北大田刚清华张寿武，中国数学界两大领袖，培养大批年轻数学家

中国如今的数学界虽然和欧美相比，还有一些差距，但是中国一直都在不断地进步之中，如今聊起中国数学界的领袖，一般而言，公认的就是田刚与张寿武二人。田刚是北京国际数学研究中心的负责人，也是北大数学科学学院院长，而张寿武则是普林斯顿大学教授与清华大学高等研究中心教授。他们两个人除了代表了目前中国数学界的最高水平（不包括华裔数学家，如丘成桐、陶哲轩等），也为中国数学界培养了一大批优秀的数学家。今天我们两个人就来聊聊田刚和张寿武。

田刚：在几何世界里自由遨游

田刚最为人瞩目的倒不是他的学术成就，而是他与自己的老师丘成桐之间的恩恩怨怨，丘成桐在2004年直指田刚学术不端，不过这件事情海内外数学界都没有查到什么实据，相反后来田刚成为了阿贝尔奖的评委，阿贝尔奖是仅次于菲尔兹奖的数学领域最具含金量的奖项之一，一届评委会只会选择 5 位评委，田刚是目前唯一入选的一位中国数学家。阿贝尔奖、菲尔兹奖和沃尔夫奖并称为数学界三大奖。由此也可以说明田刚的数学成就是得到了海外数学界的认可的。

作为丘成桐的学生，田刚在和丘成桐之间的争端中倒是并没有说过老师一句的坏话。而且丘成桐的学生里，田刚和Richard Schoen、李骏并称为丘成桐三大得意门生。

田刚最卓越的成就是在国际数学家大会作了 1 小时报告，要知道，国际数学家大会 4 年一办，有 45 分钟报告和 1 小时报告，国际数学家大会上 1 小时报告，反映了当今世界数学研究的最高成就，是数学家的一项极高荣誉。是对数学家最大的认可。

参加数学家大会的田刚

比如像抽象代数之母诺特、数学之王希尔伯特等，彭实戈和田刚是仅有的两位能够在国际数学家大会作1小时报告的中国籍数学家。

为了解释万有引力的本质，爱因斯坦于1916年创立广义相对论，并试图用一个二阶非线性偏微分方程组来度量引力场，也就是有名的“卡勒—爱因斯坦度量”（Kahler—Einstein度量）。而田刚在此方面做了许多开创性的工作。

田刚在几何领域提出了波戈莫洛夫-田-托多罗夫定理，由此在数学界崭露头角。

他的博士论文还为一般Fano流形（流形是局部具有欧几里得空间性质的空间，在数学中用于描述几何形体）上问题的解决做了铺垫。

我们都知道丘成桐获得菲尔兹奖是因为解决了卡拉比猜想，卡拉比猜想指出在封闭的空间 ，有无可能存在没有物质分布的引力场。卡拉比猜想共有三种情况：第一陈类等于零；第一陈类小于零；第一陈类大于零。丘成桐证明了这个猜想的陈类为负和零的情况。

因此人们希望在研究Fano流形上（即第一陈示性类正定时）K(a)hler-Einstein度量的存在性问题中也有所突破

田刚是丘成桐学生的缘故，所以在卡比拉猜想上也做出过成就，田刚主攻的是卡拉比猜想第一陈类大于零，田刚在二维时完全解决了此问题，由此获得了维布伦几何奖。

在此之前，田刚通过定义阿尔法不变量。通过该不变量可以判别凯勒爱因斯坦度量的存在性。1989年，田刚利用他先前引进的不变量以及他发展的部分连续模估计这一新工具，彻底解决了复曲面上的卡拉比问题（二维时）。这是非常重要的突破。高维的情形则更加困难。田刚首先给出例子说明，即使没有非零全纯向量场也有可能不存在K(a)hler-Einstein度量。1996年，利用他与丁伟岳教授合作定义的全纯不变量，田刚引进了K稳定的概念，证明流形上存在K(a)hler-Einstein度量的Fano流形必须是K稳定的。之后K稳定的概念得到进一步发展并推广到任意极化的K(a)hler流形，成为代数几何重要的概念之一。

简单来说，田刚证明了KE度量的存在性要求反典范线丛K*是K稳定的，从而证否了卡拉比猜想 Ⅲ。

后来，田刚和菲尔兹奖得主唐纳森提出了关于K-稳定Fano流形上K"ahler-Einstein度量存在性问题，也就是著名的丘-田-唐纳森猜想，也叫 K 稳定性猜想。

