当抽象问题显现几何形态——CMU卡内基梅隆大学数学家弗洛里安・弗里克Florian Frick以几何视角解读问题

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数学家弗洛里安・弗里克（Florian Frick）：以几何视角解读问题，发掘单一视角无法窥见的答案。

图源：cmu.edu魔幻立体画说明

上图是一幅带有卡内基梅隆大学元素的立体魔幻画。观看方法：

1. 将图片紧贴鼻尖；

2. 双眼彻底放松、散焦，不要刻意聚焦画面；

3. 保持视线不变，缓慢将图片远离面部；

4. 视线穿透图片，如同凝视图片后方的墙面，三维图像便会显现。

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作者：Amy Pavlak Laird（卡内基梅隆大学科学记者）2026-6-3

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-6-24

求喜欢

图源：cmu.edu

上图是1990年代流行的魔幻立体画，在杂乱的彩点纹路中暗藏三维图像。初看只有一片纷乱噪点，调整视线焦点后，立体图形便会骤然浮现。

卡内基梅隆大学数学家弗洛里安・弗里克（Florian Frick）的研究与之有异曲同工之妙。他的工作揭示：公平分配、排布组合、模式构造这类问题，只要切换到合适的观察视角，就能暴露出潜藏的几何结构。

“数学就像是抽象世界的制图术，” 弗里克说道，“我很享受把抽象问题转化为可视化、可直观推演模型的过程。”

弗洛里安・弗里克（Florian Frick）

弗里克是数学科学系副教授，研究横跨几何、拓扑与组合数学三大领域。几何，研究图形本身；拓扑，关注图形拉伸、弯折后仍保持不变的性质；组合数学，研究排布、选取、模式这类离散结构。他融合三门学科，把看似和几何无关的难题，转化为关于空间、对称与整体结构的几何问题，他将这套思路称作实用几何（geometry in action）。

这种思维方式在日常用语中早已随处可见。

“人们会用‘政治版图’形容各方立场、联盟与矛盾交织的复杂格局。这个说法暗含一层道理：我们需要从全局理解整片形势，只单独审视某一个立场远远不够。” 弗里克解释道。

弗里克的研究把这套直觉转化为严谨的数学语言。对绝大多数问题而言，所有可行解可以整体构成一个几何空间。一旦构建出这个空间，它的整体形态就能透出单一解点无法反映的深层信息。

公平分配的几何轮廓

举个合租分摊房租的经典问题：几名室友合租一套公寓，各房间面积、配套条件各不相同，每个人对房间优劣的评判标准也不一样。核心问题是：能否给各房间分配租金，让所有人都分到心仪房间，且不存在任何人嫉妒他人的分配方案？

乍看这只是生活实际问题，但用数学视角拆解后，它会呈现清晰的几何形态。我们用一个点代表一套房间定价方案：三人合租时，全部租金分配方案构成一个三角形；四人合租则对应一个四面体；推广到一般情况，所有解构成高维单纯形。

图源：https://www.youtube.com/watch?v=aGstou49hSA

三人合租案例：总房租 1500 美元，每个房间各有优劣。如何公平分摊房租？数学上，每一种租金划分方式都对应三角形内一个点；能实现人人满意、无嫉妒的定价，落在三角形三个顶点价格之间的区域。图中黑点，就对应右侧标注的那套租金分配方案。

图源：https://www.youtube.com/watch?v=aGstou49hSA

数学家不会逐一检验每一种分摊方案，而是直接研究全部解构成的完整空间。“某一套租金分配方案可能行不通，几十套方案也可能全部不满足要求，但全体解构成的空间整体形态，会强制保证一定存在公平分配方案。” 弗里克说。

弗里克与合作者对这一经典问题做出延伸研究：假如其中一名室友的偏好完全未知，是否仍存在公平分摊方案？他们证明答案是肯定的，即便缺少一人的偏好信息，无嫉妒分配依旧存在。该证明是构造性证明，直接给出一套可落地计算无嫉妒租金分配的完整算法。弗里克的这项成果，被PBS美国公共广播公司《无穷剧集》（Infinite Series，直译“无穷连续剧”，与数学术语“无穷级数”双关，译者注）栏目制作成专题短片《用三角形分摊房租》Splitting Rent with Triangles。

超越肉眼可见的几何世界

这类问题，也代表了弗里克研究的核心主线。

“面对一道问题时，我会把所有可行解参数化，构建出解空间。之所以称它为‘空间’，是因为它本身就是几何对象，” 弗里克介绍，“在这个几何空间上，我借助几何、拓扑工具求解问题。这套方法优势显著，几何天然能刻画全局层面的规律。”

从数据科学到经济学，数学及其应用领域大量问题都具备这种全局属性。弗里克不断开发拓扑与几何工具，用以解决各类跨领域难题。他研究图形分割、高维几何体相交、离散结构划分、局部约束催生全局行为等问题，研究范畴串联公平分配、组合数学、凸几何、拓扑方法，以及理论计算机科学相关课题。贯穿所有研究的核心逻辑不在于问题本身源自实体几何，而是几何视角能挖掘出问题内部隐藏的约束条件。

从这个角度来说，几何就好比调整视线焦点。弗里克的研究为抽象问题赋予几何形态，让我们看清支配问题背后潜藏的几何轮廓，也展现出这些几何结构蕴含的丰富信息。

参考资料

https://www.cmu.edu/math/news-events/articles/2026/0603_frick-geometry-applications.html

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