用最简单的方式解释黎曼猜想（二），黎曼ζ函数，素数之门的金钥匙

高斯对素数的研究‍

第一个发现素数定理（PNT）真理的人是卡尔·弗里德里希·高斯。高斯是有史以来最伟大的数学家之一。他被称为“数学王子”。1849年12月，高斯与天文学家约翰·弗朗茨·恩克通信说：

你对质数频率的说法使我感兴趣，这让我想起了我自己对这一主题的研究，在1792年或1793年，我将我的注意力集中到质数频率的降低上……我很快意识到，这个频率，平均来说，与对数近似成反比。

高斯计算的是1000个连续整数中有多少个质数，从1792年开始（那时他才15岁），高斯把所有质数以1000个数字为单位一次计数，一直到几十万（还没算到一百万），以此作为消遣。

1798年，也就是高斯发现PNT的几年之后，勒让德出版了一本名为《论数论》的书，在书中，他推测：

在这本书的最后一个版本中，他对这个猜想进行了改进：

其中，当x较大时，A趋于1.08366附近的某一数值。高斯在1849年写给恩克的信中讨论了勒让德的猜想。他否定了1.08366的值，但没有得出其他非常明确的结论。

巴赛尔问题‍

巴塞尔问题要求的是自然数平方和的倒数的精确和，即无穷级数的精确和：

巴塞尔问题的名字来源于一座瑞士城市，伯努利兄弟曾先后在这座大学担任数学教授二人都证明了调和级数（所有自然数倒数之和）是发现的。雅各布·伯努利陈述了上述问题（巴赛尔问题）。

我们知道调和级数发散非常“勉强”，前10^43项之和仍不超过100！而巴塞尔级数中的每一项都小于调和级数中的对应项。因此，我们猜测巴赛尔级数应该是收敛的。

计算表明确实如此。巴赛尔级数前10之和为1.5497677，前100项之和为1.6349839，前1000项之和是1.6439345，前10000项之和是1.6448340。它确实收敛到1.644或1.645附近的某个数值。但那个收敛值具体是多少？

这个问题终于在1735年被年轻的欧拉解开。令人吃惊的答案是：

答案包含了我们熟悉的圆周率π。这在当时让数学家们感到非常吃惊。

巴塞尔问题打开了zeta函数的大门，这是黎曼猜想所关注的数学对象。巴塞尔问题的欧拉解不仅给出了平方倒数级数的闭形式，它还把N推广到了整个偶数范围：

当N=2时，级数收敛到（π^2）/6（这也是两个自然数互质的概率，很神奇是不是）。N=4时，收敛值为（π^4）/90；N=6时，收敛值是（π^6）/945。欧拉自己一直把N算到了26，结果是：

但如果N是奇数呢？欧拉的结果与奇数无关。此后的260多年时间里，数学家都不知道N为奇数时的收敛值如：

没有人能够找到这些级数的封闭形式，我们只知道它们确实是收敛的。直到1978年才证明N=3时，级数收敛值是无理数。到18世纪中叶，很多数学家都在思考无穷级数如下表1：

N

收敛值

1

发散

2

1.644934066848

3

1.202056903159

4

1.082323233711

5

1.036927755143

6

1.017343061984

• 表1

表1是对黎曼ζ函数的初步了解，这是理解黎曼猜想的第一步。

为了纪念这个新的认识，我将把“N”换成一个不同的字母，一个与整数没有那么联系的字母。当然，显而易见的选择是“x”。然而，黎曼本人在1859年的论文中并没有使用“x”，他用的是“s”。最后，是黎曼zeta函数形式是：

用求和符号表示为：

让我们把注意力转向参数s，当s = 1时， 级数 发散，因此函数没有值。当s为2，3，4时，它总是收敛的。事实上，可以证明这个级数对任何s大于1的数都是收敛的。当s为1.5时，收敛到2.612375；当s为1.1时，收敛到10.584448.；当s为1.0001时，它收敛于100000.577222。当s = 1时级数发散，但当s = 1.0001时级数却收敛，这似乎很奇怪。

画出函数图更能说明情况。下面是zeta函数的曲线图。

可以看到，当s从右边接近1时，函数值上升到无穷大；当s在最右边趋于无穷时，函数值越来越接近于1。如果s=0呢？

根据幂法则4，这个和是1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +…，它很明显是发散的。

对于负数，情况更糟。由幂法则5，知道2^（-1）=1/2，3^（-1）=1/3……而1/（1/2）=2，1/（1/3）=3……因此，s=-1时，级数是1+2+3+4+5……显然是发散的。如果s=1/2呢？由于2^（1/2）=sqrt（2），因此：

因为任何整数的平方根都比这个数小，所以这个级数中的每一项都比调和级数中相应的项大，因此它是发散的。

上图似乎显示了黎曼zeta函数的所有特征。函数只有当s大于1时才有值。或者，正如我们现在所知道的，用恰当的术语来说，函数的定义域是所有大于1的数。对吧？错了！

埃拉托色尼筛选法‍

埃拉托色尼是亚历山大大图书馆的图书管理员之一。他提出了著名的寻找质数的方法。原理是这样的：首先，写下所有的整数，从2开始。当然，你不可能把它们都写下来，所以我们就用100个左右吧：

