用数学展示人类意识：本杰明·贝茨的几何心理学

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

建筑学中的形态学理论比以往任何时候都更受欢迎，部分原因在于计算技术的飞速发展。然而，如果能从哲学和伦理学的角度来理解这些技术，那么这种快速发展就会更有成效。本杰明-贝茨（Benjamin W. Betts）是维多利亚时代晚期英国的一位建筑师，他被忽视的历史案例是哲学预设对艺术和建筑形态发生学可计算性理论影响的早期实例。本研究的目的是揭示他的动机和灵感来源，并为他的程序提供一种算法。我们使用了唯一一本关于贝茨作品的书籍以及档案材料进行研究。贝茨的符号学和他设计的形态发生程序深受理想主义和东方思想的影响。本文中介绍的Python/Grasshopper 算法可以生成二维贝茨图，既可以作为教育工具，也可以作为欣赏数学形式之美的机会，而且由于参数化，它们还可以提供巨大的多样性。

形态发生是指形态如何出现、演变和消亡。建筑师总是从自然界的形态变化过程中获得灵感。达西·温特沃斯·汤普森（D'arcy Wentworth Thompson，1860-1948 年）在1917年出版的巨著《生长与形态》1 中，首次根据数学原理对生物形态发生进行了系统研究。这种关于形态发生的几何观点对早期现代建筑师产生了显著的影响，这些建筑师了解形态发生的重要性，如勒·柯布西耶、拉斯洛·莫霍利·纳吉、密斯·凡德罗、理查德·巴克明斯特·富勒等。它还启发了雷内·托姆（Rene Thom）于1975年发表的《结构稳定性》一书3 ，该书以托姆的灾难理论为基础，对建筑和城市规划中的形态研究产生了巨大影响。

形态发生的概念也可用于以高性能建筑为重点的范式转变，它还可以成为建筑学新理论框架的核心概念。4形态发生与进化、有机建筑、生物仿生学、设计中的进化思维和生成设计算法等概念有关。

近几十年来，随着计算技术的飞速发展，形态概念作为一种创造变化和快速原型的工具，比以往任何时候都更加流行和强大。基于生物愿望的计算形态发生在建筑和城市化领域有许多应用。这些应用的灵感直接来源于自然界的进化过程，因此为跨学科对话中“生物数字美学”的出现铺平了道路。本文为这一活跃的对话增添了被忽视的本杰明·W·贝茨（Benjamin W. Betts）的历史案例，为研究提供了宝贵的机会。它展示了对形态发生的程序化分步模型的最早尝试之一；算法本身可用于生成来自维多利亚时代理论的参数对象。贝茨的“几何心理学 ”比《生长与形态》出版早 20 年，它提供了一个有趣的案例研究，说明建筑师不仅努力使用，而且还发明了自己的形态学理论，从算法的角度来研究形态发生。

本杰明·W·贝茨提出了一种可计算的形态发生方法，这是他同时代的非可计算理论所缺乏的特征。例如，鲁道夫·斯坦纳（Rudolph Steiner，1861-1925 年）利用形态发生的概念建立了心灵模式与自然和装饰品模式之间的同构关系。克劳德·法耶特·布拉格顿（Claude Fayette Bragdon，1866-1946年）也将人类心灵模式的形态发生与建筑和四维物体的空间模式联系起来。但贝茨与斯坦纳和布拉格顿的不同之处在于，他的理论易于计算，因此可以转化为算法。

贝茨是如何提出建筑中的形态发生思想的？我们如何才能开发出一种绘制二维贝茨图的算法？本文第一部分包括贝茨的生平简介和思想分析。第二部分将介绍几何心理学的理论描述以及Python/Grasshopper算法。

本杰明·W·贝茨（1832-？）

关于贝茨作品的唯一书籍是路易莎·库克（Louisa S. Cook）于1887年收集并出版的《几何心理学或表象科学，B.W. 贝茨的理论和图表摘要》（Geometrical Psychology or The Science of Representation, an abstract of theories and diagrams of B.W. Betts），并附有评论和解释。

寻找设计的数学原理

本杰明·贝茨（Benjamin W. Betts）是一位英国建筑师，他和许多同时代的建筑师和评论家一样，对维多利亚时代的建筑风格并不满意。他认为，建筑风格的随意性是一个值得商榷的假设，必须有一种基于数学的建筑形式生成方法，但不能盲目模仿自然形式。

