高中数学：几种必须掌握的线面垂直的证明方法

证明线面垂直的方法一般有很多种，其中利用定义，判定定理和面面垂直的性质是最基本也是很重要的的方法，但是，有时这几种方法都不管用或者证明起来很困难，这时如果建立空间坐标系，使用空间向量法，说不定就会柳暗花明又一村。

（1）利用定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。

符号表示：任意a⊂α，都有l⊥a=>l⊥α

（2）利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α

（3）利用面面垂直的性质：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。

（4）空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量平行，就可以说明该直线与平面垂直。

用空间向量法证明线面垂直的方法和步骤为：

①建立空间直角坐标系

②将相关直线的方向向量用坐标表示

③找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；或求出平面的法向量

④分别计算所求直线与以上两相交直线向量的数量积，数量积都为0；或判断直线的方向向量与平面的法向量平行。

另外，还有：

（5）两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直；

（6）一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

利用判定定理、面面垂直的性质

例1、（2019秋•赣州期末）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为AD的中点，如图1，将△ABE沿BE折起，使得点A到达点P的位置（如图2），且平面PBE⊥平面BCDE

（1）证明：PB⊥平面PEC；

（2）若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥M﹣CDN的体积．

空间向量法：

例2、如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证：AB1⊥A1BD。

当然我们也可以找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量，分别计算所求直线与这两条两相交直线向量的数量积，若数量积都为0，则说明线面垂直，各位同学可以自己亲手证明一下。