数学的转折点：第二次数学危机与微积分的诞生

莱布尼茨开创了数理逻辑，提出了计算之梦，乔治·布尔则在此基础上完成了逻辑的算术化，在计算领域迈出了坚实的一步。

但要实现普遍语言和逻辑演算的梦想，数学还需要变得更加严格。

在历史发展过程中，数学不断经历着这样的严格化过程，将许多直观的想法沉淀为严格的理论。

而正是在对数学基础的质疑和尝试解决的过程中，数学家们建立了现在的计算理论。

这次回顾，要从第二次数学危机说起。

01 微积分的发明

数学中的三大分支是几何、代数和分析。

古希腊人发明了几何学，后来，欧几里得建立了公理化方法，并使该方法成为数学这门学科最重要的基本方法。

代数自算术发展而来，是计算方法在应用实践中的重要经验总结，成为计算理论涌现的源泉。

而到了17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立发明的微积分的计算方法，成为推动科学和数学发展的重要工具，并通过严格化运动，最终成为分析的基础。

由于微积分涉及无穷的概念，现在一般在大学本科教科书中才会出现。而且，教授顺序一般是先微分再积分。虽然这样从数学逻辑上更通畅，但是这与历史的发展恰好是相反的。在历史上是先有积分再有微分、级数、导数和极限概念的。

古希腊时期就有了积分思想的萌芽。

《几何原本》总结了欧多克索斯的穷竭法。

穷竭法最早由古希腊诡辩学派的安提丰在尝试解决“化圆为方”问题时创立。化圆为方是古希腊三大尺规作图难题之一，它要求画一个正方形，其面积恰好等于给定圆的面积。安提丰提出用圆的内接正多边形逼近圆面积的方法来实现化圆为方。他从正方形开始，演化出正八边形、正十六边形，重复这一步骤，逐渐“穷竭”，得到一个边长极微小的正多边形。安提丰认为这个正多边形的面积无限接近圆的面积，因此可以用这个方法来化圆为方。这当然是行不通的，在此不再赘述理由。但安提丰提出的穷竭法却被保留了下来，此后欧多克索斯将穷竭法严格化，使其成为一种严谨的证明方法。

欧多克索斯使用的穷竭法基于一个原理：“给定两个不相等的量，如果将比较大的量减去一半，然后将剩余的量继续减去一半，重复这个过程，最后必有某个余量小于给定的较小的量。”

这一原理可由公理推导得出。

欧多克索斯利用穷竭法，严格地证明了一些几何命题，这些证明被收录在《几何原本》中。后来阿基米德进一步发展了穷竭法，不仅用圆的内接多边形实现“穷竭”，还用圆的外切多边形实现“穷竭”，这样圆就被限定在两个多边形之间。阿基米德用这种方法求得圆周率的上界和下界分别为 22/7 和 223/71，这是历史上第一次用科学方法求得圆周率的近似值。欧多克索斯和阿基米德在穷竭法中应用的思想已经非常接近定积分思想。

积分的思想虽然早在古希腊时期就已萌芽，但是微分的思想直到17世纪才出现。这一时期的一些重要问题，如运动的问题、求极值的问题，尤其是求切线的问题，推动了微分思想及其计算方法的出现。在解析几何创立后，许多数学家都加入了对这些问题的研究。笛卡儿、罗伯瓦尔、费马和巴罗等人都给出了一些方法。但这些方法有的依赖于直觉，有的则只能解一些特定的问题。而在求切线、极值、面积和体积等问题中，知识比较零散，也没有人将其关联起来发现一种一般性的方法。百废待兴之际，时代巨人即将登场。

牛顿和莱布尼茨在数学上的伟大贡献在于，分别独立发明了一种一般性的微积分计算方法。积分、微分的思想与方法并非他们首创，但是他们二人的确是历史上第一次采用一种通用的计算手段来计算积分与微分的人。他们引入了专用的数学符号，同时发现积分和微分是互逆运算，这构成了微积分基本定理。微积分的发明权在历史上有过争议，英国人指责莱布尼茨剽窃了牛顿的想法，而莱布尼茨则撰文予以反驳。

经历史学家考证，现在基本认定两人的发明是相互独立、各有渊源的。由于篇幅有限，在此不再赘述神仙打架的种种轶事。

牛顿是巴罗的学生。在牛顿26岁时，巴罗将卢卡斯数学教授一职让位给这位年轻的数学天才，而自己改任皇家牧师。

这一职位此后都由鼎鼎大名的人担任，其中包括狄拉克和霍金。

1665年，由于自己就职的大学流行瘟疫，牛顿回到乡下，度过了相当自由的两年。他的很多伟大想法，如微积分、光学和万有引力，都成形于这两年。

1666年堪称牛顿的奇迹年，他除了在物理学上做出了杰出的贡献，还留下了5000多页的数学手稿，但这些手稿大部分没有发表。莱布尼茨曾评价：“古往今来的所有数学研究，牛顿做了一大半。”而许多数学家也认为，阿基米德、牛顿和高斯是数学史上贡献最大的3位数学家。

