大家好！本文和大家分享一下这道2004年江苏高考数学压轴题。这是一道考查抽象函数的综合题，难度非常大，很多学生连题都没读懂，全班差点就全军覆没了。接下来我们一起来看一下这道题。
先看第一小问。要证λ≤1，先看题干中涉及到λ的关系式，即λ(x1-x2)^2≤(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]。由m-n≤|m-n|及|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|得，λ(x1-x2)^2≤|x1-x2|·|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|^2，即λ≤1。
由于λ是大于零的常数，所以当x1≠x2时，(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≥λ(x1-x2)^2＞0，所以f(x)就是单调递增函数，因此不存在b0≠a0，使得f(b0)=0。
另外，证明不存在b0≠a0，使得f(b0)=0还可以用反证法。
即先假设存在b0≠a0，使得f(b0)=0。由于λ为正数，a0≠b0，所以λ(a0-b0)^2＞0。又λ(a0-b0)^2≤(a0-b0)[f(a0)-f(b0)]=0，这与λ(a0-b0)^2＞0矛盾。所以假设不成立，原结论得证。
再看第二小问。将b=a-λf(a)代入(b-a0)^2得：(b-a0)^2=[a-a0-λf(a)]^2=(a-a0)^2-2λ(a-a0)f(a)+[λf(a)]^2①。接下来将(a-a0)f(a)和[f(a)]^2代换为(a-a0)。
又(a-a0)f(a)=(a-a0)[f(a)-f(a0)]≥λ(a-a0)^2，且[f(a)]^2=[f(a)-f(a0)]^2≤(a-a0)^2，代入①式后，即可得到(b-a0)^2≤(1-λ^2)(a-a0)^2。
最后看第三小问。
[f(b)]^2=[f(b)-f(a0)]^2≤(b-a0)^2，[f(a)]^2=[f(a)-f(a0)]^2≤(a-a0)^2，两边同时乘以1-λ^2，得到(1-λ^2)[f(a)]^2≤(1-λ^2)(a-a0)^2。
由第二小问的结论可知：(b-a0)^2≤(1-λ^2)(a-a0)^2，所以[f(b)]^2≤(b-a0)^2≤(1-λ^2)(a-a0)^2，结论得证。
抽象函数由于没有具体的解析式，所以很多同学都比较害怕抽象函数，但是只要掌握到了函数的实质，那么抽象函数实际上并没有想象中的那么难。你觉得呢？
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