极限专题（九）：运用概率统计和线性代数知识求解极限

极限的计算在数学中的地位是极其重要的，方法也特别多。有些极限使用微积分的知识可能比较困难，甚至有时候根本无从下手，比如说含有 重积分或者随机变量，亦或者是某些数列极限，但是如果跳出微积分的圈子，观察要求解的极限式，联系其他所学过课程知识，如概率论与数理统计，线性代数等，或许将会是另一番新的天地。

【注】没显示完整的公式请在公式上滑动显示！

一、知识复习 概率论与数理统计

定理1设 是一常数， 是正整数， ，若随机变量 的分布律为

则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 且 ．

定理2（独立同分布的中心极限定理）设 为一列相互独立相同分布的随机变量，且具有数学期望 和方差 ，则对于任意实数 ，有

其中为标准正态分布的分布函数．定理表明，当 充分大时，有

定理３（强大数定律）设 是一相互独立分布的随机变量序列，且 ，则

定理４（控制收敛定理）设 是随机变量序列， ， 可积，且 ，则

线性代数

定义１在线性空间 的一组向量 ，如果存在不全为零的数 ，使

则称向量组 是线性相关的，否则数 全为0时，称它是线性无关．

二、运用概率统计知识求解极限

【例１】证明：

【参考解析】：设 为一列相互独立相同分布的随机变量，观察极限式子，根据定理１可知， 服从参数为 的泊松分布，即 ，于是对于每个 有 ，由定理２得

【例２】设 ，证明：

【参考解析】：观察可得，所求极限即为

假设 为一列相互独立相同分布的随机变量，且服从 上的均匀分布，则 独立同分布， 独立同分布．则

可得到

由定理３可得，

同理可得

又因为 ，且 ，所以 ，所以，即

由定理４可得，且由期望的性质可得，

上述两个例题表明：对于一些复杂的数列极限问题，可以构造概率分布模型。涉及多重积分的求取问题，通常是比较困难的，如果再加上极限的求取，那就是难上加难。引入随机变量，利用大数定律，中心极限定理等，作为沟通概率统计与极限的桥梁，从而将问题由复杂变得简单。

三、运用线性代数知识求解极限

【例３】斐波那契数列满足 ，

求 ．

【参考解析】：设

则当 时，对于任意的实数 满足 ．给出如下定义：若

则 构成实数域上的线性空间．由于序列前两项唯一确定，故 线性无关的充要条件是 与 线性无关，从而 是二维的线性空间．

设等比序列 若 ，则

即 . 解得

由于 线性无关，故 可以表示为它们的线性组合，即

满足

从而

因为 ，于是

【例４】设 ，

求 ．

【参考解析】：设

由例３依然给出定义：

则它们组成复数域上的三维线性空间．设等比序列 若 ，则

于是 , 解得

且 是线性无关的．于是 可以表示为它们的线性组合，即

由欧拉公式可得，

则

由初始条件可得

解得

于是得到，

上面两个例子表明：一些迭代数列的极限若用微积分的方法是很难求的，但是从线性代数的角度考虑，将迭代数列作为一个线性空间，或许问题可以得到有效解决。方法的实质就是找到线性空间的基底，但是基底又不是唯一的，本文的找的是等比数列 作为基底，因此基底找得好，问题的解决也就简单了。上述例题研究的是二维与三维的情况，一些更复杂的数列极限也可以用多维代数来解决。

四、总结

高等数学，线性代数，概率论与数理统计是三大数学基础公共课，但是这三者并不是独立的，而是内在相通的，比如，线性非齐次方程组和线性非齐次微分方程的解的结构，概率统计极限理论等等。部分考研数学题往往将三科知识融合在一道题里面进行考察。但求解极限的方法非常多，比如洛必达，等价无穷小等等，本文介绍的只是具有特殊形式的极限，只能应用在一些特殊的题目类型当中，而且其思路也是非常的巧秒，因此掌握基本的求解极限的方法才是我们考研数学的重点。

说明：本文内容由作者根据相关资料整理，分享、转载仅供学习交流，没有标明出处的资源源于无法追溯其详细来源，如原出处不同意转载分享，请联系删除！

：