2012年10月，田刚率先宣布解决了K-稳定Fano流形上K(a)hler-Einstein度量的存在性问题并给出了证明概要。解决这个长期未决的重大问题的关键技术途径是在锥K(a)hler-Einstein空间情形建立田刚早先猜测的部分连续模估计，而建立这一关键估计的主要方法是推广Cheeger-Colding-Tian有关K(a)hler-Einstein流形的紧化理论。田刚的证明综合应用了众多理论，涉及到很多数学分支，比如微分几何、代数几何、偏微分方程、多复分析、度量几何等，特别是其证明将这些领域联系在一起，将完善并推动这些学科的发展。也就是说田刚证明了他提出来的K稳定性猜想。论文已在世界顶尖数学期刊Communications on Pure and Applied Mathematics（CPAM）上发表。大家可以看看。

可以说这些年田刚和唐纳森一直主导着卡勒几何的发展，而田刚另外一个最重要的成就就是完善了佩雷尔曼的庞加莱猜想。

当时佩雷尔曼发表完了关于庞加莱猜想的论文之后，他给十几位数学家发了邮件，请他们对自己的论证过程给予评价，由此震惊了整个数学界。收到邮件的数学家就包括了田刚。

2002年11月12日，当时在麻省理工学院数学系任教授的田刚在信箱中看到一封显示发件人为“格利高里·佩雷尔曼”（Grigori Perelman）的邮件。

标题:新的预印本
亲爱的田，
可否请你关注我发表在arXiv数学网站上的论文，DG 0211159。
摘要:我们提出了一个Ricci流的单调式，在所有的维度中成立且无需曲率假设……我们还验证了与理查德·汉密尔顿关于瑟斯顿封闭三维流形几何化猜想证明的纲领相关的一些假设，使用先前关于局部曲率下界的塌陷结果，给出了对这一猜想的证明概要。
格里沙·佩雷尔曼

田刚收到信之后，用了三天的时间仔细阅读这篇论文，因为已经公开的3篇论文，因为佩雷尔曼只提供了证明的草稿，所以在论证结构上跳跃性极强，缺少详尽的技术细节，且其证明内容并不止限于解决庞加莱猜想。为了尽快澄清这些证明，田刚等人邀请佩雷尔曼前往美国举办研讨会，亲自向数学界讲解他的工作。

标题:回复:新的预印本
亲爱的格里沙，我正在阅读你的论文。很有意思。你是否愿意访问MIT并就这一工作做几个演讲？

2003年4月，佩雷尔曼接受了田刚的邀请，来到了麻省理工学院，开始了他的系列巡回讲演。与此同时，田刚、克莱纳和摩根等四位深研论文，确认了佩雷尔曼证明的正确性。

2004年，佩雷尔曼结束了他的巡回讲演，而接下来就是关于佩雷尔曼猜想的完善工作了，这个工作也非常的重要，“高手或许一步可以看到7步后的变化，棋艺稍逊的人或许只能看到2步，剩下的5步，就是gaps。”普林斯顿大学数学系的一位教授说，“只有完完整整把每一步的走法写下来，才能算是一个完整的证明。”。

2004年9月，田刚和哥伦比亚大学的拓扑学家约翰·摩根决定合作，在田刚之前给学生开讨论班研读佩雷尔曼论文时留下的笔记的基础上，撰写一部关于庞加莱猜想的书。这部书稿，得到了克雷数学研究所（也就是千禧年七大数学难题的发起者）的著述专项资助

正如前面所说的，因为佩雷尔曼只提供了证明的草稿，且其证明内容并不止限于解决庞加莱猜想，在这两年的时间里田刚等人为了让论文更易阅读，逐步填补丰富了佩雷尔曼证明中的细节部分，终于将庞加莱猜想彻底证明。

2006年5月，摩根和田刚合作完成的书稿提交给了克雷数学研究所，并在7月25日把这本473页的书放到了arXiv网站上。而此时，国际数学家大会已确定，将由摩根在8月24日作一个关于庞加莱猜想的公众报告。

