第23讲：《三重积分的柱坐标与球坐标计算法》内容小结、课件与典型例题与练习

一、柱面坐标及与直角坐标之间的关系

三重积分的柱面坐标其实就是直角坐标与极坐标的一个组合，直观地讲，就是将其中的两个变量用所在的坐标面的极坐标变量来描述.

以 面上的坐标分量用极坐标描述为例， 不变的柱面坐标与直角坐标之间的关系为

其中 的取值由点在 面上的投影点所在的象限确定。关系图如下所示。

各坐标变量等于 时对应的坐标面图形分别为：

• 
  

  ： 面包含 轴和 正半轴的半平面；

  
  

• 
  

  ： 轴

  
  

• 
  

  ： 面，即极坐标面

  
  

坐标变量取常值时对应的曲面分别为：

• 
  

  ：由 面上的 对应的射线和 轴确定的半平面；

  
  

• 
  

  ：中心轴为 轴，与 轴的距离为 的圆柱面；

  
  

• 
  

  ：与 面，即极坐标面平行的平面。

  
  

具体形状与点的位置关系如下图所示。

二、三重积分的柱面坐标计算方法与步骤

1、适用的三重积分类型

被积函数为单个变量的一元函数，或包含有两个变量的平方和或者两个变量相除，如

等结构；或者积分区域由过坐标轴、母线平行于坐标轴的半平面，圆柱面，平行于坐标面的平面围成的时候，这样的三重积分可以考虑柱面坐标计算方法，即三重积分开始计算的二重积分或者后面计算的二重积分适用于二重积分的极坐标计算方法时，则考虑柱面坐标计算方法。

2、适用的计算思想

其实三重积分的柱面坐标计算方法可视为三重直角坐标系中“先二后一截面法”或“先一后二投影法”计算方法中，那个二重积分采用了极坐标方法来计算而已。如果在计算过程中将三重积分中的所有那两个变量全部用极坐标变量来描述，那就是柱面坐标计算方法；否则称为直角坐标方法，可以说在求解过程中基本上没有产生新的方法。一般能够使用“先一后二”（投影法）计算的三重积分可以考虑使用柱面坐标计算方法。

3、具体的计算步骤

第一步：根据积分区域特征与被积函数表达式，选择确定用极坐标描述的两个变量（如 变量）；

第二步：借助柱面坐标与直角坐标的关系，将围成积分区域的边界曲面方程描述为柱面坐标方程，并将被积函数表达式描述为柱面坐标变量表达式。

第三步：根据三重积分直角坐标系中“先一后二”的计算方法确定非极坐标变量的上下限，得到一个定积分描述形式，如

第四步：将结果作为投影区域上的被积函数，并用极坐标的方法计算二重积分，假设积分区域是简单的 型区域，则有

三、球面坐标与球面坐标系及与直角坐标间的转换

空间点 的位置可由 这三个数确定，并称这三个数为点 的球面坐标，一般记作 ；称由原点及球面坐标确定的坐标系为球面坐标系.

以 与 轴正轴夹角为 ，以 逆时钟旋转到 在 面上的投影的夹角为 建立球面坐标系为例. 如下图。

当 ，其对应的图形分别为原点、 正半轴、过 轴正半轴和 轴的半平面.

当 ，对应的图形分别为以原点为球心、半径为 的球面；以原点为顶点、中心轴为 、空间点对应的向径与 轴正向夹角为 的半圆锥面；过 轴和过空间点在 面上的投影点对应的向径的半平面. 这样三个曲面的交点就对应由 所描述点的位置，如下图.

空间点直角坐标与球面坐标之间的关系为：

取值由点在 面上的投影点位于 面的象限所确定.

四、球面坐标系下区域的分类

设在球面坐标系中有空间立体区域 ，如果在 上的点可能的 的取值范围内，以坐标原点为起点做射线（即 取为常数时，半平面与半锥面的交线）穿过区域内部，如果射线与区域边界曲面的交点不多于两个，则称区域 为型区域（为简单起见，也可称为关于 的区域）；如果所有穿经区域 内部的射线进入区域时与区域边界曲面的交点都在由一个关于变量 的表达式描述的曲面上，穿出区域时与边界曲面的交点都在由一个关于变量 的表达式描述的曲面上，则称之为球面坐标系中的简单 型区域，如下图.

类似地，在 上的点可能的 的取值范围内，任取 分别做球心为原点，半径为 的球面和顶点在原点，中心轴为 轴，锥面上的点对应的向径为 轴正半轴的夹角为 的半圆锥面，则两者的交线（圆）从 轴的正向看逆时钟穿过区域，与区域边界曲面相交的交点不多于两个，则这样的区域称为型区域；如果入点对应的角度 可以用一个关于变量 的函数表达式描述，出点对应的角度 也可以用一个关于变量 的函数表达式描述，则称之为简单 型区域，如下图.

同样，在 上的点可能的 的取值范围内，任取 分别做球面和半平面，则半平面与球面的交线从上到下穿过区域，与区域边界曲面相交的交点不多于两个，则这样的区域称为型区域；如果入点对应的角度 可以用一个关于 的函数表达式描述，出点对应的角度 可以用一个关于 的函数表达式描述，则称之为简单 型区域，如下图.