贝茨出生于1832年，比吉迪昂所说的寻找原则时期（1845-1860年）早10年左右。然而，人们至少可以追溯到19世纪德国建筑师辛克尔（Schinkel）对这一问题的痴迷。在（1820-1830 年）时期，辛克尔一直在寻找一种没有风格的建筑。他的研究受到德国理想主义的影响，认为建筑形式作为我们意识的对象，应该反映绝对的原则，但这种理想主义也是他失败的原因，他称之为“纯粹激进抽象的错误”，其根源在于他对历史的否定。17

19世纪中期的英国，也就是贝茨20多岁学习装饰艺术的时候，风格之争正如火如荼地进行着，支持和反对特定风格的争论往往与宗教和民族主义情绪交织在一起。新哥特式建筑及其热情捍卫者普金（A. W. N. Pugin，1812-1852 年）和约翰·罗斯金（John Ruskin，1819-1900 年）尤其如此。他们认为，基督教建筑具有与异教艺术作品本质上不同的正确风格。

1835年至1851年期间，普金一直在寻找“真正的原则”，他的著作《尖塔和基督教建筑的真正原则》18 和他的建筑装饰原则19 就是这方面的例子。罗斯金也用了大半生的时间来讨伐低级趣味、机器美学和有缺陷的建筑，他自己的原则体现在《建筑的七盏灯》20 等作品中。但是，即使是这些哥特式复兴的最伟大的手和大脑，也不满足于最终的结果，更注重设计的原则而不是特定的风格，既合乎逻辑，也合乎道德。

这些建筑师和评论家也痴迷于真善美的概念。21因此，对他们来说，数学似乎是一个自然的选择，可以将抽象的原则、真理和美统一到一个连贯的体系中，并将其作为逻辑典范提出来。但这一想法在当时并不流行，部分原因是维多利亚时代的建筑与数学之间的关系存在问题，而这种关系的根源在于19世纪初。贝茨将设计原则抽象化，并将数学作为其工作的基础。

几何心理学的诞生

为了找到正确的设计原则，贝茨开始了一段天才与疯狂交界的旅程。他放弃了一切。他放弃了“大有可为”的事业，放弃了家乡、家人和朋友，远走他乡。贝茨在东方，特别是在印度度过了许多年，与文明隔绝。他相信，他在孤独的岁月中发现的是真正的形式法则，一种可计算的形态学理论，既适用于有机形式，也适用于精神形式。由于找不到合适的方式来分享他的理想，又不愿意回到家乡，贝茨决定移居新西兰。也许他认为，新家能为他提供一个比老家更安宁的工作和学习场所。

灵感来源

他的符号学在哲学和精神上源于理想主义、基督教和佛教。宗教信仰领域的多样性反映了维多利亚时期英国宗教运动的多样性和复杂性。除了越来越多的实证主义者之外，我们还可以发现一些艺术家仍然以坚定的基督教价值观为基础，将宗教经文作为他们艺术创作的中心主题。然而，东方文化的影响也很强烈，它不仅是一种外围影响，也是一种动力和灵感来源。

贝茨受到神秘佛教的影响，这似乎是他在印度长期逗留的自然结果。他还相信心灵的力量，并提出他的“表象科学”是一门男性（阿尔法）科学，侧重于身体感官，它需要一门实用的女性（欧米茄）对应科学，称为“决定科学”，侧重于心灵感官，他期望“发展这门科学将主要是女性的任务”。

除了东方的影响，贝茨还受到唯心主义和四维空间形态发生思想的启发，两者都对其理论的形成和发展产生了深刻的影响。

德国理想主义的影响

贝茨作品中的理想主义影响体现在他对数学符号及其象征意义的选择、同构概念的使用以及人类心理的阶段性进化思想上。

贝茨选择数学体系的理由是受到约翰·戈特利布·费希特（Johann Gottlieb Fichte，1762-1814 年）的启发。虽然费希特从未编纂过一套连贯的数学哲学，但他的核心概念确实可以构成一套连贯的数学和几何学理论。22 贝茨从费希特在1794年出版的《知识的科学》（Wissenschaftslehre）中对几何学的论述中得到启发。他欣然接受了这一观点，并将其发扬光大。