可以说田刚在佩雷尔曼论文中做出了卓越的贡献，他极力邀请佩雷尔曼进行讲学，传播数学新思想，大力宣传佩雷尔曼取得的成就。

当时，一共有 3 组世界顶尖的数学家团队参与了对其证明的完善工作。其中中国数学界包括田刚、朱熹平、曹怀东。

而丘成桐、曹怀东和朱熹平三人由此闹出了一场大笑话， 丘成桐当时对媒体宣布,“曹怀东 、 朱熹平已经完成了庞加莱猜想的封顶之作。

而就目前数学界来说，佩雷尔曼论文的完善工作中，田刚等人的更为仔细完善，而曹怀东等人的过于执着于几何化猜想。（在卡拉比猜想Ⅲ上，丘成桐也执着于几何化猜想），不管怎么样说，佩雷尔曼事件，是丘成桐一辈子最大的污点。

丘成桐

丘成桐和田刚矛盾之间的激化，很多人都认为有这样的因素存在。

作为北大数院的田刚，也为中国数学界培养了许多的年轻数学家，在整个数学界大放光彩，要知道中国数学的中心就在北大。

田刚和学生

张寿武：国际数论界顶尖级高手

不知道是不是奇妙的缘分，21世纪之交的这几年，大概是1999年2004年左右，北大数学系真的是人才辈出，现在国际数学界上的具有成就的年轻中国数学家相当部分都是在那个时间段进入北大学习的。

如张伟，在中国人民大会堂获得了晨兴数学奖金奖，这个奖项被誉为华人“菲尔兹奖”，是华人数学领域的最高荣誉，在读博士的时候，张伟就解决了库达拉猜想中模性的问题；还有袁新意，全球知名的年轻一代数学家；北大毕业的朱歆文则主要致力于几何表示理论的研究，尤其几何朗兰兹纲领方面。他研究了环路群的旗流形的几何和拓扑性质，并把几何朗兰兹纲领理论应用到了算术几何领域，做出了重要成果；还有刘一峰，斩获美国斯隆研究奖，他的主要研究方向为自守形式、数论与代数几何。以及大家非常熟悉的许晨阳，主要研究成果包括一般型对数典范偶的有界性理论，证明了对数典范阈值的上升链猜想，极大推动了正特征三维极小模型纲领，在对数典范奇点的极小模型纲领中做出突破，证明了田刚和Donaldson关于K-稳定性定义的等价性，解决了《几何不变式论》前言里关于典范极化簇渐进周稳定紧化不存在的问题，并系统研究和发展了对偶复形理论。

刘若川、恽之玮、袁新意、宋诗畅、肖梁、许晨阳（左起）都是年轻一代的数学家

除此之外，还有恽之玮、吴忠涛、刘志鹏等，这些都是北京大学培养出来的数学家，是全球数学界冉冉上升的新星，在数学领域做出过丰硕的成果。

而这些从北大出来的青年数学家很大部分都是在普林斯顿担任教授的张寿武手里深造的。清华北大的基因在这些年轻数学家身上完美融合。

张寿武的人生更为励志，他出身特别贫穷，他经常要在家带妹妹和弟弟，还要去放鸭子，所以基本上没怎么去过上学，但是在期末考试的时候，哥哥临时抱佛脚教了一下他。他结果考的还不错。

张寿武就觉得自己的智商还可以呀，就经常自己自学，想做一个数学家。初中时候，在田里边放鸭子边自学完了初中几何和代数，后来又看完了高中数学。虽然初中三年，像模像样上学也就才一年，但是张寿武居然奇迹般考上了最好的中学—— 和县一中。

高中时候他开始自学高等数学，后来又用微积分做试卷，老师实在看不懂他写的过程，但是答案又是对的，就说你可以不用来上数学课了。因为高考粗心大意，反而数学考砸了，张寿武就想自学考数学研究生。

后来，在舅舅的要求下读了中山大学化学系，但是一门心思想学数学的张寿武和数学系老师表达了自己的诉求，最后数学系老师同意了他的转系要求。

在数学系，张寿武基本上也是自学，他在大学还教自己的老师抽象代数。

张寿武曾提前参加了79级（他是80级）的常微分方程 考试，他得了75分，便要求学校再给他一次考试机会，准备参加同年级同学的考试。为了让班上的同学都能考出好分数，他将上次的考题和答案油印出来让大家学习，没想到两次考卷居然是一样的，结果，班上的同学都考了90多分，老师调查清楚情况后非常愤怒，将他的考卷扣到59分，虽然补考时他得了100分，但不及格的记录还在那里，这让他十分紧张，考虑到会影响以后的分配，他决定提前考研究生。于是，他提前一年将所有的课程都学完了。

