如何根据四旋翼无人机特性，构建数学模型，支持控制算法的优化？

文 |古轩说史

四旋翼无人机的工作原理类似于传统直升机，但其独特的结构和控制方式带来了全新的飞行体验，通过旋转的螺旋桨产生升力和推力，四旋翼无人机可以实现垂直起降、悬停、前进和转向等动作，同时具备更小的体积和更灵活的机动性。

然而，要实现高效稳定的飞行，就需要深入研究其建模和控制方法，建模是飞行器研究的基石，而在四旋翼无人机和直升机的情境下，建模尤为关键。

通过对飞行器的动力学、气动学等因素进行准确描述，可以为后续的控制设计提供基础，建模还需要考虑到飞行器的复杂运动特性，如姿态变化、扰动影响等，从而实现更加真实和可靠的模拟。

控制是使飞行器按照预定轨迹和要求进行运动的核心环节，针对四旋翼无人机和直升机，控制算法的设计涉及到飞行器的稳定性、操纵性以及对外界环境的适应能力，通过合理的控制策略，可以实现飞行器的平稳起降、精确悬停和精准飞行等复杂动作。

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四旋翼直升机结构

四旋翼直升机的结构很简单，基本上由连接在对称十字两端的四个旋翼组成，这种结构应考虑的关键特征是对称性和刚性。

为了避免飞行不稳定，结构应尽可能坚固，同时保持尽可能轻的重量，实现这一目标的最佳方法是通过轻质合金或复合材料，对称性对于稳定性也非常重要，重心（COG）应尽可能靠近旋翼机的中部。

电子系统集成关键组件包括微控制器、电子速度控制器 (ESC)、姿态和航向参考系统 (AHRS)、无人机与用户之间的通信接口、视觉系统和合适的配电。

AHRS 测量无人机的惯性运动，它由惯性测量单元（IMU）和全球定位系统（GPS）组成， IMU 包含轴加速计和陀螺仪，分别测量平移和旋转身体运动，它还包括一个磁力计，充当数字罗盘并确定无人机的航向。

GPS 用于确定旋翼机的位置，可以添加到 AHRS 的另一个组件是用于测量高度的压力传感器，不过这些传感器仅适用于高空应用，所以使用测距仪来确定无人机的高度会更合适。

这些测距仪可以是声纳或激光，并作为视觉系统的一部分，视觉系统用于检测旋翼机路径中可能存在的障碍物，并通过通信接口将视觉数据传输给用户。

锂聚合物 (LiPo) 电池由于其轻质特性而成为此类应用中最合适的电源，电力通过配电板 (PDB) 分配给系统中的所有电子设备。

与传统直升机一样，四旋翼直升机是一个六自由度、高度非线性、多变量、强耦合、欠驱动系统，四旋翼直升机的主要作用力和力矩是由旋翼产生的。

可以说，与双旋翼直升机相比，它的设置更简单，因为四旋翼直升机可以完全通过电机速度的变化进行控制。

两对转子以相反方向旋转以平衡系统的总扭矩，显示了典型四旋翼型直升机的自由体图，仅使用两个参考系，这与传统直升机使用三个参考系不同。

其原因是四旋翼直升机的旋翼是固定的，而传统直升机的主旋翼具有控制滚转角和俯仰角的致动器，其运动独立于机身。

四转子装置是通过操纵各个转子的推力以及平衡阻力矩来控制的，对于悬停，所有旋翼都施加恒定的推力，从而保持飞机平衡。

为了控制垂直运动，电机速度同时增加或减少，从而具有较低或较高的总推力，但仍保持平衡。

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坐标参考系和旋转矩阵

在分析四旋翼直升机的动力学时，涉及两个坐标参考系，首先是地球固定框架，标记为E；另一个是机身参考系，标记为B，机身参考系是一个旋转坐标系，其原点位于旋翼机的重心。

所有的旋转都是围绕原点进行的，并且可以通过指定旋转轴和框架旋转的角度来描述，这种类型的旋转在欧拉定理中有所描述，该定理表明，任意一对坐标系的相对方向可以通过绕着共同原点的固定轴旋转角度 Φ 来唯一确定，这个轴称为欧拉轴。

这种特定的旋转被称为主角，图示可以在如下图所示的图中显示，其中矢量e表示欧拉轴，旋转角Φ表示主角。

由于身体运动传感器直接连接到参考系，传感器读数将与参考系中的旋转相关，因此，在成功地对系统进行建模时，获取这些坐标是非常重要的。

为了实现这一点，使用了旋转矩阵，假设有单位向量 i、j 和 k 分别位于 x、y 和 z 方向，并且通过旋转分别到达 x'、y' 和 z' 方向，具有单位向量 i'、j' 和 k'，然后这些新的单位向量可以通过旋转矩阵与原始方向相关联。

旋转矩阵 R 是正交的，这意味着其转置矩阵等于其逆矩阵，每次旋转都对应一个旋转矩阵，如果坐标系需要经过第二次旋转 R'，那么从其初始方向产生的旋转将对应为 R”。

