2025山西晋一原创（二）15题（中点、角平分线、特殊角）

一、题目

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=4，E为AC的中点，AD为角平分线，BE与AD交于点F，则EF的长为______

二、分析与解答

中点：8字全等

角平分线：角平分线定理、平分平行构等腰

解三角形：△ABE中，已知两边和夹角，可求出BE

解法一：解三角形（三角函数）+角平分线定理

过点E作EG⊥AB于点G

AE=2，AG=1，EG=√3，BG=2，BE=√7

由角平分线定理，得 EF/BF=AE/AB=2/3

∴EF=2/5BE=2√7/5

解法二：平分平行构等腰+解三角形

过点E作EG//AB，交AD延长线于点G，过点E作EH⊥AB于点H

AH=1/2AE=1，EH=√3，BH=2，BE=√7

由平分平行构等腰，得 AE=EG=2

∵△EFG∽△BFA ∴EF/BF=EG/AB=2/3

∴EF=2/5BE=2√7/5

解法三：平分平行构等腰+解三角形

过点B作BG//AC，交AD延长线于点G，过点E作EH⊥AB于点H

AH=1/2AE=1，EH=√3，BH=2，BE=√7

由平分平行构等腰，得 AB=BG=3

∵△AFE∽△GFB ∴EF/BF=AE/BG=2/3

∴EF=2/5BE=2√7/5

解法四：平分平行构等腰+8字相似

过点E作EG//AB，交AD延长线于点G，过点E作EH⊥AD于点H

由平分平行构等腰，得 AE=EG=2，EH=1，AH=GH=√3

设FH=x，则AF=√3+x，GF=√3-x

∵△EFG∽△BFA ∴GF/AF=EG/AB

即 (√3-x)/(√3+x)=2/3 解得x=√3/5

由勾股定理，得 EF=2√7/5

解法五：平分平行构等腰+8字相似

过点B作BG//AC，交AD延长线于点G，过点E作EH⊥AD于点H

由平分平行构等腰，得 AB=BG=3，AG=3√3，EH=1，AH=√3，GH=2√3

设FH=x，则AF=√3+x，GF=2√3-x

∵△AEF∽△GBF ∴AF/GF=AE/BG

即(√3+x)/(2√3-x)=2/3 解得 x=√3/5

由勾股定理，得 EF=2√7/5

三、小结

1、中点：特殊三角形的中线（等腰底中线、直角斜中线）、中位线、8字全等、A字相似

2、角平分线：垂两边（性质）、平分平行构等腰

3、特殊角：构造特殊三角形

4、解三角形：2角1边可解，2边和夹角也可解