五、空间区域的球面坐标不等式描述

考虑到球面坐标系下描述的复杂性，一般在球面坐标系中只考虑型区域. 下面以简单型区域为例，来考察如何获取其球面坐标变量的不等式描述形式.

假设空间区域 上的点对应角度 ，任取 ，设它对应的半平面与区域 相交的平面区域为 ， 上点的 取值的最小值随着 的不同可以表示为 ，最大值可以表示为 ，如下图，

则可以得到如下确定简单 型区域球面坐标变量不等式描述形式的步骤：

第一步：写出所有围成区域 的边界曲面的球面坐标方程。如果边界曲面方程为直角坐标方程，则借助于球面坐标与直角坐标之间的变换关系式，转换直角坐标方程为球面坐标方程。

第二步：将区域 投影到 面上，借助于 面上极坐标确定极角范围的方法确定 的范围，得

第三步：任取 做半平面与区域 相交，得到相交的平面区域 ，通过取 从 连续变化到 ，得半圆锥面与区域 的边界线相交的第一个交点（或相切）位置对应的角度 ，半圆锥面离开区域 时与边界曲线相交的第一个交点（或相切）位置对应的角度 ，则得

其中 的关系式可以通过球面坐标系中边界曲面交线对应的方程组消去 变量得到。

第四步：对于确定的 ，半平面与圆锥面的交线（从原点出发的射线），从原点出发进入区域 ，与边界线的交点位置为 （内边界曲面的球面坐标方程）；交线穿出区域 ，与边界线的交点位置为 （外边界曲面的球面坐标方程），从而可得

如下图。

于是，可得简单型区域的球面坐标变量不等式描述形式为

【注】对于不为简单类型的区域，一般用可考虑使用 等于可取值范围内的常数对应的球面、锥面和半平面对区域进行分割，将其分割为相应的简单区域类型。

更详细的球面坐标下区域的分类及不等式描述构建的思路与典型例题分析可以参考推文：

六、三重积分球面坐标计算方法与步骤

1、一般思路与步骤

在确定坐标系后，在正式借助球面坐标计算方法构建三重积分的累次积分表达式之前，与所有的积分一样，首先考察在直角坐标系中积分区域的对称性，考虑是否可以借助“偶倍奇零”的计算性质简化积分计算，或者借助图形的轮换对称性转换最终需要计算的积分模型，使得被积函数更适合使用球面坐标计算。

另外，借助对坐标面的对称性，有时候还可以将不具有轮换对称性的区域转换为具有轮换对称性的区域，比如当被积函数关于 变量都为偶函数时，可以将对三个变量不具有轮换对称性的、球心在原点的上半球体

上的积分转换为第一卦限内的，对三个变量有轮换对称性的八分之一球体

上的积分；而当积分区域具有轮换对称性时， 的积分可以转换为 的积分，从而可以转换为 的积分。

第一步：转换边界曲面方程描述。将围成积分区域的边界曲面方程用球面坐标变量描述。

第二步：在球面坐标系中确定积分区域类型，选择积分计算次序。

第三步：确定积分变量上下限，参照球面坐标系下空间区域的定限方法确定各球面坐标变量的积分上下限。

第四步：计算累次积分得到最终结果。

2、使用球面坐标计算三重积分注意事项

【注1】球面坐标系下空间区域的分类及定限方法，球面坐标系及球面坐标与直角坐标之间的关系参见本文最后列出的在线课程列表中的详细讨论。

【注2】当被积函数为三个平方项的和，或者能够借助积分运算性质转换为三个平方项的和描述的被积函数，从被积函数的角度可以考虑选用三重积分的球面坐标计算方法；当积分区域由顶点在原点的圆锥面、过坐标轴的平面和球面所围的积分区域时，可以考虑选用三重积分的球面坐标计算方法。当然，如果三重积分使用其他计算方法不方便计算的时候，则也可能需要考虑球面坐标的计算方法。

【注3】不管是使用直角坐标方法，还是柱面坐标或者球面坐标方法计算三重积分，在构造累次积分表达式之前，应该充分考虑积分区域整体或者部分关于坐标面或者关于原点的对称性，同时结合考虑被积函数整体或者通过加减运算拆项后的函数的奇偶性，如果匹配“偶倍奇零”计算性质要求，则首先考虑先借助“偶倍奇零”性质简化计算；另外也考察积分区域是否具有“轮换对称性”，如果有，则考虑使用轮换对称性转换积分计算；然后再考察或者尝试三种累次积分方法，选择最适合的方法构造累次积分表达式，完成三重积分的计算过程。

关于三重积分计算的一般思路与方法的详细分析与讨论可以参见视频课堂“课程中的“三重积分计算的一般思路与方法及三种坐标系下积分的计算步骤”章节中的五个教学视频：

• 第1节：三重积分计算的一般思路与步骤

• 第2节：计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析

• 第3节：柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析

• 第4节：计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析

• 第5节：球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析

另外在“、、全国大学生数学竞赛预赛非数学类试题解析”等在线课堂对三重积分的柱坐标、球坐标和换元法分别进行了深入的分析与探讨！

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参考课件

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