赌金分配问题与数学期望

　　概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支学科，也是一门研究事情发生的可能性的学问。但是你知道吗？概率论的起源与欧洲文艺复兴时期的赌博活动密切相关，今天我们就来和大家聊一聊这些往事。

　　1654年，法国贵族德·梅累骑士在一次名流聚会活动中向当时名满欧洲的天才数学家帕斯卡提出了这样一个问题：

“ 有两个赌徒 和 ，他们俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。对于两人来说，游戏的规则是完全公平的（即两人在每局游戏中获胜的可能性相同）。赌了半天， 赢了4局， 赢了3局。这时突然有消息说警察马上就要来了，两人便急忙拿着奖金匆匆忙忙逃离了现场。

“ 两人到达安全地点后，开始商量如何分配赌金。赢了3局的 认为，由于两人获胜的局数之比为 .因此应当把赌金平均分成7份，按照这笔赌金的 和 进行分配是最合理的。

“ 这时赢了4局的 提出了异议：按照游戏规则，我只要再赢一局就可以赢得全部赌金，而你需要再连续赢两局才能赢得全部赌金，显然我能获得全部赌金的可能性更大，按照 的方式来分配赌金肯定对我不公平！

　　梅累骑士请教帕斯卡先生：在这种情况下，要如何分配赌金才合理呢？

　　如何当场算出这个问题的比例，即便是当时大家公认的天才帕斯卡也完全没有头绪，不过帕斯卡向梅累骑士承诺：“我一定会想出这个问题的答案。”当时在聚会中的人们被梅累骑士与帕斯卡的交谈所吸引，但他们不知道自己正在亲眼见证一个历史性的瞬间。

　　这便是数学历史上著名的赌金分配问题。

　　2 帕斯卡与费马的通信

　　帕斯卡埋头于这个难题，但当时，这样的概率计算还是有史以来的首次尝试。即便是天才帕斯卡似乎也无法确认自己的计算是否正确。于是，帕斯卡写信给好友费马（没错，就是那个本职工作是律师，但数学成就不比职业数学家差的“业余数学家之王”）。对于帕斯卡而言，当时能够参与解答这个难题的，非费马莫属。

　　帕斯卡在信中提出：

“ 假设两位赌徒继续玩下去，再进行一局，若 胜则可得全部赌金（ 获得完整的1份赌金），若 胜，则大家各胜4局，这种情况下 和 各有 的可能性获得赌金，所以这时赌金就应该对半平分（ 和 各获得 份赌金）。

“ 综上所述，在对于如何分配赌金的讨论中， 的概率应当全额分配给 ，剩下 的概率应该平分给 和 两个人，因此分配方案为：

“ 最终按照 的比例进行分配，才是对两人都公平的方案。

　　对于帕斯卡的问题，费马则提出了另一种解法：

“ 、 两人至多只要再玩两局便可分出胜负。我们其实可以想象一下再玩两局会出现的所有可能的情况：

“ 每种情况都是等概率出现，其中前三种情况都是 获得全部赌金，而 只有在最后一种情况时才能获得全部赌金，因此应该以 的比例进行分配。

　　无论是帕斯卡的方法还是费马的方法，他们都从不同的角度提出了如何合理分配赌金的方案。

　　3 数学期望

　　回顾一下这个问题，我们发现，仅仅考虑谁赢了几局是不够的，还必须和游戏一开始“率先赢满5局者获胜”的规则联系起来。这样，每个人的“期望值”便是不一样的， 离5局更近，“期望”就会高些，因而得到的赌金可以达到 的份额；而 离5局较远，“期望”就会低些，得到的赌金就仅有 了。

　　帕斯卡与费马通过通信讨论了合理分配赌金的问题，于是便有了上述关于“期望值”的数学，是为概率论之发端。

　　我们一般用 来表示期望值（Expectation）.

　　已知离散型随机变量 在每一状态 下的取值 以及对应的概率 .则期望 可用如下公式计算：

　　比如在上述分配赌金问题中， 能够分得赌金的数学期望就是这样计算而来的。

　　
赌金 （份） （份） 概率 0.5 0.5

　　在生活中也有很多关于“数学期望”的例子，最经典的例子为彩票。

　　我们假设有一种彩票，分为5个奖项，每个奖项的金额和中奖概率如下：

　　一等奖500万元，中奖概率

　　二等奖10万元，中奖概率

　　三等奖3000元，中奖概率

　　四等奖200元，中奖概率

　　五等奖5元，中奖概率

　　那么买一注彩票的平均收益（期望值）为：

　　也就是说，如果花2元买一注彩票，则每买一注彩票平均会亏损0.65元。

　　因此，还是不要梦想一夜暴富了，脚踏实地，努力学习吧！

　　参考文献[1]张奠宙,丁传松,柴俊.情真意切话数学[M].科学出版社，2011.[2]（日）岩泽宏和.改变世界的134个概率统计故事[M].戴华晶译.湖南科学技术出版社，2016.

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　　来源：大小吴的数学课堂

　　编辑：牧鱼