2022年新高考2卷单选压轴题，考查抽象函数周期性，差点全军覆没

函数无疑是高中数学的难点，而抽象函数又是难点中的难点。抽象函数是指没有告诉函数具体解析式的函数，因为没有函数解析式，所以要研究抽象函数的性质就只能通过题干中告诉的恒等关系来进行。也就是说，我们只能通过对题干中的恒等关系进行变换来研究抽象函数的性质。

在2022年高考中，出现了不少抽象函数的题目，本文就和大家分享一道2022年高考数学抽象函数的真题。这道题是2022年新高考2卷数学的单选压轴题，也就是第8题。从题目所处的位置也可以看出这道题的难度不小，而在考场上也差点全军覆没。下面我们一起来看一下这道高考真题。

高考中，抽象函数的考点涉及到函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、图像等。由于没有解析式，也让很多同学对抽象函数的题目无从下手，导致抽象函数题目的得分率很低，甚至很多同学看见抽象函数就头疼。

其实，解决抽象函数问题的关键就是对题干中的恒等关系进行变换，只要找对了变换方向，抽象函数也就不难了。

回到题目。题干给了一个恒等关系及f(1)的值，所以我们就要充分利用这两个来找到这个抽象函数的性质。

由于f(1)=1，所以令y=1，代入恒等关系就可以得到：f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x)。接下来用x+1替换x，即可得到f(x+2)+f(x)=f(x+1)①，再继续用x+1替换①中的x，可以得到f(x+3)+f(x+1)=f(x+2)②。①+②，可得f(x+3)=-f(x)。结合函数的周期性，可得函数f(x)的周期为T=6。

既然已经知道函数f(x)的周期为6，那么就只需要求出f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)、f(6)的值即可。

由于f(1)=1，所以令x=1,y=0，则可以得到2f(1)=f(1)·f(0)，即f(0)=2。

由①可得，f(x+2)=f(x+1)-f(x)，所以f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1，f(3)=f(2)-f(1)=-2，f(4)=f(3)-f(2)=-1，f(5)=f(4)-f(3)=1，f(6)=f(5)-f(4)=2。

题目求的是f(1)+f(2)+...+f(22)，由于22÷6=3...4，所以f(1)+f(2)+...+f(22)=3[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3。所以答案为A。

这道题的难度还是不小，解题的关键是求出函数f(x)的周期。求出周期后，这道题也就变得不难了。