半圆半径为5，求两个不等正方形面积之和

题目：

半圆半径为5，求两个不等正方形面积之和

知识点回顾：

正方形性质定理

1. 两组对边分别平行；四条边都相等；邻边互相垂直。
2. 四个角都是90°，内角和为360°。
3. 对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。
4. 既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
5. 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
6. 正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质与特性。
7. 正方形是特殊的矩形，正方形是特殊的菱形。

共圆性质定理

1. 圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
2. 四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则有：
3. ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°（即图中∠DAB+∠DCB=180°, ∠ABC+∠ADC=180°）
4. ∠DBC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等）。
5. ∠ADE=∠CBE（外角等于内对角，可通过（1）、（2）得到）
6. △ABP∽△DCP（两三角形三个内角对应相等，可由（2）得到）
7. AP*CP=BP*DP（相交弦定理）
8. EB*EA=EC*ED（割线定理）
9. EF²= EB*EA=EC*ED（切割线定理）
10. AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）

直角三角形性质定理

1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理)
2. 在直角三角形中，两个锐角互余。
3. 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
4. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
5. Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（AD)²=BD·DC；（AB)²=BD·BC；（AC)²=CD·BC。

粉丝解法1：

设大、小正方形边长分别为a、b，连接圆心与大正方形右上角顶点，圆心与小正方形左上角顶点，两直角三角形全等，则:
a*a+b*b=5*5=25。

粉丝解法2：

如图，连接OA、OB，设AC＝CE＝a，BD＝DE＝b，OE＝c，则OC＝a+c，OD＝b-c，OA＝OB，OC²+AC²＝OD²+OB²，代入整理得 b-a＝c，OC＝b
S大正+S小正＝b²+a²＝5²＝25

粉丝解法3：

设小正方形边长为a，大正方形边长为b.连接圆心与小正方形左上角顶点，圆心与大正方形右上角顶点，所得两直角三角形全等（角边角），a^2+b^2=5^2=25

粉丝解法4：

粉丝解法5：

(a+b+x)²+2b²+y²=(a+b+y)²+2a²+x²=100
(a+b)x+b²=(a+b)y+a², x+b=y+a=5
(5+a)²+2b²+(5-a)²=100, a²+b²=25

粉丝解法6：

既然要求两个正方形面积之和，就说明这个面积和是唯一的。于是我们可以按两个边长相等的正方形的特殊情形来计算，而这两个正方形的对角线恰好就是圆的半径r，于是面积之和很容易求得为r²=5²=25。

粉丝解法7：

复杂了，还有一种方法，直接从圆心连接AB两点。设小、大正方形边长分别为a和b，差值为c（圆心到大正方形左底角）。根据勾股定理列出两式，求得b-c=a。 所以a平方+（a+c）平方，就等于a平方加上b平方，等于5的平方。 即正方形的面积之和为25。

a平方+（a+c）平方=5平方 b平方+（b-c）平方=5平方 两式想减即得a-b+c=0 所以a+c=b 带入第一式即为所求

粉丝解法8：

粉丝解法9：

解：设：CD是半圆的直径，O为圆心。大、小正方形在圆上的顶点分别为B、A;O'是在直径CD上的公共顶点。 分别连接O'B、O'A， 则：∠1=∠2=∠3=∠4=45⁰ ∴∠2+∠3=90⁰ 连接AB 则：AB²=O'B²+O'A² 设大小正方形边长分别是y、x 则：O'B²=2y² O'A²=2x² ∴AB²=2（y²+x²） 延长AO'交⊙O于A' ∵CD是⊙O的直径 ∴∠7=∠5=∠1=45⁰ ∴∠AA'B=∠7=45⁰ 分别连接OA、OB 则：∠AOB=2∠AA'B=90⁰ ∴AB²=OA²+OB² ∵OA=OB=5 ∴AB²=2·5² ∴2（y²+x²）=2·5² ∴y²+x²=25

粉丝解法10：