如何理解平移函数的图像？从二次函数平移谈起

本文作者：刘瑞祥，[遇见] 这里感谢刘老师投稿支持！

很多数学老师觉得，无论怎么样学生也不会平移函数图像，比如你要问 y=x²+2x+3 是由 y=x² 怎么移动过来的，学生总是答错，特别是左右平移。那应该怎么解决呢？

问题确实不好解决，但也不是完全没有办法。这里的关键是，学生有时未必能说清自己的困惑，这就需要老师通过观察、谈话等方式，找出症结所在。就以本文谈的问题而言，各位老师们，你能看出学生哪里没有想明白吗？这个问题先放在这里，我们先看看该怎么给学生讲。

在对前面的函数配方成为 y=（x+1)²+2 以后，一个最好的方法是用特殊值法：原来函数图像的顶点(0，0)现在变成了（-1，2)，所以函数是向左移动了 1 个单位，向上移动了 2 个单位。至于顶点为什么是（-1，2)而不是(1，2)也很容易解释，那是因为可以容易看出顶点纵坐标是 2，既然如此，让配方后的函数值等于 2，就容易得到这时的 x 等于 -1 了。

我曾经说过，会做题不难，难在明白。具体到本文，学“明白”就是要想通这个问题：为什么和纵向移动有关的那个+2（这里关键是大于 0，具体数值倒在其次）就能让图像上移，而和横向移动有关的那个+1（注意也是大于 0）却让图像左移？为什么会有区别？如果学生想不通，将来还会出问题，比如以后遇到正余弦曲线的时候。我想先问问读者中的老师，你们怎么给学生解释？如果要问我，我会让学生把 +2 移动到等号左边变成 -2。这样的好处是：首先，和左右移动有关的数紧挨着 x（注意是（x+1)的完全平方），而和上下移动有关的数（-2)紧挨着 y；其次，既然和上下移动有关的数字（现在是 -2 了，小于 0）能让函数上移，那么和左右移动有关的数字（+1，大于 0）让函数左移，也就不难理解了。

“紧挨着”很重要，你能从上面两个式子中看出“紧挨着”的意思吗？

话说到这里，我要说一下我的教学观点：　有时学生思想中的死疙瘩需要特殊方法才能解决，以本文中的抛物线来说，学生会问：函数式里和 y 有关的 +2 为什么能让图像向上（正方向）运动，和 x 有关的 +1 为什么就让函数向左（负方向）运动？这种奇怪的区别是怎么造成的？我们把 +2 移到左边变成 -2 就可以看出其实没有什么不同。

另外一个经常让数学老师恼火的事情是，初中讲函数的时候经常移动函数图像，而高中讲解析几何的时候却经常移动坐标轴，偏偏这两者对方程的影响是相反的。我个人觉得，初中讲函数时的重点是研究变量之间的关系，比如我们先研究了一个自由落体的运动方程，再研究一个抛体运动的，就要把自由落体的运动方程平移一下。但是解析几何经常需要根据问题研究的方便程度来设定坐标系，这就涉及坐标的移动。但是无论哪种情况，只要掌握了特殊值法（特殊值可能是图形的某个顶点，也可能是直线和坐标轴的交点，或者是有心曲线的中心等等），再弄清楚“动”的是谁，就可以了。

举例来说，两个圆，一个是 x²+y²=1，中心是(0,0)；另一个是(x+1)²+(y-2)²=1，中心是(-1,2)。如果前者经过图形平移成为后者，那就是图形左移 1 个单位，上移 2 个单位；如果是前者经过坐标轴平移成为后者，则坐标轴右移 1 个单位，下移 2 个单位。为避免混淆，可以在草稿纸上画出坐标和图形，如果是图形移动就画两个图形，如果是坐标移动就画两套坐标轴（无论是谁移动，都把后来的画成虚线以示区别）。有的同学画不好圆，也可以只用箭头标出圆心或者原点移动方向。以下是我手画的结果，读者凑合看吧。之所以徒手绘制而不是用电脑或者尺规，就是为了给同学展示考试时应该怎么画。

下面谈谈正弦函数图像的问题。假如已经画出一条标准的正弦函数 y=sin（x） 的图像，怎么画出 y=3sin(2x+π/4) 的图像？

这里 3 倍不是关键问题，所以下面略去，重点是作为正弦函数括号里的 2x+π/4，有两种方法解决：一是先处理 2 倍，再处理 π/4；二是先处理 π/4，再处理 2 倍。无论哪种方法都要分成两步，而我们对每步都只要，也必须只要关注一个方面。换句话说，你在做第一步的时候不要考虑第二步，做第二步的时候也不要管第一步曾经是怎么来的，仅需要从第一步的结果出发就可以。

下左图这个变化图就是先处理 2 倍，再处理 π/4 的。注意我们的第一步是把图像从原点位置压缩到原来的 1/2（因为这个 2 倍系数紧挨着 x），然后再向左平移 π/8，因为这时要让这个数字紧挨着 x，就得把它变成 2（x+π/8)的形式。

上右图是第二种方法：先处理 π/4，再处理 2 倍。这时先向左移动 π/4，再从原点位置横向压缩图像到原来的一半。