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四旋翼动力学建模

欧拉-拉格朗日方法被用来对旋翼机的飞行动力学进行建模，在这个模型中，假设电机的动态响应相对较快，因此可以忽略，转子叶片被假定为完全刚性，不会出现扑动现象。

尽管这种假设在实际中可能有一些影响，但在目前的研究中暂时不加考虑，稍后会进行更深入的研究，外部风力也在当前阶段被排除在外，运动方程是基于六个自由度系统的平移和旋转参数构建的，使用广义坐标向量q来表示。

拉格朗日方法通过对系统的能量进行建模来实现，考虑了动能和势能之间的差异，动能方面考虑了平移和旋转运动，而势能仅与旋翼机的高度有关，因此，塔格朗日函数L可以表达为L = T - U。

需要注意的是，此模型未考虑轮毂力、地面效应和陀螺仪效应，因为这个模型的目的是为了设计控制系统，所以尽可能地保持简单，并且只考虑了主要影响。

为了保持旋翼机的稳定，必须考虑姿态（ψ、θ 和 ψ）以及高度（z），位置（x和y）则取决于滚动角和俯仰角，因此，姿态控制可以用于控制位置。

从这个角度来看，系统是一种欠驱动系统，具有六个自由度，但只有四个控制输入，实际上，所有旋翼机的机动性都是通过调整四个旋翼产生的推力和阻力矩来实现的。

这些参数通过等式和关系来相互关联，因此可以通过控制电机的转速来有效地操控旋翼飞行器。

从方程中可以清楚地看出，简化后的系统是线性且非耦合的，因此选择使用线性PD控制器进行设计，可以计算出所需的电机速度，然后将其传输到电机控制器，方程中的矩阵列对应于每个控制输入，行对应于每个电机转速的平方。

因此，在将这些值传送到控制器之前，必须计算每行的平方根，存在着四个相互独立的反馈控制环。

这种方法为旋翼机的控制提供了有效的方式，通过调整电机的转速来实现，这样的设计允许对旋翼机的运动进行准确而稳定的控制，使其达到预期的飞行状态。

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模型仿真

为了探究模拟是否准确描述了旋翼飞行器的行为，研究者进行了四次模拟，每次使用特定的电机输入，这些模拟被有针对性地选择，分别用于研究升力、偏航、俯仰和滚动运动，首先，在没有实施控制系统的情况下进行了模拟，然后使用相同的输入数据研究控制系统的效果。

首个模拟针对向上升力行为，通过将每个电机的等效速度设置为230 rpm，产生恒定的总升力41.63 N，以研究向上加速度和速度，该模拟描绘了没有任何外部风力补偿的理想情况，与预期的向上加速度相符。

第二次模拟研究了旋翼飞行器的偏航运动，通过使两个顺时针旋转的电机的转速高于逆时针旋转的电机，产生恒定的逆时针角加速度0.1235 rad/s2。

第三和第四次模拟研究了旋翼飞行器在俯仰和滚动方向上的稳定旋转，在每种情况下，选择一个电机的转速比其相邻电机更高，从而产生差异，在模拟的一分钟时间内，侧倾角几乎完成一整圈，这种行为是不稳定的，需要控制相关的平移运动也是不稳定的，同时扭矩不平衡也被注意到。

在对记录的数学模型的行为进行了模拟后，研究者研究了控制设计对系统的影响，首次模拟侧重于高度控制，应用了文中描述的控制器，目标是使旋翼飞行器在10米的恒定高度上悬停。

在未实施控制的情况下，系统呈现出自然响应，然后实施了控制器，并对系统的影响进行了研究，通过对比可以清楚地看出，控制设计是有效的，实现了稳态。

第二次模拟集中在偏航控制上，所实现的控制器基于文中的方程，模拟的目标是获得所需的零偏航角，通过将自然响应与受控响应进行比较，可以明显地看出控制器的影响。

模拟模型成功地描述了旋翼飞行器的行为，并与实际预期相符，由于未考虑到空气施加的约束力，记录的物理参数并不完全准确。

实际上旋翼飞行器的速度在某一时刻会达到终端速度，并且不会继续增加，这一现象将在未来进行进一步调查，因为它对研究具有重要意义，但超出了本文的范围。

从动力学模型获得的信息对于开发控制系统至关重要，如果没有稳定的控制系统，旋翼飞行器几乎无法操作，即使旋翼速度发生微小变化，也可能导致飞行器旋转失控，从而发生事故。

电机的速度控制器必须尽可能准确，并保持最短的控制反馈时间，这是一项具有挑战性的任务，需要灵敏的陀螺仪、加速度计和磁力计来检测旋翼飞行器何时偏离路径并进行纠正。

为了在x和y方向上成功操纵旋翼飞行器，还必须使用控制系统来确保扭矩平衡，以实现正确的航向，GPS模块的协助还将增强旋翼飞行器的方向控制，必须执行适当的迎角以及保持总的向上推力，以确保稳定性，同时保持飞行器的方向。