新时代高等代数教学如何体现高阶性、创新性和挑战度？

9月

2021

新时代高等代数教学如何体现高阶性、创新性和挑战度？

在基础学科 “强基计划” 的背景下, 教育部对高等院校一流本科课程“两性一度”（高阶性、创新性和挑战度）的要求，对于数学系基础课程高等代数来说，如何做才能实现这个目标呢？我们一起来看看南京大学代数组的老师们孜孜不倦的探索吧。

课程建设背景

2009 年, 南京大学创造性地开启了本科教育 “三三制” 人才培养模式, 即 “大类培养、专业培养、多元培养” 三个培养阶段和针对不同类型人才培养需求设计的 “专业学术类、交叉复合类、就业创业类” 三条发展路径. 2014 年, 南京大学“三三制” 本科教学改革荣获国家级教学成果奖特等奖. 2016 年, 南京大学继续以“办中国最好的本科教育” 为引领, 以教学质量提升为导向, 开展南京大学 “十百千” 优质课程建设工作, 高等代数课程成功入选南京大学首批 “百” 层次优质课程. 2017 年, 南京大学开始实施大类招生, 进一步完善以 “个性化培养、自主性选择、多元化发展” 为特征的 “三三制” 人才培养模式. 2020 年, 高等代数课程成功通过了优质课程专家组验收, 写一本体现“两性一度”的精品教材也是该优质课程的一个重要组成部分.

教材编撰理念

为了使学生在两学期的高等代数学习中对代数学的研究对象、基本思想和基本方法有一个初步而又清晰的认识, 在高等代数教材编写过程中, 我们遵循以下三个“理念”:

(1) 激发兴趣.我们通过介绍相关内容的研究背景、发展脉络以及一些著名的数学成就, 开启每一章的学习.

例如, 在第 1 章的章首, 我们简单介绍了整数和多项式的悠久历史, 从公元前 6 世纪毕达哥拉斯对整数的可除性问题的研究, 到《九章算术》中正式引入负数以及加减运算法则; 从古巴比伦时代求解一元二次方程,到卡尔达诺给出了一元三次、四次方程的求根公式, 再到阿贝尔和伽罗瓦证明了五次及五次以上一般形式的多项式方程没有求根公式.这样安排可以充分激发学生的好奇心和求知欲, 让他们不知不觉走入知识的殿堂.

(2) 启发思考.数学概念的产生依赖于长期思考后的顿悟! 我们只教学生已有的知识是不够的, 还应启发学生去发现新的知识.

例如, 在第 2 章介绍雅各布森引理时, 我们特别介绍了这个引理的相关历史和研究思路.通过这个具体的例子, 让学生了解知识的形成与发展过程, 由此启迪他们的思维和认识, 培养他们的探索精神.

(3) 培养能力.本书内容按照由浅入深, 由具体到抽象的原则, 强调三个 “衔接”—— 与中学课程衔接、与后继课程衔接、与科学研究衔接; 重视三个 “自己”——学生提出自己的问题, 找出自己的例子, 给出自己的证明,旨在帮助学生养成问题意识、质疑精神、批判思维, 构建自己的知识结构, 培养他们的逻辑思维能力、发现问题和解决问题的能力, 为他们的专业学习及终生学习埋下种子.

例如, 在第 1章中, 我们首先介绍整数的算术性质, 然后介绍一般多项式理论, 特别地, 通过 p元域阐明了未定元的多项式和多项式函数的不同.这样处理既有利于学生完成从中学到大学的过渡, 也有利于提高他们的认识水平和论证推理能力, 为他们后继课程的学习奠定基础.

又如, 在第 6 章最后一节, 我们简单介绍了与 λ-矩阵具有类似性质的整数矩阵. 这不仅仅是为了前后呼应, 更重要的是引导学生自主学习,促进学生完成相关知识的有机整合, 培养他们可持续发展的能力.

特别地，本书特别注重弘扬中国传统数学文化, 突显中国人在数学领域的贡献.

例如,书中多次介绍了我国古代数学名著《九章算术》在数学研究的不同领域中的辉煌成就; 介绍了中国剩余定理, 这是数学学科中唯一一个以国家名字命名的定理, 该定理在代数学、分析学中都有着极其重要的应用; 介绍了华罗庚等式——一个以当代著名数学家华罗庚先生的名字命名的等式. 通过这些数学成就和数学家的介绍, 加强学生对中国文化的自信心, 提高学生的民族自豪感.