唯心主义也给了贝茨同构的概念，以及建模人类心理进化过程的兼容原则。当时的理想主义心理学家正在研究人类思维的发展模型。他们的研究基于以下原则，所有这些都被贝茨纳入了他的理论。首先，应该有可区分的发展阶段。这些阶段应该以这样一种方式模拟心理过程和发展阶段的流程，即感觉和能力的增加是整个进化模型的连续部分。换句话说，感官和官能的发展应该是一个自下而上的过程。应该指出的是，这种想法并不局限于当时的理想主义者。例如，著名的理性主义生理学家w . b . Carpenter(1813-1885)认为，为了理解人类的心理，必须从最底层开始，遵循感官和官能的“连续复杂性”。24唯心主义还断言，模型的结构和它们所模拟的过程之间必须存在某种同构。25因此，贝茨认为他应该提出一个人类心理成长渐进阶段的几何模型，一个建立在另一个之上。 从裸露的意识开始，向感官的发展发展，条件是最终的模型应与人类思维结构同构。 基于这些条件，似乎意识形式的增长应该与自然形式的增长是同构的。但对贝茨来说，对心理形态发生的数学原理的研究将他的理论扩展到了第四维度。

四维空间的形态发生

贝茨是19世纪下半叶对四维感兴趣的群体中的一员。虽然四维空间的概念早在19世纪之前就出现在科学文献中，但在1854年黎曼（G. B. F. Riemann，1826-1866 年）提出他的n维流形之后，四维空间的概念变得更加流行。詹姆斯·霍华德·欣顿（James Howard Hinton，1822-1875年）是一名外科医生和作家，他在自己的理论中使用了四维空间的概念，例如在 1862年出版的《自然界中的生命》中。28 但当时真正对四维空间产生影响的是他的儿子詹姆斯·查尔斯·霍华德·欣顿（James Charles Howard Hinton，1853-1907年），他在1870年至1920年期间对“超空间哲学”产生了重大影响。从1880年出版的《什么是四维空间》开始，查尔斯·欣顿在一系列书籍和文章中将四维空间的观点应用于多个领域，并提出了一种通过投影将“魔方”的四维空间视觉化的方法29。

根据这些教义，奥地利建筑师鲁道夫·斯坦纳（1861-1925 年）利用形态发生的概念，在心智模式与自然和装饰品模式之间建立了同构关系。他的艺术和建筑基于对空间和时间的深奥解释，包括与人类存在的不同方面相对应的各种空间平面的定义。他认为，适当的建筑形式应源于灵魂，由经过变形过程的意识产生，超越三维的熟悉世界，进入更高维度的精神领域。他写了很多书，并设计了第二歌德堂等建筑，这些都反映了他关于形态发生的超越能力的思想。克劳德·法耶特·布拉格顿（Claude Fayette Bragdon，1866-1946 年），美国建筑师，将人类思维模式的形态发生与建筑的空间模式联系起来。布拉格东将人类心智的进步与其空间感知能力联系起来，认为通过视觉化手段感知更高的维度可将人类从充满利己主义因素的三维世界中解放出来。30 人类心智的进化与维度复杂性的增加有关，这一观点促使布拉格东根据四维物体的轴测投影设计出二维装饰物，他在 1915 年出版的《投影装饰物》中称之为“超实体”。

贝茨与斯坦纳和布拉格顿的不同之处在于他提出了一种可计算的方法。他发明了自己的数学模型和符号学；他在1887年前就在自己的形态学理论中使用了四维空间，而斯坦纳和布拉格顿则是在1900年后才使用这一概念。贝茨的《几何心理学》提供了一个有趣的案例，研究了建筑师发明自己的形态学理论和设计程序的努力，这是最早从算法角度研究形态发生的努力之一。

批判性回应

虽然新西兰是一个比英国小得多、不那么复杂的社会，但这个新家园仍然面临着自身的挑战。19世纪新西兰的建筑趋势或多或少反映了英国的情况，但同时也受到当地快速城市化进程以及社会文化动荡和矛盾的影响。贝茨在奥克兰测量部找到了一份三角学“计算器”的工作，并一直干到1887年。这份工作为他提供了稳定的收入来源，让他有更多的时间研究自己的理论：一种用几何图表示人类心理的形态学理论，被称为几何心理学或“表象科学”。

