重塑对称理论的数学家，获得2025年阿贝尔奖

3月26日，挪威科学和文学学院将2025年阿贝尔奖授予柏原正树（Masaki Kashiwara），以表彰“他在代数分析和表示论领域所作出的奠基性贡献，特别是他在D-模理论的建立以及晶体基的发现。”

挪威科学与文学学院院长Annelin Eriksen评价道：“在过去50余年里，柏原正树持续重塑并深刻拓展了代数分析与表示论这两个数学重要领域。他的研究始终站在当代数学的前沿，激励着一代又一代的数学家。”

柏原正树通过原创性的思考，将代数与分析这两个“数学大陆”连接在一起，随后又把第三块大陆——几何学也纳入其中。他的思想不仅深邃优美，而且开辟出全新路径，启发许多数学家探索未知领域、解决新问题。（图/Peter Badge/Typos1/The Abel Prize）

D-模与方程的存在性

D-模为研究线性偏微分方程组提供了一种代数语言。微分方程描述的是事物如何随时间或空间变化。比如我们会用它们来解答“某辆车在某一点的速度是多少？”“它是在加速还是减速？”等问题。而像柏原正树这样的数学家研究的是线性偏微分方程组。他们关心的不在于如何求出具体解，而是关心这些方程是否有解，以及如果有，其解会具有什么样的性质。

并非每个微分方程在每个点上都存在可定义的解。例如，如果一个函数是 1/x，那么当 x = 0 时，1/x 就趋向于无穷大，这样的点被称为奇点。数学中的一个著名的未解问题——希尔伯特第21问，也被称为黎曼–希尔伯特对应问题，它探讨的就是在复数域中具有奇点的特殊微分方程系统的解。（复数域是一个实数与虚数共存的数学空间。）

在复流形上，微分方程的解在奇点附近可能表现出“绕一圈，解就变”的奇特行为。这种现象称为单值性，而具有此性质的微分方程系统则被称为单值系统。

希尔伯特第21问研究的是我们能否断言某类特定的微分方程系统总具有单值性？以及，我们是否能够准确预测这些具有奇异行为的奇点将在何处出现？

柏原正树借助他的D-模理论，证明了在任意维度下，总存在一个唯一的微分方程，满足所预测的性质。

在建立黎曼–希尔伯特对应的过程中，柏原正树还成功建立了D-模与拓扑学中的“层”之间的联系。在与皮埃尔·夏皮拉（Pierre Schapira）长达50余年的合作中，他们在层的方面取得了深远成果，也为表示论这一重要数学领域架起了一座新的桥梁。

表示论的世界

表示论是一门用代数手段研究对称性的学科。

在日常生活中，我们熟悉各种各样的对称。例如，一个平面上的正方形瓷砖可具有多种对称性——可以旋转四分之一圈、半圈或一整圈；也可以沿对角线或边的中点进行镜像反射；还可以在铺砌的瓷砖地面上平移，形成平移对称。

而立方体这样的三维物体则具有更多的对称性，因为它可以在三维空间中向任意方向旋转、反射或滑动。在更高维的空间中，数学对象的对称性可以更加复杂，具有更多“阶”。

一个物体的各种对称性之间的关系，可以通过代数的一个分支——群论来描述。挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Henrik Abel）在群论方面做出了重要贡献，阿贝尔群就是由他提出的，阿贝尔奖也是以他而命名的。

虽然正方形、立方体等日常物体的对称性是有限的，但像圆或球这样的物体则具有无限多种对称性。例如，你可以围绕一个球体的任意轴旋转，或者让它在穿过中心的任意平面上反射。为了描述这种连续的对称群，挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie）创立了李群的理论，而这一理论也成为了现代物理学和数学的重要支柱。

量子群与晶体基

为了在统计力学等领域使用李群，物理学家们发展出了量子群的概念。而柏原正树则另辟蹊径，提出了全新的应用思路——他发明了晶体基，将量子群的抽象代数结构转化为更加清晰可见的图形，这又在表示论与图论之间建起了新的桥梁。

图论使用“边”连接的“结点”来建模结构和系统。瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1736年开创了图论，并用它解决了著名的“柯尼斯堡七桥问题”。

柯尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）被河流分隔，有两座岛通过七座桥连接对岸。问题是：是否存在一条路径，可以恰好走过每座桥一次并回到起点？欧拉将问题抽象为图形，将桥和地点表示为边与点，最终证明：这样的路径是不存在的。

这种将现实问题抽象为图的方法，如今被广泛应用于计算机科学、化学，甚至地图着色等领域。

柏原正树的晶体基将量子群所描述的组合对称性转化为图。所有具有相同对称性组合的对象，对应于相同的图。如果一个对象具有两种不同的对称性（例如一个结合了旋转和平移的螺旋开瓶器），那么它的图就会分裂为两个不连通的部分。

今天，晶体基已经成为整个表示论中不可或缺的核心工具。

数学世界的桥梁建造者

从D-模理论到黎曼–希尔伯特对应，从晶体基到图论结构，柏原正树始终站在多个数学分支的交汇处，不断搭建桥梁、统一语言、激发灵感。

2025年阿贝尔奖的颁发，不仅是对柏原正树个人贡献的高度肯定，也象征着数学内部不同领域之间联系的不断加深与融合。

#创作团队：

整理：原原

#参考来源：

https://abelprize.no/

#图片来源：

封面图：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize

首图：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize

转载自《原理》微信公众号

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