日常事物中的非凡数学

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《量子杂志》

Quanta Magazine

图源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子杂志撰稿人）2025-9-2

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-9-3

数学研究经历了漫长的发展历程。几千年前，许多重大问题都与对物体计数和对形状排序有关，而现代数学则更关注抽象结构和关系、高维空间以及无形的定义。

但数学家们偶尔也会回到现实。毕竟，他们生活在这里，日常生活中遇到的形状和现象可以给他们带来新的、重要的见解。

我想这就是为什么数学和手工常常联系在一起的原因。数学和游戏也是如此。今年早些时候，在西雅图举行的联合数学会议上，有一场艺术展，数学家们可以展示他们创作的精美绘画、电脑图形和雕塑。会议的第三天晚上，许多与会者在结束一天的漫长讨论后回到酒店房间或出去喝一杯，而其他人则前往喜来登酒店的大宴会厅，参加一个公开邀请的编织圈。

当然，即使是数学家也需要休息。但从骰子到绳结再到纸牌游戏，关于看似平凡事物的证明层出不穷，这证明数学家对平凡事物的迷恋远不止消遣。通常，深刻的数学突破可以追溯到关于简单日常事物的闲聊问题。

真正的问题

每个数学家都曾在一张废纸上草草记下过一些公式或观察结果，结果却发现错误，于是揉成一团扔掉。因此，纸张的折叠和褶皱引出了众多数学定理也就不足为奇了。

2022年， 史蒂文·奥内斯（Steven Ornes）在《量子杂志》上发表了一篇文章，https://www.quantamagazine.org/the-new-math-of-wrinkling-patterns-20220922/ ，介绍了数学家伊恩·托巴斯科（Ian Tobasco）为理解皱巴巴的纸张如何从所有可能的形状中，选择出一种看似随机的折叠模式所做的努力。他发现，材料初始形态的不同曲率可以决定它在被揉皱后会形成什么样的褶皱。

最有序的褶皱——折纸（origami）——也是数学界的宠儿。Tobasco在其关于褶皱的研究中，以著名的平行四边形三浦折纸（Miura-ori，由日本天体物理学家三浦公亮发明，灵感来源是蜻蜓的翅膀和树叶的纹路）图案作为参考框架。

2017年，物理学家 Michael Assis 将三浦折纸图案与统计物理学联系起来，对它有了新的理解 https://www.quantamagazine.org/the-atomic-theory-of-origami-20171031/ 。他将折纸图案视为由原子组成的晶格，并将褶皱之间的错位编码为晶体缺陷。这使得他能够揭示折纸结构中的某种相变。“从某种意义上说，这表明折纸是复杂的，”他说道，“它具备现实世界材料的所有复杂性。而最终，这就是你想要的：现实世界的超材料（metamaterials）。”

史蒂夫·纳迪斯 (Steve Nadis) 在2020年与 L. 马哈德文 (L. Mahadevan) 的问答 https://www.quantamagazine.org/l-mahadevan-finds-math-inspiration-in-the-mundane-20201026/ 中也探讨了日本的折纸艺术，以及大脑和肠道组织褶皱的自然形态。马哈德文将世界视为数学实验室，“在平凡中发现崇高”。他还研究了苹果的形状、泥土的开裂以及谷物在牛奶中的结块。

Persi Diaconis 的职业生涯始于职业魔术师，之后转向数学。此后，他证明了许多关于扑克牌的结论，包括著名的“需要洗牌七次才能保证牌完全随机”的原理。事实证明，通过探究魔术的本质，你可以学到很多关于随机性、概率等方面的知识。Erica Klarreich 于2015年为量子杂志报道了部分相关研究成果 https://www.quantamagazine.org/persi-diaconis-mixes-math-and-magic-20150414/ 。

像拓扑学这样更抽象的研究领域听起来可能很奇特，但我们每天早上都会遇到它们。数学家用两种早餐食品来解释拓扑学：咖啡杯和甜甜圈是等同的。我们出门前会用拓扑结系鞋带。数学家们一直在探索构造许多拓扑形状的最极端版本，包括最粗的莫比乌斯带和最优三叶结。

Kevin Hartnett去年的一篇文章分析了最近四项此类突破 （https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-the-best-versions-of-iconic-shapes-20240105/ ），并探讨了数学家如何利用这种理解来提出更深层次、更抽象的问题。

几个月前，又一场构建奇特事物的竞赛终于落下帷幕。四面体——一种由四个三角形面组成的金字塔状结构——是最基本的立体之一，但正如量子杂志撰稿人 Elise Cutts 今年夏天所写 https://www.quantamagazine.org/a-new-pyramid-like-shape-always-lands-the-same-side-up-20250625/ ， “几千年过去了，即使是最简单的形状，也依然充满了谜团”。她的文章描述了其中一个谜团是如何被破解的——不仅在证明中，而且在物理世界中。数学家们构造了一个只能靠四条边中的一条支撑的四面体，这让他们对这种基本形状的性质有了更深入的理解。

在所有这些情况下，有关琐碎和日常的问题对于使数学世界变得更加丰富、更加有趣都至关重要。

网络上的内容

我们都曾在机场等飞机，无聊得盯着大厅的瓷砖地板。但有多少人会用 MathOverflow 来讨论瓷砖的数学问题呢？我收藏了 https://mathoverflow.net/questions/478547/is-there-mathematical-significance-to-the-laguardia-floor-tiles ，下次从拉瓜迪亚机场出发时再用。

视觉艺术的核心是线条和空间，数学家们当然也会对此争论不休。阿尔布雷希特·丢勒创作版画 《忧郁一号》 五百年后，他们仍然无法确定他笔下忧郁的天使究竟凝视着哪个三维形状，或者他只是不擅长透视。Wolfram MathWorld 上的这篇文章 https://mathworld.wolfram.com/DuerersSolid.html 给出了最受欢迎的答案，但完整的争论请见维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_triangular_trapezohedron%C3%BCrer's_solid 。

Ars Technica 报道了四位数学家联合发明的全新骰子，形状奇特却绝对公平。如果你也像我一样，打算让你的 D&D 小组从现在开始掷犰狳骰子，该团队发布了 STL 文件 https://hbaktash.github.io/projects/putting-rigid-bodies-to-rest/index.html ，方便3D打印。

在滑铁卢大学 Craig Kaplan 的这篇精彩的 Mastodon 帖子中，数学家们努力解释一个所有 D&D 玩家都讨厌的现象 https://mathstodon.xyz/@csk/114931260772358327 ——为什么 D12 骰子似乎总是会从桌子上飞出去。Kaplan 通过电子邮件告诉我，这个问题仍未得到解决，但他迫切地期待着一个严格的证明。

参考资料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4867360

https://www.quantamagazine.org/the-new-math-of-wrinkling-patterns-20220922/

https://www.quantamagazine.org/the-atomic-theory-of-origami-20171031/

https://www.quantamagazine.org/l-mahadevan-finds-math-inspiration-in-the-mundane-20201026/

https://www.quantamagazine.org/persi-diaconis-mixes-math-and-magic-20150414/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-the-best-versions-of-iconic-shapes-20240105/

https://www.quantamagazine.org/a-new-pyramid-like-shape-always-lands-the-same-side-up-20250625/

https://mathoverflow.net/questions/478547/is-there-mathematical-significance-to-the-laguardia-floor-tiles

https://mathworld.wolfram.com/DuerersSolid.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_triangular_trapezohedron%C3%BCrer's_solid

https://hbaktash.github.io/projects/putting-rigid-bodies-to-rest/index.html

https://mathstodon.xyz/@csk/114931260772358327

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