数学建模常规方法及其MATLAB实现：数据拟合方法

一、多项式拟合

将数据点按多项式的形式进行拟合，使用最小二乘法，可以确定多项式的系数。多项式拟合有指令语句和图形窗口两种方法：

1、多项式拟合指令

polyfit(x,y,n) ：多项式拟合，返回降幂排列的多项式系数。
polyval(p,xi) ：计算多项式的值。
其中，x，y是数据点的值；n是拟合的最高次幂；p是返回的多项式系数；xi是要求的点的横坐标。

2、图像窗口的多项式拟合

在图形窗口中可以用菜单的方式对数据进行简单、快速、高效的拟合。

具体步骤（2017b）：

二、指定函数拟合

在MATLAB中也可以用用户自定义的函数进行拟合，通过下面的例子读者可以了解指定函数进行数据拟合的基本方法。

• 对该数据进行指定拟合：

x=[0;0.4;1.2;2;2.8;3.6;4.4;5.2;6;7.2;8;9.2;10.4;11.6;12.4;13.6;14.4;15];%列向量
y=[1;0.85;0.29;-0.27;-0.53;-0.4;-0.12;0.17;0.28;0.15;-0.03;-0.15;-0.071;0.059;0.08;0.032;-0.015;-0.02];

• 在MATLAB中可以用如下命令画出上述点的散点图

x=[0;0.4;1.2;2;2.8;3.6;4.4;5.2;6;7.2;8;9.2;10.4;11.6;12.4;13.6;14.4;15];%列向量
y=[1;0.85;0.29;-0.27;-0.53;-0.4;-0.12;0.17;0.28;0.15;-0.03;-0.15;-0.071;0.059;0.08;0.032;-0.015;-0.02];
plot(x,y,'r*');

知道其对应的函数形式为f(t)=acos(kt)e^wt,则可用MATLAB进行拟合。编写如下M文件：

%自定义拟合函数f(t)=a*cos(k*t)*exp(w*t)
clc,clear
syms t
x=[0;0.4;1.2;2;2.8;3.6;4.4;5.2;6;7.2;8;9.2;10.4;11.6;12.4;13.6;14.4;15];%列向量
y=[1;0.85;0.29;-0.27;-0.53;-0.4;-0.12;0.17;0.28;0.15;-0.03;-0.15;-0.071;0.059;0.08;0.032;-0.015;-0.02];
f=fittype('a*cos(k*t)*exp(w*t)','independent','t','coefficients',{'a','k','w'}); %fittype是自定义拟合函数
cfun=fit(x,y,f) %根据自定义拟合函数f来拟合数据x，y
xi=0:0.1:20;
yi=cfun(xi);
plot(x,y,'r*',xi,yi,'b-');

运行此程序，结果如下

cfun =
General model:
cfun(t) = a*cos(k*t)*exp(w*t)
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 0.9987 (0.9836, 1.014)
k = 1.001 (0.9958, 1.006)
w = -0.2067 (-0.2131, -0.2002)

程序中，fittype函数是自定义拟合函数；cfun=fit（x，y，f）是根据自定义的拟合函数f来拟合数据x，y。注意：此处数据必须为列向量的形式。fittype函数和fit函数的用法和参数规则可参考Help从结果可以看出，拟合的曲线为f(x)=0.9987cos(1.001t)e^-0.2066t。拟合曲线给出了数据的大致趋势，效果很好，并给出了各参数的置信区间。

注意：command window里给出了warning，是由a，k，w三个参数的初始值未给出导致的，因此如果拟合结果不理想，可以多运行几次。

三、曲线拟合工具箱

MATLAB的曲线拟合工具箱功能非常的强大，使用也很方便。

详细步骤：

界面中有五个按钮，功能是：

Data:输出、查看和平滑数据；
Fitting：拟合数据、比较拟合曲线和数据集；
Exclude:可从拟合曲线中排除特殊的数据点；
Plotting:选定区间后，单击按钮可选择原始数据和拟合数据作图；
Analysis:对拟合进行满意度、偏差等分析。
曲线拟合工具箱中包含了各种常用的数据拟合方法，可以对各种函数进行拟合，具体的操作方法请参考Help。