每日一练390：不定积分计算中被积函数改写注意事项与实例分析

练习390：计算不定积分 .

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昨天咱号推送了“”的推文（非常感谢学友们留言探讨过程与结果），给出了所求不定积分在一些参考书中，也是有些学友日常练习中给出的求解思路与结果。

很多学友在计算出相应的不定积分以后，除了简单地通过求导

在形式上验证不定积分的导数为被积函数之外，并没有进一步分析改写变形被积函数求不定积分的过程对表达式改写的恒等要求，同时也没有进一步分析所得的原函数，是不是真的就是被积函数在其连续区间上的原函数，即没有探讨其在被积奇函数的连续区间上的连续性和可导性，从而导致错误的结果！

对于文中的改写过程，在咱们给出的推文中还给出了改写被积函数的 条件，而在有些参数资料中甚至没有给出这个限制就直接改写得到认为正确的结果。

其实给出的改写变形求不定积分的计算过程本身没有错误，要注意的是，由 的条件，所得的被积函数已经不是原来的函数了，而是一个包含了第一类间断点的分段函数，所以必须分区间来计算得到结果，虽然积分结果形式上一致，但是所带的任意常数是不同的！即结果应该是

0 \hfill \cr {1 \over {\sqrt 2 }}\arctan {{{x^2} - 1} \over {\sqrt 2 x}} + {C_2},x < 0 \hfill \cr} \right." data-formula-type="block-equation">

要使得函数 在 处连续，必须满足

则得 . 如果记 ，则有

0 \hfill \cr {1 \over {\sqrt 2 }}\arctan {{{x^2} - 1} \over {\sqrt 2 x}} + C,x < 0 \hfill \cr} \right." data-formula-type="block-equation">

不仅如此，还需要补充函数 在 处的定义，

即不定积分结果应该为

0 \hfill \cr C + {\pi \over {2\sqrt 2 }},x = 0 \hfill \cr {1 \over {\sqrt 2 }}\arctan {{{x^2} - 1} \over {\sqrt 2 x}} + C,x < 0 \hfill \cr} \right. " data-formula-type="block-equation">

容易验算可知

所以这样得到的 即为原来函数 真正意义上的不定积分。

除了以上求解步骤，其实更通用的方法应该是有理函数不定积分的方法！ 为有理函数，部分分式分解可得

令 ，故不定积分计算转换为计算

将 分别代入，可得

于是可得

以上问题的探讨包含了不定积分平时练习中要注意的一些问题，比如被积函数的恒等变换，分段函数不定积分的计算，不定积分结果的验证等。分享的思路也仅供参考，欢迎学友们投稿分享更多的思路、方法！

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