熵，连接两个世界的数学桥梁

撰文 | Rhett Allain

翻译 | Wonder

审校 | 楠客

熵是科学中最受误解，也最常遭到“污名化”的概念之一。你或许听说过这样的定义：熵是一个系统中“无序程度”的量度。并且热力学第二定律又告诉我们，封闭系统的熵总会随时间增加。于是你可能会想：既然办公室只会越来越乱，我干吗还要收拾它？

办公室可能确实会越来越乱，但你不能把这笔账算在熵头上。人们经常借“凌乱的房间”来介绍熵（而且通常举的是青少年的卧室——是不是感觉被点了？）然而，这个比喻是容易造成误导的。这里的“无序”并不是指杂乱或混乱，而是指在系统的整体状态保持不变时，系统的各个组成成分可能具有多少种不同的排列方式。

例如，假设你的“系统”只是一个装满空气的箱子。在微观尺度上，里面的气体分子正像碰碰车一样四处碰撞。现在设想一下，如果你能标出某一瞬间每个粒子的位置和速度，就得到了一种可能的排列，也就是一个微观状态。但除此之外还存在无穷多个微观状态，而且它们每秒要变化数万亿次。

粒子一开始挤在一起，随后在随机运动中慢慢散开。能实现“均匀分布”的微观状态远比“全部挤在一起”多，所以系统更容易走向高熵状态。丨图源：Jochen Burghardt / Wikimedia Commons，CC BY-SA 3.0。

当然，你实际上看不到这些微观细节。而你能观察到的是气压之类的整体宏观性质。如果在海平面高度密封这个箱子，箱内气压将是每平方英寸14.7磅（14.7psi，约等于101.35kPa，即一个标准大气压）。除非你给系统输入能量，比如对它加热，否则这个数值不会改变。因此，刚才那些微观状态全都对应着“气压为14.7psi”这一个宏观状态。

换句话说，熵所描述的正是不可见的原子世界与可见、可测的物质世界（我们生活其中的世界）之间的联系。可以说，它在概念和数学上架起了一座桥，连接着现实的两个层次。——这些多少有些奇怪。

那么，在所有可能的结果中，究竟哪些会真正发生？这基本上是随机的，因此是一个概率问题。事实上，概率是熵这个概念的根基，而这恰恰是前面提到“乱糟糟的房间”比喻没有表现出来的地方。所以，我们换个比喻：掷骰子。爱因斯坦曾说过：“上帝不掷骰子。”这话究竟对不对？我们不妨来看看。

掷一把骰子

想象你掷出一枚六面骰子，得到的点数会在 1 到 6 之间，对吧？这里共有六种可能的结果，也就是六种状态。如果你掷的是D&D（即《龙与地下城》，一类以骰子点数驱动故事情节发展的桌游）里的二十面骰子，那么就有二十种可能状态。要是你想让一起玩的伙伴刮目相看，可以若无其事地来一句：这枚骰子的熵更高 (因为它可能出现的结果更多)。

现在假设你正在决定D&D游戏中一个角色的能力值，需要掷三枚六面骰子。三枚骰子的点数之和可以是3到18之间的任何整数，但各个总点数出现的概率并不相同。比如说，要想获得最高的敏捷值18，只有一种掷法：每枚骰子都必须掷出6点。

“大成功”丨拍摄者：瑞特·阿莱恩

但如果中等敏捷值就够用了，那么10点或许也能接受。这个结果容易得多，因为有更多点数组合的总和等于10——确切地说，共有六组不同的数字组合。

点数为10的所有组合丨拍摄者：瑞特·阿莱恩

如果我们依次掷出三枚骰子，并把先后顺序也考虑进去，排列方式就更多了。以上图左边的6-3-1为例，同样三个点数还能按另外五种顺序出现：1-6-3，3-1-6，3-6-1，6-1-3，1-3-6。（没错，它们是不同的结果，因为时间之箭只朝一个方向前进。）全部算下来，掷出总点数 10 共有 27 种不同方式。

如果考察三枚骰子的所有可能结果，一共有 216 个不同的微观状态。但在游戏中，真正重要的是三枚骰子的点数之和——这也就是我们的宏观状态。因此，掷出 18 点的概率是0.4%（216种结果中只有1种），而掷出10点的概率则是12.5%（216种结果中有27种）。