贝茨给约翰·罗斯金写了一封信，其中包括他的理论和图表。罗斯金除了在建筑评论界有很高的地位外，还是伦敦SPR（心理研究学会）的成员。31 因此，贝茨认为他的系统会吸引罗斯金，因为它既是一个生成装饰品的数学系统，也是一个可以解释人类精神力量逐渐发展的模型。罗斯金拒绝了贝茨的观点，并在一封信中写道“艺术创作是一种自发的行为，不受机械和严格的数学规则的限制"。贝茨的理论并不是“艺术创作的规则”，而是人类心灵形态发生的规则，它可以与自然形态和建筑装饰同构，同时也是人类精神生命历程的代表。此外，正如贝茨自己试图解释的那样，贝茨开发的方法并不是确定性的：

“数学定律本身是绝对的、最终的，只要任何知识能够确定，它们就是确定的，但表象科学的基本定律是形式的不确定性，因此是绝对不确定的。”32

在遭到冷淡拒绝后，贝茨对任何著名评论家愿意评论他的作品不抱什么希望。于是，在 “真正的作品就像他的理论一样，永远是男性和女性形式的结合 ”这一信念的驱使下，他给远在英国的姐姐寄去了一封信和一份手稿。但问题是，他的姐姐无法理解他的理论。于是，她决定把信和图表给玛丽·埃弗雷斯特·布尔（1832-1916 年）看，她是布尔代数的创始人乔治·布尔的妻子，也是詹姆斯·欣顿的秘书。

玛丽·布尔发现贝茨与乔治·布尔走的是同一条路，乔治·布尔在表达逻辑思维的尝试中使用了代数语言33。她还发现贝茨的图表既漂亮又有趣，于是开始与贝茨通信。虽然玛丽·布尔批评贝茨的数学技巧不够成熟，比如他对数列的使用过于天真，但她还是尽力把贝茨介绍给她认识的科学家。她向詹姆斯·欣顿和威廉·斯波蒂斯伍德（英国皇家学会会长，1887-1883 年）介绍了贝茨的思想。辛顿和斯波蒂斯伍德对贝茨的想法表现出了兴趣，但他们显然没有时间仔细研究或批判性地评论这些想法。如果贝茨能亲自向这些著名科学家介绍自己的观点，他就能比其他人更好地传播自己的观点，但这是贝茨自愿在新西兰与世隔绝的必然代价。

尽管如此，贝茨仍然是当地科学界的活跃分子。《奥克兰星报》1887年2月9日对他的 Chromographe机器的报道（图 1）34 证明，他是当地有名的科学家。1887年7月4日，《新西兰先驱报》也刊登了一则公告，奥克兰研究所秘书 T. F. Cheeseman 通知会员们每月举行一次会议，会上将宣读贝茨的一篇论文，题为 “关于色彩本质的新实验”（图 2）35。

图1. 从 1887年2月9日《奥克兰星报》的这篇赞美文章中可以看出，贝茨是当地有名的科学家34。

图2. 奥克兰学院宣读贝茨论文的公告，1887年7月4日35。

贝茨并没有将自己的想法用于建筑和装饰品的设计，但他也没有完全脱离建筑。他为许多建筑发明申请了专利，包括被称为“自平衡门窗”的门窗系统。他还发明了一种改进的接线或捆绑瓶塞的方法，以防止瓶塞被瓶内的压力挤出瓶外，他还发明了一种调节贮水池中液体流量的装置。这些发明告诉我们，正如他自己所指出的，建筑的实用性对他非常重要，但除了他的Chromographe（色谱法）使用了他的形式和色彩理论之外，我们找不到他的任何装饰性设计。贝茨本人也没有发表过任何作品。新西兰国家档案馆和当时的报纸上既没有他的照片，也没有他的婚姻或死亡记录。贝茨的作品在艺术界鲜为人知。新西兰的雪莱·辛普森小姐是个例外，她根据“Chromogaphe”机器制作了艺术品，还建造了他的专利门系统。W. E. 纽曼（W. E. Newman）在其设计思维方法和构思图中也提到了贝茨的思想36。

