雷斯观察到的现象并不是完全是一个悖论，它表明了我们无法很好地预测集体交互的结果。

第 42 街的关闭和清溪川修复项目就是布雷斯悖论的反面例子，即拆除一条或多条道路可以改善沿对应交通网络的通行时间。

你仍然对布雷斯悖论将信将疑吗？下面我们将从一个非常简单的例子出发，一窥其背后的数学原理。

想象一条高速公路

下方图片展示了一个连接A，B两点的交通网。

道路网

在出行高峰期，汽车以每小时 1500 辆的速度从A进入网络，而后司机选择两条路线中的一条：走路线 1 经过桥梁 a，或走路线 2 经过桥梁 b。我们将分别用L和R表示每小时通过路线 1 和路线 2 到达B的汽车数量。该交通系统中，桥梁 a 和 b 是导致交通变慢的瓶颈。现在假设通过这两座桥梁的行驶时间与每小时汽车数量（也就是车流量）成比例。具体来说，我们假设在桥梁 a 上的行驶时间为L/100分钟，桥梁 b 上的行驶时间为R/100分钟。除了两座桥，A B两条路线的其余部分都是通畅的，每条道路除桥梁外的行驶时间为 20 分钟。需要注意，尽管以上假设假设十分合理，但实际的交通网络却仍然是数学建模中相当困难的一类问题。

约翰·纳什，照片拍摄于2008年3月

我们想要知道预期的交通流量分布，也就是每条路线上每小时内通过的汽车数量。为此，我们假设每个司机都通过该网络许多次，以模拟高峰时段繁忙的车流。同时我们假设每位司机已经制定了特定策略，来让自己从A到达B的时间最短。在这个假设下，所有司机花在道路上的通行时间必须相同，否则就存在让司机改变自己的策略的动机。这就是所谓的稳态，或者纳什均衡（以数学家和诺贝尔奖获得者约翰·纳什（John Nash）的名字命名）。纳什的众多贡献之一是分析所谓的非合作博弈，而高峰时段的交通恰好是一个很好的案例。

稍微留心下就会注意到，纳什均衡中的平稳与摆在桌子上的咖啡杯的平稳很不一样。纳什均衡是动态的，也就是说，要维持纳什均衡，系统需要预先被“喂给”一些条件。在我们的例子中，正是每小时以A速度进入网络的汽车维持着这种动态平衡。每个人花在交通上的时间是相同的，意味着在均衡状态下没有人会变得更好，尽管我们已经假设了每个司机都是自私的，会试图最小化自己的通行时间，而不考虑其他司机的利益。换句话说，无论他们是否愿意，每个司机都会受到所有司机决策的影响，这是一种集体交互下的平衡。

我们可以写下每条路分别的通行时长（以分钟为单位）

由于平衡条件，我们知道

此外，L和R的车辆数量加起来应当构成整个网络的车流量。因此，

通过解这两个联立方程，我们发现

因此，总的车流将在两条路线之间均匀分布，每辆车通过该组交通网络的时间为 27.5 分钟。

现在，假设该路网中修起了一条超快速路，其通行时间为 7 分钟。

扩展道路网

新增加的这一条高速路会减少司机通过该路段的时间吗？让我们来分析一下。驾驶员现在可以在三条路线之间进行选择，即之前的两条路线和一条新的路线 3，新的路线3经过桥梁a，驶入快速路，再经过桥梁 b。和之前一样，L是经由路线 1 到达B的车流量，而R是通过路线 2 离开 A 的车流量。此外，C是道路 c 上的车流量。那么，每小时经过桥梁 a 的汽车数量必须是L+C，而每小时经过桥梁 b 的汽车数量必须是R+C。因此，三条路线中每条路线的出行时间将分别是

