数学建模评价模型中主成分分析（PCA）SPSS&python实现

PCA介绍

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）：利用降维的方法，把多指标转化为几个综合指标的多元统计方法；

实际问题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（因素），每个变量在不同程度上包含了结果的部分信息；

主成分：由原始指标进行线性组合形成的几个新指标，用这几个新指标尽可能地去解释原来指标包含的大部分信息；

比如：一个对国民经济的研究，经过主成分分析后，用三个新变量能够代替原来的17个变量，并且保持97.4%的精度；

主成分与原始变量的关系：

主成分保留了原始变量绝大多数信息；

主成分的个数大大少于原始变量的数目；

各个主成分之间互不相关；

每个主成分都是原始变量的线性组合；

一般来说，代表原来m个变量的主成分不止一个，但不同主成分的信息不能相互包含，统计上的描述就是：两个主成分的协方差为0，几何上就是两个主成分正交；

SPSS实现

步骤：SPSS导入数据 -> 分析 -> 降维 -> 因子分析；描述 -> 系数；抽取 -> 碎石图；得分 -> 显示因子得分系数矩阵；

1.量纲

主成分分析的结果受量纲的影响，由于各变量的单位可能不同，结果也不同；这是最大的问题，所以主成分分析之前都需要对个变量进行无量纲化处理，然后用协方差 or 相关系数矩阵进行分析；SPSS在分析之前自带无量纲化处理了；

无量纲化处理一般分两种：

(1) 归一化

其一：min-max归一化 =>

其二：平均归一化 =>

(2) 标准化

SPSS手动无量纲化（标准化）：分析 -> 描述统计 -> 描述 -> 勾选"将标准化得分另存为变量"

2.相关性矩阵

3.总方差解释

4.碎石图

5.求指标对应系数

方法一：利用成分矩阵+解释总方差求得

Fn前面的系数 就是拿 Fn的贡献率/(F1和F2的累计贡献率)；比如F1前面的系数：(72.2/84.5)；

方法二：利用成分得分系数矩阵（简单但不建议）

计算综合评价值 F=W1F1+W2F2；Wi 为第 i 主成分的贡献率；

比如方法一代入后最终结果如下：

比如方法二代入后最终结果如下：

python实现

简单的主成分分析

sklearn.decomposition模块的PCA函数sklearn.decomposition.PCA(n_components=None,copy=True)

n_components：缺省默认为None，所有成分被保留；若设为2，则提取2个主成分，若为0.85，则自动选择主成分，使满足累计贡献率85%；

copy：缺省默认为True，表示运行算法时，将原始数据复制一份进行分析；若为false，则在原始数据上进行降维计算；

步骤：

对数据矩阵A进行标准化得到B；

计算相关系数矩阵np.corrcoef(B.T)；

计算相关系数矩阵R的特征值 λ1>λ2>…>λm ，以及对于的标准正交化特征向量 u1,u2…um，向量是按列的；利用特征变量得到主成分变量表达式 F1 = u11x1’+u21x2’…+um1ym，F2=…；

计算主成分贡献率和累计贡献率，一般取累计贡献率达到85%以上的主成分就行

利用得到的主成分F1，F2，…Fk分析问题，进行评价；

案例：

import numpy as np

from sklearn.decomposition import PCA

a = np.loadtxt("Pdata11_7.txt")

b = np.r_[a[:, 1:4], a[:, -3:]] # 构造数据矩阵

print("相关系数矩阵：", np.around(np.corrcoef(b.T), decimals=3)) # 数据标准化并计算相关系数矩阵，并保留三位小数

md = PCA(n_components=0.85).fit(b) # 构造并训练模型(累计贡献率>85%即可)

print("特征值为：", md.explained_variance_)

print("各主成分的贡献率：", md.explained_variance_ratio_)

print("奇异值为：", md.singular_values_)

print("各主成分的系数：\n", md.components_) # 每行是一个主成分

"""下面直接计算特征值和特征向量，和库函数进行对比"""

cf = np.cov(b.T) # 计算协方差阵

c, d = np.linalg.eig(cf) # 求特征值和特征向量

print("特征值为：", c)

print("特征向量为：\n", d)

print("各主成分的贡献率为：", c / np.sum(c))

分析评价：

主成分分析用于综合评价

主成分分析可应用于诸多评价领域，诸如投资组合风险管理、企业效益的综合分析、图像特征识别等；将主成分分析于聚类分析、判别分析以及回归分析方法相结合；

一般步骤：

若各指标的属性不同（成本型、利润型等），将原矩阵A标准化为B；

计算B的相关系数矩阵R；

计算 R 的特征值 λ 以及相应的特征向量 u；

根据特征值计算累计贡献率，确定主成分的个数，而特征向量 ui 就是第 i 主成分的系数向量；

计算主成分的得分矩阵，若选定 K 个主成分，则主成分得分矩阵为 F = B ·[u1,u2,···，uk]；

计算综合评价值 Z=FW，其中 W 是第 i 主成分的贡献率（占总主成分贡献率的多少）；根据综合评价值进行排序，若为效益型指标，则评价值越大排名越靠前；若为成本型指标值，则评价越小排名越靠前；

对于下列案例：

import numpy as np

from scipy.stats import zscore

a = np.loadtxt("Pdata11_8.txt")

print("相关系数阵为：\n", np.corrcoef(a.T))

b = np.delete(a, 0, axis=1) # 删除第1列数据

c = zscore(b)

r = np.corrcoef(c.T) # 数据标准化并计算相关系数阵

d, e = np.linalg.eig(r) # 求特征值和特征向量

rate = d / d.sum() # 计算各主成分的贡献率

print("特征值为：", d)

print("特征向量为：\n", e)

print("各主成分的贡献率为：", rate)

k = 1 # 提出主成分的个数

F = e[:, :k]

score_mat = c.dot(F) # 计算主成分得分矩阵

score1 = score_mat.dot(rate[0:k]) # 计算各评价对象的得分

score2 = -score1 # 通过表中数据以及score1观测，需要调整得分的正负号

print("各评价对象的得分为：", score2)

index = score1.argsort() + 1 # 排序后的每个元素在原数组中的位置

print("从高到低各个城市的编号排序为：", index)

Notice

主成分分析时，主成分的系数的正负号是不可控的，因为特征向量乘以 -1 仍然是特征向量，所以一定要根据实际问题判断系数要不要取相反数！主成分分析之前，一定要进行数据的标准化 or 归一化，一般是标准化；

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