几何心理学或表象科学

几何心理学，顾名思义，是对包括人类意识形态在内的自然形态进化的几何表述，旨在表现人类从最底层到与神意相通的心理进化。它从二维空间开始，扩展到四维空间。

几何语言

该理论由几何元素表示，这些元素遵循从二维空间开始到四维空间结束的阶段性发展算法。贝茨用几何语言来描述人类思维的进化。他写道：

“人类智慧可以通过几何形式作为思想的符号，以一种确定的、在某种程度上也是绝对的方式，在一系列演变中得到证明"。37

贝茨设计的几何系统的元素是直线、圆和点，如表1所示。

如(表2)所示，贝茨交替地为他的意识发展阶段分配积极和消极的标志。积极阶段是客观的，消极阶段是存在和行为的主观层面。随着意识进化过程的进行，表现形式在维度复杂性上增加。

表1。几何心理学的要素。

表2. 形态发生的各个阶段。

形式的阶段性演变

贝茨从动物的感官意识入手，这种意识具有二维表象。这些树叶形状代表了一种没有持续自我意识的意识形式（图3和图4）。

图3。阿尔法(男性)形态。

图4。欧米茄(女性)形态。

接下来是理性感官意识阶段。这是人类精神发展的开端。这一阶段的叶形是正方形，也可以用二维图来表示，在二维图中，叶形是雌雄成对的。在这个“自我满足 ”阶段，雄性叶片的顶角小于直角，呈阳性；雌性叶片的顶角大于直角，呈阴性（图5）。借助贝茨算法的参数化，我们可以比较操作感官数（圆圈数）和开始算术级数的初始值的效果。很明显，在这一发展阶段，所有这些操作的图表形状实际上都保持不变。

图5。阿尔法和欧米伽开始呈现叶子的形状。

在下一阶段，贝茨用一个被称为“较低的道德”的负号引入了他的图表中的χ类，其中的级数是不一致的，因为增加了意志的因素。在这里，人类开始按照他们的意愿工作，自我控制开始发展。这些图表是三维的，它们类似于花朵的花冠。雄花呈喇叭状，雌花呈钟状(图6)。

图6。男性和女性的低级道德阶段。

心理活动阶段紧接着低级道德阶段，带有负号（图 7）。人类开始“牺牲”自己的个人意志，以便将其与“普遍意志”结合起来。在这里，复合尺度再次出现。这两个等级之间的差异既可以被解释为快乐，也可以被解释为痛苦。这些立体花朵的花冠形状并无固定规则可循。不规则的花冠形状，就像叶子的形状一样，代表着认知能力发展的不平衡，因为它是不均衡的。

图7. 通灵阶段

扩展到四维空间

最后一个阶段被称为“直觉知识”，具有正极性。这一阶段的图示是四维的，属于“神秘层面”。他写道：

“......我们最终到达第五维，或科学的基础，或完美的知识，我已经说过，这将在把人类的所有形式还原为数字和和谐中完成，就像宇宙球体音乐的元素一样。”38

当时有几种可视化四维空间的方法，即斯特林厄姆（W. I. Stringham）、39 查尔斯·欣顿（Charles Hinton）、埃德温·阿博特（Edwin A. Abbott）40 等人提出的基于三维切割或投影的方法。贝茨用一种类似于投影的方法将这些形式视觉化，并用同样的方法得出了四维空间的物质形式应该是晶体的结果：

他在第三层地面上绘制了一对对立的形体，并将它们画在相反的方向上，使它们的反向形体重叠在一起，然后通过穿过其突出点的线条将这些反向形体组合在一起，就得到了各种形状的晶体，这些晶体根据他所使用的花冠的尺度而有所不同。因此，他推断，在更高的层面上，物质将是晶体状的；而当实体性与更超然的客观性相融合时，物质可能就不再具有抵抗力了'。41 （图8和图9）

图8. 直观知识阶段，四维形式的二维投影。

图9。直觉知识的阶段，一个四维形式的二维投影的表现。

色彩哲学

贝茨根据自己的色彩哲学选择图表所用的颜色。贝茨相信，“真正的形式或生命科学将从对色彩所揭示的光的规律的分析中产生”，38 他还申请了“Chromographe”的专利，这种仪器可以根据他的图表的不同形式产生不同的颜色，以研究他的色彩理论（图 10 和 11）。