同样，我们想要找到这三条路线上的车流分布。和之前一样，当所有驾驶员的出行时间相同时，交通将达到稳定状态（或纳什均衡）。因此，在平衡状态下，

我们得到以下两个方程：

此外，网络的总通量告诉我们：

联立三个方程，我们可以解出三个未知数：L、R和C，然后得到所有驾驶员从A到B的通行时长：

新的通行时间为 33 分钟，比之前增加了 20%！

发生了什么？事实证明，这条新的快速路对太多司机来说太有吸引力，导致了该路线上的交通拥挤，并影响了整个网络的性能。司机没有任何理由去切换到其他路线，因为无论他们如何切换，自己的通行时间都会相同。所以，每个人都陷入了最优的困境。换句话说，司机不约而同的利己行为破坏了网络的效率，使得通行时间增加了 20%。经济学家将这种现象称为“无政府主义的代价”。但是，如果司机们达成完全不走路线 c 的通行共识，所有人的通行时间将会随之减少。这个选择意味着在博弈中采用合作策略，而后每位司机在两条旧的路线之间进行无差别的选择。实际上，只有当司机都自主选择最佳路线时才会导致布雷斯悖论，现实中的一部分交通网络中不会发生这种情况，因为这些网络拥有控制系统来进行全局调配。

狡猾的布雷斯悖论

人们很容易接受，当车流量足够小时，布雷斯悖论就不会发生。然而实际观察到的情况是，哪怕交通并不拥挤，司机也出于自私从原来的路线改道到超高速路，因为通行时间并没有增加。

另一方面，人们会认为，车流量的大幅增加会使情况变得更糟。然而，情况并非总是如此。在我们的例子中，科学家们推测，在需求非常高的情况下，会出现“群体智慧”效应，在这种情况下，新路不会被使用。事实上，足够多的司机群体中的个人决策似乎可以优化所有人的行程时间。这一猜想在2009年被马萨诸塞大学伊森伯格管理学院教授、数学家安娜·纳格尼（Anna Nagurney）证实。

在我们的小例子中，代数是帮助我们验证这些想法的方法之一：用变量代替数字，看看变量之间的哪些关系暗示着悖论会或不会发生。也就是说，扩展网络中的通行时间是否大于原始网络中的通行时间。

在结束讨论之前……

……还有几点需要补充。

布雷斯悖论出现在许多语境中。例如，文章《如果我们都追求金发女郎》用一位“极度有吸引力的金发女郎”取代了超高速路，并发现追求者将蜂拥而致（导致原本十分出色的女生无人问津），这与我们得到的结论相吻合。而如果我们将目光聚焦在网络这个概念，那么从计算机网络传输数据和电网输送电力的例子里也能同样观察到这一悖论。此外，2012年，一个国际化的研究小组从理论和实验上证明了布雷斯悖论可能发生在电子系统中。

条条大路通罗马，你准备怎么走？

我们扩展交通网系统的例子表明，在均衡状态下，网络中交通流量的分布不必是最优的。这引出了另一个有趣的概念——帕累托最优，它由经济学家维尔弗雷多·帕累托(1848-1923)提出。帕累托称，如果从某个状态出发，所到达的任何一个状态中，任何一个人情况变得更好都会导致剩余人中至少一人境况变坏，那么当前的资源分配就被称为帕累托最优。

在我们的例子中，网络中的道路就是资源。从减少出行时间的角度来看，选择忽视新的道路会让每个人都受益。因此，扩展网络系统中的平衡状态是纳什均衡的一个例子，并且它不是帕累托最优。

最后，我们要注意，被描述为帕累托最优的资源分配在社会意义上并不一定公平。例如，在一种资源分配中，我独占一切而你一无所有，这种分配是帕累托最优的，因为改善你的命运的唯一方法就是我失去一些东西。因此，一些经济学家尝试修订帕累托最优的概念，其中包括康奈尔大学的拉维·坎伯（Ravi Kanbur），以在原有表述之上增加衡量分配公平程度的量化指标。

本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”，原题目为《天天堵车，还是路修太多了（手动狗头）》，原文链接：
https://plus.maths.org/content/want-less-traffic-build-fewer-roads。

注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能引发版权纠纷。

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