湖北
【毅言堂】一弧复一圆——修复铜镱背后的知识
北师大版小学数学新教材六年级上册第二单元《圆》相对旧教材，新增了一个课时《修复铜镜》，教材内容如下：
这节课完全可以作为一节数学活动课，在前面学生已经学习了圆的基本概念和圆的对称性，在此基础上设计了修复铜镜的活动，其本质是根据圆的一部分来复原整个圆。
由圆的概念可知，若要复原整个圆，需要两条信息——圆心和半径，因此在这节课中，如何引导学生通过实践活动发现寻找残片圆心和半径的方法，是教学的重点。
一、从对折说起
在圆的认识二中，学生通过对折圆形纸片的方式，发现了圆的对称轴是经过圆心的直线，且有无数条对称轴，在课堂上，若仔细观察学生对折圆形纸片的操作，会发现存在以下误差：
当学生沿一条未经过圆心的直线对折时，会发现两边不能重合，于是迅速调整，直到两边完全重合，这一瞬间极难被教师关注到，我们一般看到的现象是学生操作了几次，都完美地将一个圆形纸片折成了一个半圆。
不妨深入思考一下，在学生对折圆形纸片的过程中，他们是如何调整折痕位置的？
有的学生会说第一次对折时发现不能重合，再将多出的部分“缩回”一点，或将欠缺的部分“伸长”一点，直到圆的“边边”和另一半重合。
能这样描述的学生已经十分接近真相了，毕竟对折时让曲线重合，难度比起直线要高得多。不妨将视线拉回到我们十分熟知的长方形或正方形的对折上，在小学阶段，学生对于轴对称的认知，就是从对折开始的，如下图：
左图是线段AB，也可认为它是一根绳子，对折一根绳子，学生会马上想到将两个端点A、B重合，这样得到点C是线段AB的中点，同时若我们过点C作AB的垂线，则这条垂线是线段AB的对称轴；
右图是长方形ABCD，学生在对折这张纸片的时候，也会马上想到将顶点A、D重合，这样得到AD中点E，同时当B、C重合时，也得到BC中点F，经过E、F的直线即这个长方形的一条对称轴；
在以上操作过程中，对折实质上是让一对对应点重合，这一对对应点的连线中点，一定是对称轴经过的点，由于小学并未学习过线段的垂直平分线，所以学生还会用到另一对对应点连线中点，由这两个中点可确定对称轴所在直线，即满足两点确定一条直线的基本事实。
但在数学上，对于长方形ABCD来讲，只要让点A和点D重合，折痕一定是EF；我们可借助初中数学知识来解释，此时的EF就是线段AD的垂直平分线，毕竟对折操作同时也将平角分成了两个直角，对于学生可以不用讲这些，但作为一种经验，可以积累。
由此，我们得到了寻找轴对称图形的一条对称轴的方法——通过对折，让一对对应点重合，折痕就是对称轴。
当然，限制条件也有，这个图形首先得是轴对称图形，如果本身不是，那么对折后两边也不会重合。
二、一弧复一圆
我们知道，弧是圆周的一部分，而我们更应该知道的是，弧包含了圆的所有信息——圆心和半径，以教材上的图为例：
假设这是一张残圆纸片（可以对折），我们在弧上任意找到两个点A和B连接起来，得到线段AB，通过对折让点A和点B重合，折痕即线段AB的对称轴（垂直平分线），如下图：
再在这段弧上任意找不同于A、B的两个点，重复以上操作，便可得到下图：
这就是利用圆的两条对称轴确定了圆心位置，至于半径，就更容易确定了，由圆心到弧上任意一点的线段长度，就是半径长度。
那对于残片上弧的大小有没有要求呢？
答案是没有！
无论这段弧多么短，我们总可以在上面找到任意两点，连线，对折，找到一条对称轴，再如法炮制得到另一条对称轴，它们的交点即为圆心，有圆心有弧，半径自然也确定了。
因此，我们的结论呼之欲出了，弧包含圆的全部信息，一弧复一圆。
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