图10. Chromographe 专利详细信息（新西兰国家档案馆--照片由 Shelley Simpson 提供，）。

图11. Chromographe 制作的艺术品。贝茨认为，欧米茄（女性）的形态表现为深蓝色（作品由新西兰的雪莱·辛普森小姐创作）。

“他用硬纸板或锌板剪出各种形状。最明显的Alpha形会产生美丽的深红色波纹。与之相对应的 Omega 形则是深蓝色；稍加修改后则是橙色和紫色的波浪；而任何以不确定性为主的形状则主要产生绿色的波浪，他认为这是稚嫩和不完整的颜色"。38

贝茨试图通过数学的普遍规律来推断形式美的规律，结果发现这是一种可计算的理论。他用几何技术和数列表达人类思维过程的“表象科学”，是形态发生学程序化和可计算理论的最早范例之一。

python/grasshopper脚本

我们在此介绍一种Python算法和一个Grasshopper工具（适用于 Rhino 5），用于生成贝茨图的某些类别。该算法适用于具有单一级数（即 A、H 或 G）的二维图。首先，我们解释一下 Grasshopper 的整体方案（图 12），然后介绍 Python 算法（表 3）。之所以选择Python，是因为它是一种快速原型脚本语言，而Grasshopper可以在三维建模环境中集成 Python 算法并将其可视化，这对于该算法未来的三维扩展可能非常有用（图 13）。

图12。Grasshopper流程。

图13. 一个男性形体的进化和形态发生，从7个感官/心智能力到100个感官/心智能力的算术级数。中间看似杂乱无章的行为以及重组为原始形态/体验的重生都非常有趣。

表3 Python算法

grasshopper程序

输入和输出变量

Python组件的左侧是控制变量，这些变量被输入到 Python 主算法中，而输出则控制着形式的演变。输入变量包括 (级数）级数类型（即算术级数、谐波级数或几何级数）、级数开始时的（起始）值、公差 (cd)、几何级数的（系数）、决定角度比例的（phi）、贝茨用字母表示的项数（比例）（即 F 为 6）、实际活动 (phi)、 F 是 6）、实际活动 (x)（如果关闭，则为反向形式）和 (Ω)（如果打开，则为Ω（雌性）形式（默认为α（雄性）形式））。这些控制在通过主算法后会产生两个输出列表。第一个列表（ang）决定角度刻度，第二个列表（f）决定线的长度和圆的半径。这些变量将由方案的其他部分处理。

组件

首先，角度（ang）会被转换成弧度（由 Rad 组件完成），以输入矢量旋转组件，该组件需要为表格的两半提供正值和负值。然后，输出矢量将决定从中心点（中心组件）出发的直线切线（由直线组件绘制）或直线方向，其长度由 (f) 输出决定。圆 “组件从同样由 ”中心 "组件确定的固定圆心开始，绘制出半径为（f）的所需数量的同心圆。这些线的端点由 “端点 ”组件确定，标记为与圆的交点，并输入到 “内插曲线 ”组件，绘制出最终轮廓的两半，形成平滑的轮廓。

Python算法

Python 脚本组件中的算法首先定义了两个函数（AP() 和 GP()），用于计算算术级数和几何级数（第 6-18 行）。算法随后定义初始列表集，并计算由 (prog) 变量决定的所需序列（第 30-56 行），然后根据计算结果计算角度刻度（第 62-64 行）。然后通过条件语句检查布尔变量 (x)，并在实际活动切换关闭的情况下反转正演形式的线长列表（第 66-71 行）。为了计算欧米茄形式，循环将数列倒序：从数列中的最大值 (div) 开始计算圆的半径（第 73-99 行）。最后一步是逆向计算欧米伽形式的角度列表。(angr) 变量（第 27 行）是 Betts 在表格中使用的实际刻度42 ，用于检查刻度计算是否正确。要得到 (phi >1)，即角域大于 180° 的欧米伽形式，最好关闭一组线条和曲线组件，以得到接近贝茨所画的图表，因为正如他提到的，在这种情况下两条曲线会重叠。否则，重叠的曲线可能适合应用，也可能不适合应用。