现在，保持2不变，剔除数表中所有2的倍数的数，得到：

2之后的第一个数字是3。保持2、3不变，剔除数表中所有3的倍数的数，得到：

3 之后 第一个未受影响的数字是5。保持2、3和5不变，剔除数表中所有5的倍数的数，得到：

第一个未受影响的数字是7。下一步是让2、3、5、7保持不变，剔除数表中所有7的倍数的数，以此类推，最后剩下的数就是质数。这就是埃拉托色尼筛选法。

Tip：

埃拉托色尼的筛选法很简单，已有2230年的历史。它是如何让我们进入19世纪中期，并对函数理论产生深远影响的？

这一次，我将把它应用到黎曼ζ函数上，我在上面定义了黎曼函数，函数只有当s大于1时才有值。

• 表达式1

注意，这样写需要写出所有的正整数，这与埃拉托色尼的 筛选 法有什么联系？我要做的是在等号两边同时乘以：

得到：

• 表达式2

现在，我用表达式1减去表达式2，得到：

这消除了所有的偶数项，只剩下奇数项。

回顾下埃拉托色尼筛选法，我现在要在等号两边同时乘以：

3是右边第一个没受影响的数字。

• 表达式3

现在用表达式2减去表达式3，得到：

所有3的倍数都消失了。右边第一个数字变成了5。继续下去得到：

注意到和埃拉托色尼筛选法相似了吗？实际上，你应该首先注意到区别。在埃拉托色尼筛选法中，我让以此让2、3、5、7……保持不变，依次剔除它们的整数倍。而现在，我从右边删除了原始质数（2、3、5、7……）以及它的所有倍数。

如果我一直下去直到一个较大的质数，比如997，得到：

• 表达式4

右边，如果s是任何大于1的数，那右边就比1稍大一点。例如，如果s为3，则得到1.00000006731036081534。所以说，如果一直重复这个过程，会得到如下结果：

依次将上式两边重复地除以每个括号内的“东西”，得到：

这就是打开质数大门的“金钥匙”。为了展示它的优雅，让我把它整理一下。我和你一样不喜欢带有分数分母的分数。用一点代数知识，整理得到：

• 表达式5

这又一次证明了质数有无穷多个。你可能会想，表达式5有什么特别之处，或有什么意义？这个问题的答案要到黎曼猜想系列文章的最后才能清楚。表达式5有个名字，叫“欧拉乘积公式”。

一个重要的函数‍‍

首先，考虑函数：

具体如图1所示。我把变量x的符号换成了t。

• 图1

我在图中加了阴影，因为我要做一点积分。积分是一种计算函数下面积的方法。首先求出函数的积分。1 / log t的积分是多少？

不幸的是，没有普通的函数可以用来表示1 / log t的积分。但这个积分又是非常重要的，它在我们对黎曼假设的研究中经常出现。数学家不想每次提到这个积分都写一次下面的表达式：

因此，数学家给它一个名字叫“log积分函数”，通常用“Li（x）”表示，有时也用“li（x）”。求这个函数值（也就是阴影面积）需要一定的技巧，因为1 ⁄ log t在t=1时没有值。我将轻松地克服这个小困难。只需要注意的是，当计算积分时，水平轴以下的面积被认为是负的，因此随着t的增加，1右边的面积抵消了左边的面积。

下图2是Li（x）的函数图。

• 图2

注意，当x<1时，它是负的。它在x = 1时向负无穷下降，但随着x向1右侧移动，正的面积逐渐抵消负的，使Li(x)从负无穷返回，在x = 1.4513692348828处达到0。此后稳步增长。它在任意点的梯度，当然是1 / log x。此外，回顾一下我上篇文章，一个整数在x的附近是质数的概率是？

这就是为什么这个函数在数论中如此重要。你看，随着N变大，Li(N) ~ N / log N。现在根据素数定理， π (N) ~ N ⁄ log N。我们知道这个小波浪号“~”是可传递的。如果P ~ Q并且Q ~ R，那么P ~ R。因此，如果素数定理是正确的（确实正确，在1896年得证），那么也一定有 π (N) ~ Li(N)。

Li(N)实际上是π (N)比N / log N更好的估近似。

从上表可以看出，Li(x)是我们整个研究的中心。事实上，素数定理通常表示为π (N) ~ Li(N)，而不是π (N) ~ N / log N。在黎曼1859年的论文中，得出了π (x)的精确表达式（虽然还没有得到证明），Li(x)引出了这个表达式。

关于上表中另一个值得注意的点是，对于表中所示的所有N值，N / log N给出了π (N)的低估值，而Li(x)给出了一个高估值。

我们离黎曼猜想越来越近了……