[去科技馆学科学]圆锥曲线中的奥秘

中国科技馆“探索与发现”B厅的“圆锥曲线的光学性质”由3件展品组成，分别展示椭圆、双曲线和抛物线的光学性质（图1），参与者可以在对比中了解不同圆锥曲线的特性。

图1　展品组“圆锥曲线的光学性质”结构示意图

椭圆的光学性质

展品由展台、椭圆形外框、弹片和目标块等组成（图2）。参与者参与时，将弹片放置在红色圆点位置，这一位置为椭圆外框的焦点位置。参与者可以用手指将弹片朝任意方向弹出，随后会惊奇地发现，无论朝向哪里弹出弹片，弹片经过椭圆外框反射后，均会击中处在椭圆另一焦点位置的目标块，甚至可以做到百发百中。这是为什么呢？

图2　展品“椭圆的光学性质”结构示意图

原来，椭圆具有这样一个光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都会汇聚到椭圆的另一个焦点上。这就容易理解参与者是如何做到百发百中了。我们将弹片想象成光线中的一个光子，沿着从椭圆一个焦点位置发出的任意一条光线轨迹，均能到达另一焦点位置。

我们日常生活中的电影放映机和照明灯具均是利用椭圆的光学性质原理进行设计的（图3）。在电影放映机中，聚光灯的反射镜为旋转椭圆面，将灯泡安装在椭圆面的焦点位置，就能使光线经过椭圆面的反射，汇聚于另一焦点位置的片门处，获得最强的光线。

图3　电影放映机工作原理示意图

抛物线的光学性质

展品由展台、2条不同抛物线型挡板、弹片、目标块和障碍挡板等组成（图4）。参与者参与时将弹片放在红色圆点起始位置，该起始位置为其中1条抛物线的焦点位置，用手指朝向本侧抛物线弹出弹片，若弹片能够躲开中间位置的障碍挡板，经过本侧抛物线和远侧抛物线的2次反弹后，会击中在远侧抛物线焦点位置的目标块。无论尝试多少次，均能击中目标块，这又是为什么呢？

图4　展品“抛物线的光学性质”结构示意图

抛物线作为圆锥曲线的一种，同样具有独特的光学性质。平行于抛物线焦轴的光线经抛物线反射后会汇聚到抛物线的焦点位置。本展品的2条抛物线的焦轴重合，当从其中1个抛物线的焦点弹出的弹片经过本侧抛物线反弹后，运动方向将转变为平行于这2条抛物线焦轴的方向，再经远侧的抛物线反弹后即可击中远侧抛物线焦点位置上的目标块。

日常生活中的探照灯和汽车灯均是利用了抛物线的光学性质设计的，将光源设置在抛物面灯罩的焦点位置，通过灯罩反射后转换为平行光。而太阳灶同样利用了抛物线光学性质将平行的太阳光通过抛物面型的反射镜反射后汇聚到一点，实现给水壶加热的效果（图5）。

图5　太阳灶工作原理示意图

双曲线的光学性质

展品由展台、2条双曲线挡板、圆弧形导轨、弹射装置和弹片等组成（图6）。这件展品采用2种参与方式：手动弹射和弹射装置弹射。

图6　展品“双曲线的光学性质”结构示意图

手动弹射方式：参与者首先将圆片放置在手动弹射一侧展台的任意位置，根据台面上指示，朝向远侧双曲线的焦点方向弹射圆片，如果弹射方向准确，弹片经过近处双曲线挡板反弹后会击中近侧双曲线焦点位置上的目标块。

弹射装置方式：参与者首先可以在圆弧形导轨上任意移动弹射装置，由于圆弧形导轨的圆心是远侧双曲线的焦点位置，即弹射装置无论在导轨什么位置，其出口方向一直指向远侧双曲线的焦点。随后参与者将弹片塞入弹簧装置底部，按下弹簧装置上的弹射按钮，将弹片弹出，这时弹片朝向远侧双曲线焦点方向运动，经过近侧双曲线挡板反弹后会击中近侧双曲线焦点位置上的目标块。为什么我们瞄准的是远侧双曲线焦点，经过反弹却到达近侧双曲线的焦点位置呢？

和椭圆、抛物线等圆锥曲线一样，双曲线也具有独特的光学性质。从双曲线的一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。这件展品正是利用了这一性质。由于光线是可逆的，当光线指向远侧双曲线焦点位置时，经过近侧双曲线的反射，光线能够汇聚到近侧双曲线的焦点位置。弹射装置所在的圆弧形滑轨的圆心指向远侧双曲线的焦点，所以无论弹射装置在滑轨什么位置，从弹射装置弹射出的弹片的运动方向均是指向远侧双曲线焦点位置的，经过近侧双曲线反弹，必能击中近侧双曲线焦点位置的目标块。

卡塞格伦天线是一种在微波通信中常用的天线，正是利用双曲线的光学性质及抛物线的光学性质原理设计的（图7）。卡塞格伦天线由主反射面、副反射面和馈源3部分组成。其中主反射面为抛物面，副反射面为旋转双曲面。在结构上，双曲面的一个焦点与抛物面的焦点重合，双曲面的焦轴与抛物面的焦轴重合，馈源位于双曲面的另一焦点上。

图7　卡塞格伦天线原理示意图

工作时，馈源向副反射面发出电磁波，电磁波经过副反射面反射到主反射面，由于副反射面（双曲面）和主反射面（抛物面）的焦点重合，根据双曲线的光学性质，可推导出经副反射面反射的电磁波的反向延长线经过2个反射面的焦点，根据抛物线的光学性质，电磁波经过主反射面反射后，可获得平行于2个反射面焦轴的平面波波束，以实现定向发射。

本文原载于《中国科技教育》2018年第6期“追踪”栏目，作者马超，有删减。

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