“胡不归问题”的由来
从前
有一个小伙子在外地当学徒
当他获悉在家乡的父亲年老病危的消息后
便立即启程赶路
由于思念心切
他选择了全是沙砾地带的直线路径A→B
当他气喘吁吁地跑到父亲眼前时
老人刚刚咽了气……
小伙子不觉失声痛哭
邻舍劝慰小伙子时告诉他
老人在弥留之际
还不断喃喃地叨念“胡不归？胡不归？……”
这个古老的传说
引起了人们的思索
小伙子要提前到家是否有可能呢？
倘有可能
他应该选择一条怎样的路线呢？
这就是风靡千年的 “胡不归问题”
“胡不归问题”示意图
早期的科学家
曾为这则古老传说中的小伙子
设想了一条路线
A是出发地，B是目的地
AC是一条驿道
而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地
为了急切回家
小伙子选择了直线路程A→B
但是
他忽略了在驿道上行走
要比在砂土地带行走快的这一因素
如果他能选择一条合适的路线
尽管这条路线长一些
但是速度却可以加快
是完全可以提前抵达家门的
当然
他们同时也表示
小伙子慌急之中乱了方寸
那种急切的心情是完全可以理解的
早期数学家的设想
其实
这个问题
用现代科学语言来描述
问题抽象
已知在驿道和沙砾上行走的速度分别为V1和V2
（V1>V2)，在AC上找出一定点D，
使得A→D→B行走时间最短，
于是问题在于如何寻找点D.
其实，在高中
问题已经远远比这个要难了
但也因为这个问题
现在已经形成了固定的
也确实有意思的题型
例1.在平面直角坐标系中，已知点A(1,4)，
B(4,2)。若点P为 x 轴上一动点，
求 |PA| +|PB| 的最小值。
分析：这是一个定元素在直线同侧问题。
做点A关于关于x轴的对称点A'，
则连接A'B交x轴于点P1，
由对称性可知，
P点在x轴上任一位置时，都有|PA|=|PA'|，
则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|，
而在三角形PA‘B中，总有|PA'|+|PB|>|A'B|，
故当点P与点P1重合时，
|A'B|即为|PA'|+|PB|的最小值。
或者也可以这样理解：
由对称性知，
从A点经过x轴再到点B所走的路程，
相当于从A'点经过x轴再到点B，
因为A'和B点分别在x轴两侧，
走直线必为最短路线。
变式1.在平面直角坐标系中，已知点A(1,4)，
B(4,2)。若点P为直线l：x+y+1=0上
一动点， 求 |PA| +|PB| 的最小值。
评析：此题在例1的基础上，
仅对条件中动点P的位置做了调整，
题型未变，思路也不变（同侧变异侧）
但因增加了一般对称点的求法，
也加大了此题求解的难度。
变式2.在平面直角坐标系中，已知点A(1,4)，
B(4,2)。在x轴和y轴上分别求一点P
和Q，使得|BP|+|PQ|+|QA|取得最小值，
并求出最小值。
评析：此题中两定元素也在动点所在直线的同一侧。
此题在例1基础上，将一个动点变为两个动点，
但题型仍未改变，所以方法上仍然大同小异。
由对称性知：
|AN|+|NM|+|MB|=|A'N|+|NM|+|MB'|，
由两点之间线段最短知，
最小值为|A'B|
结合物理学中光反射的特点，
此能也可将其情境更改为：
若一束光线从B点射出，
先后经x轴和y轴反射后，
恰好经过点A，
求光线从B点射到A点所经过的距离。
看来，
光线所走的路径应该都是最短路径了。
变式3.在平面直角坐标系中，已知点A(1,4)和
点B(4,-2)。若点P为x轴上一动点，
求|PA|-|PB|的最大值。
分析：此题中两定元素分别在动点所在直线异侧，
|PA|+|PB|的最小值易得，
但差值|PA|-|PB|则需要重新改造。
可考虑利用对称性，
将异侧两点改变为同侧。
思路：做点B关于x轴的对称点B‘，则总有|PB|=|PB'|
作射线AB'与x轴的交点P1。
当则P与点P1不重合时，
在三角形PAB‘中，
总有|PA|-|PB|=|PA|-|PB’|<|AB'|
当点P与P1重合时，
|PA|-|PB|=|PA|-|PB’|=|AB'|
故|PA|-|PB|最小值即为|AB'|
分析：此题在例1的基础上，
将动点所在的直线变为曲线，
但两个定点与动点所在的曲线位置关系不变（同一侧）。
所以，从本质上说，题型是相同的，
只是直线具有对称性的特殊性质，
而一般曲线是不具备的。
因此，本题想从位置关系的改变上（同侧变异侧）着手，
有难度。
故可参考变式3，考虑改变运算，
将距离之和改变为距离之差。
根据动点P为椭圆上的点，
可考虑用椭圆的性质。
思路：由椭圆定义，可知|PF1|+|PF2|=6，
故|PA|+|PF1| = |PA| - |PF2|+6
因此只要求出 |PA| - |PF2|的最小值即可。
而定点在线的同侧时（定点在椭圆内部），
差的最值可通过三角形性质直接得出。
由图可知：
依据三角形两边之差小于第三边，
点P与点M和点N分别重合时，
|PA| - |PF2|分别取得最大值(|AM|)
和最小值(-|AM|)。
分析：此题仅在例2的基础上，
将其中一个线段的系数改为非1常数。
若其中一个系数不为1时，
按照“胡不归问题”的处理，
可以先考虑这个系数的几何意义，
或为它构造几何意义。
因涉及焦半径，可考虑第二定义，
看是否与离心率有关。
如果两个系数都不为1时，
你能处理吗？
其实，关于这一类最值问题的处理，
主要有两种思路。
一是改变位置，
即同侧不能处理，则改为异侧；
二是改变运算，
加法不能处理时，则改为减法。
具体问题中，需要考虑的，
只是依据怎样的工具进行转化的问题。
在直线、椭圆、双曲线及抛物线中
均有类似题型
【来源】素人素言。
【投稿须知】公众号《许兴华数学》诚邀全国各地中小学数学教师、教研员和数学爱好者热情投稿！来稿时请注意以下五点：（1）来稿请注明真实姓名、工作单位、联系方式（无具体工作单位和真实姓名的投稿，一般都不会采用）。
（2）来稿一般要求同时用word文档和PDF格式的电子稿件（防止不同版本的Word打开时出现乱码）。另外，也接受少数著名教师的手写稿（手写稿必须清晰可读）。
（3）每篇文章请认真审查复核，防止错误发生，来稿文责自负。如有抄袭，则有可能被举报并受到有关著作版权部门的追责。
（4）投稿邮箱：chinamatha@163.com；或加主编微信xuxinghua168投稿.
（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。
特别声明：以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布，本平台仅提供信息存储服务。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.
