几何推理的逻辑——2024年海淀区二模第27题

几何推理的逻辑

2024年海淀区二模第27题

数学是一门讲求逻辑的学科，无论是学习还是教学，教与学中的逻辑，最终通过学生解题呈现其思维是否具备严密的逻辑。在新课标第67页中关于定义、命题、定理的要求中，明确写出了“知道数学要合乎逻辑”，并给出了例78来说明，如下图：

当然，这里并非要研究逻辑学的内涵，也无此必要，主要是针对几何综合题中，部分学生在思维逻辑上容易犯的错，以及由此产生的一系列伪证，扒一扒那些看上去正确解答的背后，到底错在哪里，从而更深入理解题目、理解几何、理解数学。

题目

在△ABC中，AB=AC，∠BAC<60°，点D在边AC上（不与点A、C重合），连接BD，平移线段BD，使点B移到点C，得到线段CE，连接DE.

(1)在图1中补全图形，若∠BAC=2∠E，求证：∠CBD与∠CDE互余；

(2)连接AE，若AC平分∠BAE，用等式表示∠CBD与∠BAE之间的数量关系，并证明.

解析：

01

(1)作图如下：

线段CE是由线段BD平移得到，由平移的性质，BD∥CE且BE=CE，因此可证明四边形BCED是平行四边形，于是∠E=∠CBD=x，而在等腰△ABC中，顶角∠BAC=2x，可求其底角∠BCD=90°-x，所以∠CBD+∠BCD=90°，而平行四边形BCED中，DE∥BC，可得∠BCD=∠CDE，所以∠CBD与∠CDE互余；

02

(2)作图如下：

我们先捋一下条件：△ABC是等腰三角形，四边形BCED是平行四边形，AC是∠BAE的角平分线；

需要探究数量关系的两个角分别是∠CBD和∠BAE，其中∠CBD是平行四边形的一个内角，而∠BAE则被AC分成了相等的两部分∠BAC和∠EAC；

不妨设BE、CD相交于点O，对于△ABE，AO是其一边上的中线，同时也是∠BAE的角平分线，这极易令人想起等腰三角形中的“三线合一”，但是，△ABE是等腰三角形吗？题目现有条件并未说明，所以，我们的探究从它是否等腰三角形开始，如下图：

方法一：

由于平行四边形BCED是中心对称图形，因此我们过点E作EF∥AB，交AC延长线于点F，这样就能将∠BAC转移到∠EFD处，由于∠BAC=∠EAC，所以∠EFD=∠EAC，得AE=EF；

由平行四边形BCED得BC=ED，∠ACB=∠FDE，再加上∠BAC=∠EFD，利用AAS判定△ABC≌△FED，则AB=EF，所以得到AB=AE，现在△ABE是等腰三角形了，AO是它的对称轴，所以AO是BE的垂直平分线，于是BD=ED，四边形BCED是菱形；

对于△BCD，它也是等腰三角形，并且有一个底角与△ABC底角重合，所以△BCD∽△ABC，所以∠BAC=∠CBD，于是∠BAE=2∠CBD；

方法二：

分别过点O向AB、AE作垂线OG和OH，如下图：

由于AO是∠BAE角平分线，所以OG=OH，然后在Rt△BOG和Rt△EOH中，利用HL可证其全等，则∠GBO=∠HEO，所以AB=AE，同样可得等腰△ABE，后面的推导同方法一；

解题反思

在学生解题过程中，我发现有几种伪证值得注意：

伪证一：由AO是∠BAE角平分线，并且AO是BE中点，得到△ABE是等腰三角形；

这种思路的错误之处在于，将等腰三角形“三线合一”的条件和结论颠倒了，我们是先有等腰三角形，再有“三线合一”，事实上一个三角形一边上的中线与其对角的角平分线重合，能说明它是等腰三角形，但不能直接得到，需要证明，如下图：

若△ABC中，AD平分∠BAC且点D为BC中点，我们过点D分别向AB、AC作垂线DE和DF，由角平分线定理可知DE=DF，然后在Rt△BDE和Rt△CDF中，利用HL可证其全等，这才有∠B=∠C，最终AB=AC；

这也是前面方法二的主要思路。

若不作这两根垂线，直接想证明△ABD≌△ACD，实际上用的是SSA，这是错误的。

伪证二：

作图如下：

他的作图是这样的，过点B作BO⊥AC，延长BO至点E，使OE=OB，再连接DE和CE；

理由是BD平移至CE，得平行四边形BCED，然后对角线互相垂直，可得菱形BCED，从而AC是BE的垂直平分线，得到等腰△ABE……

显然这并不符合题目中描述的作图顺序，尽管最终得到的图形与前面方法一中的图形一样，但顺序不同，意味着这些几何元素间的逻辑不同，相当于“自我创造”了一道新的题目。

原题中给出的作图顺序是①先平移BD至CE，得平行四边形BCED；②连接AE，给出条件AC平分∠BAE，再去探索∠BAE与∠CBD的关系；

而这位同学的作图顺序是①先平移BD至CE，得平行四边形BCED；②“调整”平行四边形为菱形BCED；把本题中最为精华的部分——证明等腰△ABE，完美规避掉了……

诸如此类的错误在平时练习中还很多，例如在作辅助线时，连接AB，使AB⊥CD等，说明学生在审题时，对图形各元素间的关系没有理解清楚，仅凭看上去像，就得到相应的结论，或者把自已需要的结论假设成立，再在这个假设基础上推导，形成了循环证明。

无论是证明还是作图，内在逻辑非常重要，我们的平时课堂上进行作图操作时，尽量解释操作步骤以及为什么这样作图，并且教学语言要严格遵守规范，越是简单的问题，越不可跳步骤，要知道“道高一尺，魔高一丈”，老师偷的懒，学生会加倍偿还。