我们可以说，“总点数为10”这个状态具有更高的熵，因为实现它的方式更多；而正因为实现方式更多，它出现的概率也更高。看到了吗？并不存在某种神秘力量，在背后推动系统的熵不断增加。只不过熵更高的状态出现的概率更大。说到底，其实就这么简单。

反常世界

现在，我们从能量的角度来思考这个问题。假设有一杯温度为50华氏度（约10摄氏度）的冷水，你把一颗温度为120华氏度（约49摄氏度）的热铜球丢进去。会发生什么呢？根据经验，水会升温，铜球会降温，直到两者在50至120华氏度之间的某个温度上达到一致。这种现象叫作热平衡。

可是，当我们说某个物体变热时，究竟是什么意思？意思是它的原子和分子获得了更多动能——也就是它们变得更躁动不安了。假设水获得了50焦耳热能。由于能量始终守恒，铜球就会冷却，同时失去同样多的50焦耳能量。

但请等一下。假如在某个平平无奇的星期二，我是说假如，你把热铜球丢进冷水后，铜球反而变得更热，热能增加了 10 焦耳；与此同时，水失去 10 焦耳能量，变得更冷。你刚刚把物理定律弄坏了吗？并没有，能量依然守恒（这种逆熵的过程虽然遵循热力学第一定律，但实际上违反了第二定律）。这个结果或许让人不安，但它确实有可能发生。为什么？因为熵。这只是能量众多可能分配方式中的一种，只不过概率低得离谱。简单说，概率和彩票中了大奖一样。

从一个小物体说起

现在设想你有一块极其微小的固体，小到只含三个原子。（还记得三枚骰子的比喻吗？）量子力学告诉我们，原子只能处在某些特定能级上——就像骰子可以掷出2点或3点，却不可能掷出2.5点。关键在于，如果这三个原子的总能量为10个单位，那么正如前面所见，这10个单位的能量共有27种分配方式。

我们再向前走一步。假设有两个微小物体A和B，它们拥有不同的热能。物体 A 由两个原子（骰子）组成，总能量为3个单位；物体B由三个原子（骰子）组成，总能量为7个单位。因此，整个系统——A与B的总能量是10个单位。这里配一张图会更容易理解：

用骰子解释两个微小物体的微观状态丨拍摄者：瑞特·阿莱恩

现在假设我们让物体 A 与 B 相互接触，使热能可以在两者之间传递。只要总能量始终保持为10（满足能量守恒）的系统中的能量就可能具有许多种不同的分配方式。下图列出了众多可能组合中的四种。

四种可能的能量组合丨拍摄者：瑞特·阿莱恩

如果物体 A 只有 2 个单位的能量呢？这时只有一种分配方式——两枚骰子都必须是1，因为1 + 1 = 2。这样一来，物体 B 的总能量必须为8，而 B 达到这个总能量共有21种方式。如果A有4个单位、B有6个单位呢？此时共有30种可能组合。你可以说这个状态“有序程度更低”（或“更加无序”），而它出现的概率也更高。

大数定律

这就引出了熵的一种定义：熵衡量的是一个系统中的能量共有多少种可能的排列方式。熵S可以写成微观状态数Ω的自然对数与玻尔兹曼常数的乘积：

S = kB ln Ω

当然，物体A和B的模型多少有些儿戏，因为现实中的物体通常不是由两三个原子构成的。比如：仅仅一滴水就含有大约1.7 × 10^²¹个水分子。那么，当粒子数量扩大许多个数量级后，会发生什么？

基本原理仍然成立，但此时微观状态的数量变得无比庞大，而概率分布会极度集中在熵最高的状态附近。因此，尽管热铜球放进冷水后确实可能变得更热，但这件事的概率实在太低，以至于从未真正发生过。

相比之下，两者最终达到相同温度的热平衡状态概率高得惊人，以至于在实际问题中，我们将它视为必然。热力学第二定律说，热量总会从温度较高的物体流向温度较低的物体。但它之所以像一条不可违背的“定律”，归根结底不过是概率使然。

事实证明，上帝真的在跟宇宙掷骰子。

作者简介

瑞特·阿莱恩（Rhett Allain）是美国东南路易斯安那大学物理学副教授。他喜欢教授物理，也喜欢谈论物理。有时他会把东西拆开，却再也装不回去。

本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”，原标题为《上帝会梦见一个由骰子决定的宇宙吗？》，原文链接：What Is Entropy, Really?
https://www.wired.com/story/what-is-entropy-really/。