三量子比特系统局域幺正类的全局与双体纠缠

Global and Bipartite Entanglement for Three-Qubit System Local Unitary Classes

三量子比特系统局域幺正类的全局与双体纠缠

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/2448/1/012020/pdf

摘要

多体量子系统的纠缠是量子信息处理领域的重要资源。通过使用一种全局纠缠度量以及“一致性”（concurrence）的概念，本文研究并分类了三量子比特系统的纠缠特性，分类依据为局域幺正（local unitary, LU）等价类。同时讨论了这种分类与三量子比特纠缠多面体之间的联系。

1. 引言

纠缠是多体量子系统的一种非局域性质，没有经典的对应物。如今它已成为量子信息中的宝贵资源 [1,2]。然而，随着组成部分数量的增加，纠缠的类别呈指数增长，其表征变得十分复杂 [3–5]。可以通过局域幺正（LU）变换来减少描述某一特定多体系统所需的参数数量，但这种方法并不能很好地控制不同形式的纠缠表征 [6]。在此背景下，纠缠多面体方法引起了关注，因为它仅涉及局域信息，并能导出有限的纠缠类别 [7–11]。最近的实验表明，这种方法在多体纠缠检测中具有实用性 [8, 9]。由于量子信息协议依赖于量子关联，找到一种量化纠缠程度的方法是一个重要课题。与双体情形不同，在那里可以采用多种方式来刻画纠缠 [12, 13]，在多体情况下尚不存在一种普适的方式来量化纠缠。这一困难可以通过考虑系统的所有二分方式并对双体纠缠取平均来克服。在这种思路下，引入了全局纠缠度量 [14–16]（对应于一组一致性值的算术平均）[17]。该度量不仅提供了关于多体纠缠的信息，也反映了系统中可用的双体资源。

尽管三量子比特系统是最简单的多体纠缠情形，但它在量子理论基础的研究中扮演着重要角色，并在量子信息中有广泛应用 [2]。对于三量子比特系统，纠缠的局域幺正（LU）分类包含五个独立参数，这些参数定义了具有相似纠缠特性的态族 [18, 19]。另一方面，在随机局域操作与经典通信（SLOCC）下，这类系统仅有两种纠缠类别 [20]。关于三量子比特纠缠多面体，已知无论是LU还是SLOCC分类的代表态，都与多面体的某些几何元素相对应 [11, 21]。

本文的目标是拓展当前对纠缠的局域幺正（LU）分类的认识，并阐明其与纠缠多面体之间的关系。基于此目的，我们将研究全局纠缠与双体纠缠特性，并将其与多面体中的某些元素联系起来。

本文结构如下：第2节简要概述三量子比特系统的理论基础，介绍纠缠多面体及其标准形式。第3节我们回顾全局纠缠度量和一致性（concurrence）的定义，并利用三量子比特态的标准形式推导出这两个度量的表达式。第4节中，我们展示并分析由标准形式所导出的不同纠缠类型及其性质。具体来说，通过适当参数化代表向量，我们写出适用于每种纠缠类型的度量表达式，并绘制出这些度量以可视化其性质。在每种情况下，我们都讨论其与纠缠多面体的几何对应关系。第5节给出结论。

2. 三量子比特系统的标准形式与纠缠多面体

一个三量子比特系统的纯态由以下向量表示：

另一方面，处于同一局域操作轨道中的向量将具有相似的非局域性质，原则上可以用于执行相同的任务。在这方面，利用局域幺正（LU）操作可以获得对三量子比特纯态最精细的分类。在该框架下，式(1)中的态 |ψ⟩ 可以被变换为标准形式：

下一节中，我们将简要回顾一些在第4节中用于考察与标准形式（10）所导出的纠缠LU类相关的全局和双体非局域资源的纠缠度量。我们仅关注与三方纠缠相关的类，其中双体纠缠将作为特殊情况出现。

3. 全局与双体纠缠的度量

3.1. 全局纠缠度量

全局纠缠度量定义为一个 n 量子比特态如下 [14–17]：

4. 局域幺正（LU）纠缠类型及其纠缠性质

本节致力于分析不同局域幺正（LU）等价类的全局纠缠与双体纠缠特性。

5. 结论

在本文中，我们研究了在全局纠缠度量和一致性（concurrence）下，三量子比特系统的局域幺正（LU）纠缠类型的性质。同时考虑了其与纠缠多面体（entanglement polytope）之间的关系。所使用的度量是根据第2节中介绍的LU不变量写出的。通过对代表态的傅里叶系数进行参数化，我们得到了这些度量的相应表达式。对于所考虑的各类情况，我们分析并可视化了与每种纠缠类型相关的纠缠特性，并指出了它们与多面体之间的对应关系。此外，针对所有考虑的情形，我们还报告了使各纠缠度量达到最大值的参数。我们的分析还使得研究与多面体中某些元素相关联的纠缠特性成为可能。

原文链接：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/2448/1/012020/pdf