学透概念，秒杀压轴——2024年海淀区一模第27题

学透概念，秒杀压轴

2024年海淀区一模第27题

一次普通的轴对称变换，一次普通的旋转变换，能给图形带来哪些变化？

答案是无数种。

我们看到了，一个特殊的含30°角的直角三角形，其中一条短直角边旋转后再轴对称，简单的几何元素，简洁的变换，却让很多学生思考很久才得到解法。而思考出解法的学生又有相当一部分走了弯路，事实上这道题，看透之后，完全可以秒杀。这里没有技巧，没有套路，更没有模型，只有对几何概念的深入理解。

题目

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将线段AC绕点A顺时针旋转α(0 <α≤60°)得到线段ad，点d关于直线bc的对称点为e，连接ae，de.<>

(1)如图1，当α=60°时，用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明；

(2)连接BD，依题意补全图2，若AE=BD，求α的大小.

解析：

01

(1)秒杀思路：连接BE得等边△BDE，等腰△ADE且其顶角为120°，由特殊等腰三角形底边与腰的数量关系得AE=√3AD，即AE=√3BD；

思路详解：连接BE之后，由于D、E关于BC轴对称，所以BD=BE，∠DBC=∠EBC=30°，所以∠DBE=60°，于是得到等边△BDE；

我们知道特殊直角三角形中，AB=2AD，此时点D落在AB上，即为AB中点，由等边△BDE得DE=BD，然后DE=AD，顶角∠ADE=120°，这个特殊等腰三角形中，底是腰的√3倍，可以用三角函数、特殊直角三角形证明，所以结果由此得来；

02

(2)秒杀思路一：作点A关于BC的对称点F，连接EF、CF，如下图：

图中的△ABD≌△FAE，得∠DAB=∠EFA，而∠DAC与∠EFA关于BC轴对称，故∠DAC=∠EFA，所以∠DAB=∠DAC=30°，即α=30°；

思路详解：辅助线作法可得AC=FC，即AF=2AC，而AB=2AC，所以AB=AF，由轴对称可得AD=FE，题目条件给了AE=BD，由SSS判定△ABD≌△FAE；

由∠DAC与∠EFA关于BC轴对称得∠DAC=∠EFA，等量代换后得到∠DAB=∠DAC，而∠BAC=60°，所以α=30°；

秒杀思路二：作点A关于BC的对称点F，连接BE，FE，FB，如下图：

由于D，E关于BC轴对称，因此BD=BE，而BD=AE，则BE=AE，又由AF=AB且∠BAC=60°，得等边△ABF，于是FA=FB，即EF是线段AB的垂直平分线（点E、F到线段AB两端距离分别相等，故点E、F都在AB的垂直平分线上），由三线合一可知∠BFE=30°，∠BAD与∠BFE也关于BC轴对称，所以∠BAD=30°，即α=30°；

思路详解：事实上本法构造出了两次轴对称，第一对是△ABD与△FBE，第二对是△FBE与△FAE，即图中△ABD、△FBE、△FAE互为全等三角形；

解题反思

你凭啥能够秒杀？

其实第1小题的方法非常多，例如连接CD，CE证明菱形ADEC，但如果能够掌握特殊三角形的边长关系，这道题的思考方向就不会错，无论是走含30°角的直角三角形，等边三角形，含120°角的等腰三角形，菱形等，都能够很快找到思路，所以这并不是本题难点。

在第2小题中，旋转只是小道，轴对称才是需要深入理解的对象，在证明全等时，AD=FE就是利用轴对称性质得到的，所以我们在作图时，需要清楚哪些图形是轴对称图形，不妨来翻下教材：

所以轴对称的概念中，两个图形重合是我们要深入理解的，怎么深入？其实我们在学习全等的时候，同样也是用“图形重合”来描述的，所以当两个图形是轴对称关系的时候，全等能干的事，轴对称同样能干！

不妨把全等的性质借用到轴对称上面，两条线段、两个角、两个三角形等，只要它们是轴对称关系，则重合，则全等，则相等……

题目是解完了，我们继续探究这道题，点D在以A为圆心，AC为半径的圆上，其中点E是点D关于直线BC的对称点，因此点E的轨迹与点D也应具备相同的对称性，即点E在以点F为圆心，半径也为AC的圆上，如下图：

而当AE=BD时，点E在线段AB的垂直平分线上，这条直线与圆F有两个公共点，那么另一个公共点又是什么情况呢？如下图：

我们依然可以得到AE=BD，当然，这已经超出了本题的研究范围，此时的点D旋转到△ABC外了，旋转角α=150°+60°=210°；

一点感悟是，这道题解完之后感觉并不算难，方法众多，基本上在套路之外，如果不是对轴对称、旋转有足够深刻的认知，会走很多弯路，实际上在学生思考这道题的时候，也曾出现过尝试用某模型而不得要领的结果，对于少数基础不扎实的学生，在第1小题中出现伪证，把看上去像的结论当作条件。

再次研究这道题，还会发现更多有趣的地方，这三个三角形中，△ABD与△FBE始终是轴对称，而随着点D的旋转，第三个三角形△AFE会和△FBE全等（轴对称），只有当两次轴对称都成型，第2小题的结论就成立了，此时的旋转角α有两个结果，在本题条件限制下，得α=30°.