期末来了：《导数与微分》应知应会题型、求解思路与典型练习（二）

10、抽象函数求导及需要注意的问题

求解思路：对于抽象函数求导要注意以下问题:

(1)求导变量不是函数包含的变量: 如果函数变量与求导变量无关则导数为 0 ，否则导数等于函数关于自己变量的导数乘以自己变量的导数关于求导变量的导数. 即

该公式两种情况都适用，因为 与 无关，则 .

(2)注意函数求导符号的区别：仔细体会以下描述，注意公式、结论中出现的表达式的标准结构!

(3)注意抽象函数的导数的复合结构与原来函数的复合结构一样.

练习: 设 ，求 .

【参考解答】: 原函数的复合结构为

故依据复合函数求导法则，得

结果中的函数 的复合结构和原来函数的复合结构一样，即

故依据复合函数求导法则，得

所以由导数运算的乘法法则与复合函数的求导法则，得

11、隐函数的导数与对数求导法

求解思路: 基于复合函数求导法则与等式两端关于同一变量求导数等式仍然相等的原则，通过对隐函数等式两端关于自变量求导，得到包含函数关于自变量的导数表达式，解关于导数的方程即得导数结果. 隐函数的导数结果中通常既包括自变量，也包括因变量符号.

特别注意，在对两端表达式求导时，注意对因变量(函数变量符号)求导时，先要关于因变量求导, 然后再乘以因变量关于自变量的导数. 对得到的包含导函数的等式两端继续求导，基于一次求导得到的一阶导数表达式结果，可以得到二阶导数.

练习: 设 是由方程 确定的隐函数，求 .

【参考解答】:【法 1】对已知等式两端关于 求导，得

解得

对上式继续求导，得

代入 的表达式，整理得

【法 2】对已知等式两端依次关于 求一阶、二阶导数

两式消去 ， 得

12、幂指函数与连乘、连除结构的对数求导法

求解思路：对于复杂的连乘、除函数和具有幂指结构的函数(包括具有指数函数，或者幂函数结构的复合函数)的函数的导数计算，一般借助于以自然常数为底的指数函数的复合结构和对数函数的运算法则，基于复合函数求导的链式法则求导.

(1)基于复合函数求导法则直接得到

(2)基于隐函数求导法则得到

练习: 求下列函数的导数 .

【参考解答】: (1)【法 1】对等式通常可以基于自然常数为底的指数函数改写方式，然后基于复合函数求导，可以求得幂指函数的导数，即

【法 2】对等式两端取对数，有

由复合函数求导法则，得

代入函数表达式，得

(2)【法 1】对等式两端取对数，有

由复合函数求导法则，得

代入函数表达式，得

【法 2】由于 ，其中

于是可得

13、参数方程确定的函数导数计算方法

求解思路：参数方程求导，一般一阶导数计算考虑公式，

二阶及以上的导数建议直接在低阶导数表达式的基础上基于复合函数求导法则直接求导!求导过程中记住：如果表达式不是求导变量的函数，则一般是先对表达式本身的变量求导，再乘以其变量关于求导变量的导数.

参数方程的导数的结果一般仍为参数表达式.

练习1: 求由参数方程 确定的 的一阶、二阶导数 .

【参考解答】:【法 1】直接公式法.

则由参数方程的二阶导数公式，代入得

【法 2】直接求导，得

继续由复合函数求导法则，对上式关于 求导，得

练习2: 设 ，求 .

【参考解答】:【法 1】由题设可知， 时， . 对第二个等式两端关于 求导，其中 都为 的函数，故得

解关于 的方程，得

从而由参数方程求导公式，得

【法 2】直接对第二个等式两端关于 求导，得

其中 . 代入 ，得

14、极坐标方程确定的函数导数计算方法

求解思路: 极坐标方程确定的函数 的导数转换为参数方程求导来计算导数.

练习: 求极坐标方程 确定的曲线在 对应的点处的切线的直角坐标方程.

【参考解答】：极坐标方程确定的参数方程为

代入 得曲线上对应点处的直角坐标为 . 利用参数方程求导，得

代入 得 . 所以所求切线的直角坐标方程为

15、变化率与相关变化率

求解思路: 函数的导数即为函数所描述的量关于自变量的变换率. 其模型的构建思路为:给自变量一个增量，研究因变量所产生的增量，即

得到 ，取极限即得变化率模型.

相关变化率是指: 在多个变量确定的等式关系中，一个变量的变化会导致其余变量发生相应的变化. 因此，这些变量关于同一变量的变化率之间也满足一定的关系，研究变化率之间关系的问题也就称为相关变化率问题.

解决相关变化率问题的一般步骤可以概括为：

(1)引入相关符号 (数据、变量) 标注、描述数据，统一量纲；

(2)建立相关变量之间的等式关系；

【注】能够画图的一定画图，并将数据标注在图形中，图形有助于关系式的建立;

(3)对所建立的等式两端函数变量关于共同的变量 (一般为时间 ，或其它属性的变量)求导数，得含有导数的关系式；

(4)根据已知条件，代入已知数据，计算出要求的变化率 (导数).

练习: 现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航行，乙船向正东直线航行. 开始时甲船恰在乙船正北 处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 ，此时速度为 15 ; 乙船向东航行了 ，此时速度为 . 问这时两船是在分离还是在接近，两者之间间隔距离变化的速度是多少？

【参考解答】: 设在时刻 甲船航行的距离为 ，乙船航行的距离为 ，两船的距离为 , 则

将上式两边对 求导， 得

当 时， . 且有 . 因此，

则 ，即两船是相互离开的，并且速度为 3 .

16、一元函数的微分及基本计算法

求解思路: 函数 的微分为

故微分的计算完全可以归结为导数的计算. 函数可微是函数可导的充分必要条件.

【注】是与 无关的量. 没有给出具体数值，则微分一定是后面带有 乘项的表达式（微分结果干万不能漏了 ).

练习1: 求函数 在 处取 时的函数值的增量与微分.

【参考解答】：由增量 与微分 的定义，有

练习2: 设 在 处连续，试求 在 处的微分.

【参考解答】: 由于 在 处连续，于是

故 .

【注】因为没有给出 可导的条件，故能直接对 利用乘法法则求导!

17、应用微分运算法则与形式不变性解题

求解思路: 微分的计算可以转换为计算导数的实现; 同样，导数的计算也可以通过微分来计算. 尤其是方程确定的隐函数导数的计算，可以基于微分运算法则与微分的形式不变性 (保持因变量微分形式不变)，通过两端求微分，再两端除以自变量的微分来得到导数结果.

练习: 求下列函数或等式确定的函数 的微分.

【参考解答】：(1)【法 1】由求导乘法法则与复合函数求导法则，有

于是可得

【法 2】由微分的四则运算法则与形式不变性，得

【注】由 可知

(2)【法 1】由微分形式的不变性与四则运算法则，得

解得 .

【注】由 可知 .

【法 2】由隐函数求导法，对等式 两端关于 求导，得

解得 . 故 .

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【说明2】本文仅给出了相应题型最基本的练习，更多典型的基本练习可以直接参考教材中的例题，对应的综合、提高练习题与详细的参考解答 (多解)可以查阅微信公众号: 考研竞赛数学 (ID：xwmath) 的参考推文 (点击下面标题直接查看): .

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