例如，要得到 (V F A 0.5 φ 0.5)，可将项数改为 6（F 是第六个字母），Ω 切换为 true，公差的算术级数为 0.5，phi 为 0.5。正常贝兹图的起始值均为 0（零）。对于反面形式，将 “实际活动 ”切换设置为 “假”。对于α 表单，将Ω 切换设置为false。只有当 “真实活动 ”切换为 “真 ”时，才会出现欧米茄表格。这是因为正表单不能有欧米茄（雌性）表单。

代码并不局限于字母表（A-Z），字母表不能超过 24，用户可以根据需要设置起始值的任意间隔。

通过操作起始值，可以获得大量的表格。这些形式可能无法与我们的思维活动一一对应，因为贝茨本人也无法做到这一点，但它们让我们有机会欣赏到数学形式之美，以及由于参数化而带来的无穷变化。

改进和扩展建议

可以改进Python算法，使其更加灵活，为复数级数提供角度和长度刻度的函数和两个输出集。该算法还可以扩展到贝茨提出的色彩哲学。为了提高性能和可移植性，可以用 C 语言编写更强大的算法。由于算法的本质是模块化的，因此很容易编辑或添加其他模块或其他类型的级数到算法中。

通过定义与指定增长曲线相切的圆的法向量，可以添加第三个维度。这将是一个有趣的扩展，因为建筑和城市规划中的形态发生过程具有三维性质。这样，人们就可以体验不同的设置，并产生可用于各种方式的三维物体。如果想测试该理论的极限，也可以通过切割或投影四维图表来获得三维物体。

应用

该脚本可用作设计工具或教育工具。作为一个二维设计工具，它是一个相当有限但有趣的脚本。许多图案系列都可以用作平铺或贝壳图案。库克书中描绘的花形和喇叭形是所有可能的三维图形中最简单的一类。因此，如果能将该算法扩展到三维甚至四维空间，那么它将会更加有用，因为这样就可以用来探索可能的建筑或城市形态族的形态发生。在这方面，该理论的主要弱点在于它没有描述其提出的实体网络的互动规则。因此，像 “涌现 ”这样基于复杂系统内各部分相互作用的形式概念无法应用于该理论。

作为一种教育工具，该脚本可以帮助学生在数学或几何相关课程中更好地掌握不同几何设置和算术级数的动态，也可以作为参数化设计演变历史入门课程的一部分。随着四维空间在教学中的再次普及，该算法的扩展版本可以通过提供四维物体的三维切面，为学习某些空间特质提供机会。

结论

对于建筑师来说，形态发生一直是一个有趣的概念。1917年，达西·汤普森（D'Arcy Thompson）的《论生长与形态》出版后，建筑师们开始从数学的角度理解形态发生，该书启发了现代早期从勒-柯布西耶到富勒的许多建筑师。本杰明·W·贝茨编撰了一套可计算的形态发生理论，可应用于自然形态和建筑装饰。贝茨与斯坦纳和布拉格顿一样，将形态发生的概念与人类思维的进化相对应，并将其领域扩展到了人们所熟悉的三维世界之外。但与同时代人不同的是，他以一种可计算的理论来阐述自己的观点。

这篇文章从对互联网上一张令人着迷的图表的好奇发展成为全面的研究，因为除了理论之外，这个故事及其主人公也给了我们启发。这个过程挑战了我们对可计算形态发生学理论发展的历史理解。我们还了解到，贝茨的理论尽管很有魅力，但却与建筑史脱节，就像申克尔所说的 “纯粹激进抽象的错误”，部分原因是它从未以物理形式具体化。因此，当新的形态发生学理论的发展过程被告知建筑的现实性和物质性时，其成果会更加丰硕。

这项研究通过扩展计算形态发生技术和算法的历史范围，加强了其在服务于可持续城市化和建筑方面的伦理合理性。为此，我们分析了伦理和哲学体系对建筑学新形态发生理论形成的影响的历史案例。在这一案例中，贝茨为形态发生学在建筑、数学和人类的爱与想象力之间的建设性对话中的超越能力提供了一个愿景。

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青山不改，绿水长流，在下告退。

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