山西
一、题目
如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=4，E为AC的中点，AD为角平分线，BE与AD交于点F，则EF的长为______
二、分析与解答
中点：8字全等
角平分线：角平分线定理、平分平行构等腰
解三角形：△ABE中，已知两边和夹角，可求出BE
解法一：解三角形（三角函数）+角平分线定理
过点E作EG⊥AB于点G
AE=2，AG=1，EG=√3，BG=2，BE=√7
由角平分线定理，得 EF/BF=AE/AB=2/3
∴EF=2/5BE=2√7/5
解法二：平分平行构等腰+解三角形
过点E作EG//AB，交AD延长线于点G，过点E作EH⊥AB于点H
AH=1/2AE=1，EH=√3，BH=2，BE=√7
由平分平行构等腰，得 AE=EG=2
∵△EFG∽△BFA ∴EF/BF=EG/AB=2/3
∴EF=2/5BE=2√7/5
解法三：平分平行构等腰+解三角形
过点B作BG//AC，交AD延长线于点G，过点E作EH⊥AB于点H
AH=1/2AE=1，EH=√3，BH=2，BE=√7
由平分平行构等腰，得 AB=BG=3
∵△AFE∽△GFB ∴EF/BF=AE/BG=2/3
∴EF=2/5BE=2√7/5
解法四：平分平行构等腰+8字相似
过点E作EG//AB，交AD延长线于点G，过点E作EH⊥AD于点H
由平分平行构等腰，得 AE=EG=2，EH=1，AH=GH=√3
设FH=x，则AF=√3+x，GF=√3-x
∵△EFG∽△BFA ∴GF/AF=EG/AB
即 (√3-x)/(√3+x)=2/3 解得x=√3/5
由勾股定理，得 EF=2√7/5
解法五：平分平行构等腰+8字相似
过点B作BG//AC，交AD延长线于点G，过点E作EH⊥AD于点H
由平分平行构等腰，得 AB=BG=3，AG=3√3，EH=1，AH=√3，GH=2√3
设FH=x，则AF=√3+x，GF=2√3-x
∵△AEF∽△GBF ∴AF/GF=AE/BG
即(√3+x)/(2√3-x)=2/3 解得 x=√3/5
由勾股定理，得 EF=2√7/5
三、小结
1、中点：特殊三角形的中线（等腰底中线、直角斜中线）、中位线、8字全等、A字相似
2、角平分线：垂两边（性质）、平分平行构等腰
3、特殊角：构造特殊三角形
4、解三角形：2角1边可解，2边和夹角也可解
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