牛顿发明的微积分方法，受到笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》的影响。

1665年11月，牛顿发明了流数术（微分法），而在次年又发明了反流数术（积分法）。用牛顿的话来说：“我把时间看作连续流的流动或增长，而其他量则随着时间而连续增长。我从时间的流动性出发，把所有其他量的增长速度称为流数；又从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称为瞬。”

从这个解释来看，牛顿是从物理直观出发，借鉴了运动学中的速度，引入的流数概念。牛顿的定义通过时间直觉隐含了连续性，而他对瞬的定义本质上是无穷小，但并没有解释清楚瞬到底是点还是线段。

这些许含糊和尴尬之处也为第二次数学危机的爆发埋下了隐患。

但牛顿通过流数法，很清晰地建立了微分和积分的联系，即它们是互逆的运算。他敏锐地洞察到，可以从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积，面积计算被看成求切线的逆过程。

1666年，牛顿将流数法总结成论文《流数简论》，这标志着微积分的诞生。此后牛顿又进一步借助几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比，提出“首末比方法”，并贯穿于他的著作《自然哲学的数学原理》和论文《曲线求积术》中。这是极限思想的雏形。

欧洲大陆的莱布尼茨则走了另一条路。莱布尼茨在惠更斯的指导下走上数学研究的道路。

当时的数学家普遍在关心曲线切线、曲线围成的面积和立体图形的体积等问题。1673年，莱布尼茨注意到帕斯卡在解决圆的面积问题时引入了“特征三角形”，突然意识到这个方法可以被推广到更一般的情况：对任意给定曲线都可以构造这种特征三角形（微分三角形）。

此后，他应用这种特征三角形解决了各类面积、曲线切线的求解。在惠更斯的建议下，莱布尼茨研究了笛卡儿的理论。他曾表示：“根据笛卡儿的微积分，可以把曲线的纵坐标用数值表示出来。……求积或求纵坐标之和，同求一个纵坐标（割圆曲线的纵坐标），使其相应的差与给定的纵坐标成比例，是一回事。我还立即发现，求切线不过是求差，求积不过是求和，只要我们假设这些差是不可比拟般小的。”

因此，莱布尼茨把微分看作变量相邻两值无限小的差，而积分则是由变量分成的无穷多个微分之和。于是他很自然地得到了微积分基本定理，即积分和微分是互逆运算。

1684年10月，莱布尼茨在《教师学报》上发表了一篇标题很长的论文《对有理量和无理量都适用的，求极大值、极小值和切线的新方法：一种值得注意的演算》。这篇论文只有6页，却总结了莱布尼茨在微分方面的所有成果，是公认的最早发表的微积分文献。

1686年，莱布尼茨又进一步发表了积分学的论文。莱布尼茨非常重视数学符号的使用，认为简洁有力的符号能够提高数学的效率。现在的许多符号都源自莱布尼茨，比如我们熟知的微分符号d。

欧洲大陆采用莱布尼茨的微分符号dx，这被称为“d主义”；而英国由于牛顿的影响力和门派之见抵制莱布尼茨的符号，采用了牛顿在流数法中使用的微分符号，在变量上面加一个点，这被称为“点主义”。由于符号使用效率的不同，英国的数学发展落后欧洲大陆将近两个世纪之久，直到19世纪，在一群年轻数学家的努力下，英国才全面使用了莱布尼茨的符号。

以上摘自吴翰清新作《计算》！

计算已经成为人们生活中不可或缺的组成部分，人类社会享受了计算技术的红利得以飞速发展。可以说当今的计算机科学和产业应用的成就是人类文明有史以来所有智慧的结晶。

解释、澄清和发展“计算”这一重要概念，即本书之写作目的。

本书从探索数学的起源开始，细数了数学史上三次危机的来龙去脉，逐渐引出计算理论的诞生和发展，以及这些过往是如何影响当今计算机科学最前沿方向的。

最后本书从哲学层面探讨了计算的边界，将其视为人类需要继续探索的未解之谜。

本书横跨了人类近3000年的文明史，综合了数学、哲学、物理学、计算机科学、人工智能、复杂系统科学等多门学科，呈现出一种独特的计算主义的世界观。