赋予高等代数新时代精神内核

在基础学科 “强基计划” 的背景下, 南京大学代数组的老师们对照教育部一流本科课程的要求, 按照 “两性一度” 的标准为学生们编写了高等代数教材，给高等代数这门悠久的数学课程赋予了新时代的精神内核, 让学生在学习专业课程的过程中，体悟治学做人的道理，为培养学生们坚实的科学精神、扎实的科研能力埋下种子、奠定基础.

在高阶性上，我们这样做：在内容的选择上, 注重学生知识、能力、素质的有机融合, 着力培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维.

例如, 三级特殊正交矩阵对应于三维空间的旋转, 这是高等代数中比较困难的内容. 我们从 “欧拉角” 和 “四元数” 这两个不同的角度介绍了旋转的概念, 这样不仅便于学生理解, 也把代数与几何、抽象与具体结合了起来, 有利于培养学生利用所学知识解决复杂问题的能力. 一个问题，换个角度理解、交相辉映，你会发现不一样的数学之美.

在创新性上，我们这样做：本书力求反映学科的前沿性和时代性, 满足新时代对人才培养的需求.

例如, 我们首次在教科书中介绍了如何用埃尔米特矩阵及其子矩阵的特征值计算特征向量分量模长的著名定理. 2019 年, 陶哲轩与几位物理学家合作, 发现并证明了该定理. 这项成果曾被众多媒体争相报道, 惊呼陶哲轩发现了一个重要性足以写进高等代数教科书却被代数学家们遗漏了的定理. 后来才发现, 这个定理在过去两百年间被重复发现了多次, 只是一直未被代数学家们重视. 告诉学生们，创新无处不在，只要我们拥有善于发现的眼光、抓住问题不放松的 “拼劲”.

在挑战度上，我们这样做：书中安排了一些思考题和有挑战度的习题, 这些内容需要学生跳一跳才能够得着.

例如, 第 1 章习题 39 是一道三角函数与多项式函数相结合的题目. 学生对三角函数很熟悉, 但是要完整解答本题, 需要学生对多项式函数有较好的认识, 对学生有较高的要求. 教学实践表明, 适当的挑战度可以激发学生的学习兴趣, 培养他们探索发现新知识的能力, 使他们通过既有知识的综合运用或创造新知识, 最终享受成功的喜悦.

特别地，为了培养学生课内外探究性学习的能力, 充分发挥学生的潜能, 拓宽他们的思路和知识面, 书中不仅安排了一些思考题和典型例题, 还有很多注记和脚注, 这些注记有的是相应定义、定理或结论的解释、补充和拓展, 也有的是相关知识的历史背景或发展动态; 脚注主要介绍相关内容中涉及的不同历史时期的数学家, 这样安排有利于学生了解相关数学史和研究成果, 引导他们关注和阅读有关文献 (包括书后的文献), 让学生感受到, 他们离数学前沿和大数学家并非想象中那么遥远! 另外, 书中的数学词汇第一次出现时, 都有英文译名, 这不仅有利于学生阅读英文文献, 也为他们将来涉足数学前沿打下基础. 希望学生们在作者贴心设计的种种小细节中，感悟到老师的眷眷之心，学好并且爱上高等代数这门课！

本文为丁南庆、刘公祥、纪庆忠、郭学军编著的《高等代数》前言，编辑略有修改.

新书 推荐

《高等代数》是在作者原有高等代数讲义的基础上, 充分借鉴国内外高校常用 “高等代数” 和 “线性代数” 教材的优点, 顺应南京大学本科教育“三三制” 人才培养体系的要求, 为综合性大学本科生编写的一本 “高等代数” 教材.

书中内容包括整数与多项式、行列式与矩阵、线性方程组、线性空间、线性映射、 λ-矩阵、二次型、内积空间、双线性函数. 相关内容的选择、处理方法、深度与广度都有别于同类代表性教材, 注重激发兴趣、启发思考、培养能力, 着力体现高阶性、创新性、挑战度.

本书可作为大学本科 “高等代数” 教材, 也可作为 “高等代数” 或“线性代数” 课程的教学参考书.

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