后来，他得到了美国哥伦比亚大学数学系的哥德费尔德的赏识，去了哥伦比亚大学深造，

在数学届，“波戈莫洛夫猜想”被认为是世界性的难题，（是不是很熟悉，田刚的成就里就有提出了波戈莫洛夫-田-托多罗夫定理）而张寿武在34岁年就证明了这一猜想。并且在35岁推广了格罗斯——乍基亚公式，称为“格罗斯－乍基亚－张公式”。

除此之外，张寿武关于志村簇上复乘点的高度。建立了瓦尔斯普尔热（Waldspurger）公式在算术代数几何下的一个模拟，瓦尔斯普尔热公式是给出积分周期和L函数特殊值之间的关系的一个重要公式。

1998 年，张寿武更是获得了首届晨新数学奖金奖，晨新数学奖是华人数学界最权威的奖项，素有华人菲尔兹之称。

和数学成就相比，张寿武更是为中国培育了一大批的年轻数学家，如张伟、、田野、刘一峰、袁新意等。

张寿武认为： “我这一辈子，有那么多人帮助过我，我要回馈给国家和社会。中国那么大，想学数学的人那么多。我想给那些和我有同样经历的人一个机会。”

张寿武和学生

在张寿武看来，最好的学生是不应该向老师要题目的。他们不仅是解题高手，甚至是出题高手。那么，老师还有什么可以教给他们？

“成功我是没办法告诉他的，我只能告诉他什么叫失败。我把心里想的、经历过的失败都告诉他，让他不用再经历一次失败。”

“我本就是乡下人，各种水平和层次的人我都接触过。不管跟什么人聊天，我都能很快理解对方的想法。而且能顺着别人的想法去转，绝不会把自己的思想强加到别人身上。”

37岁的张伟已经是麻省理工学院（MIT）数学系教授，33岁的刘一峰则是耶鲁大学的副教授。他们的名字被在拉马努金奖、华人数学最高奖“晨兴数学奖”等荣誉衬托，无疑是国际数学界的耀眼新星。

当时张寿武讲解了库达拉猜想，回到哥伦比亚之后，他突然想到，能不能尝试库达拉猜想中模性的问题，因此就对张伟说：“你就做做这个问题吧！”，结果张伟真的解决了这个问题，由此声名大噪。

完成了库达拉猜想问题后，张寿武对他说：“这可以当你的博士论文了，如果你现在想毕业，现在就可以毕业；不想毕业嘛，咱们再在一起做东西。”

所以后来，张寿武又让他的学生来做自守形式下相对迹公式的基本引理。在2008年晨兴的一个暑期讨论班上，田野作了第一个关于相对迹公式的报告。

张寿武认为：“所以说，张伟的工作是继承和发扬了哥大在自守形式方面的一个传统。我的贡献是告诉他们往哪个地方走”。

张伟非常聪明，他以光一样的速度阅读了所有的相关论文，以光一样的速度将问题弄清楚了，并证明了其中两个基本引理。然而，与张寿武一样，他真正想做的也不是自守形式下的相对迹公式下的基本引理，他的兴趣在算术相对迹公式下的基本引理，他和袁新意将自守形式下相对迹公式的基本引理问题告诉了同学恽之玮。与此同时，他成功地将贾戈尔—阮丽斯的一些技术移植到算术相交理论中，并在志村簇上算术相交理论的知名猜想中取得决定性进展。

张寿武对这批学生寄予了非常深厚的希望： 他们还年轻，人生的路才刚刚开始，还没有到大数学家的份上，但他们有可能成为大数学家。我想，他们的实力和潜力已经显示出来了，他们有资本在美国的长春藤大学获得教授职位，但拿菲尔茨奖就难说了。我对他们的期望超过了对陶哲轩的期望，陶哲轩拿了菲尔茨奖，现在是加州大学洛杉矶分校正教授。毫无疑问，陶哲轩非常聪明，他做了很多问题。我个人认为，张伟他们做的问题对未来的影响会更深刻一些。何况他们有一群人在共同努力。张伟、袁新意、恽之玮、朱歆文等，他们可能不像陶哲轩那么聪明，不是天才，但他们可以对数学作出划时代的贡献。他们合在一起，应该是中国数学的未来，他们肯定会做得很好。”

作为中国数学界的领袖，几何田刚数论张寿武，他们两个如今更像是一盏明灯，为更多年轻的数学家照亮方向，带领中国数学走向世界。