SAMP《科学美国人》数学谜题集锦202602[每周一题共4题]

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SAMP（Scientific American Math Puzzles，《科学美国人》数学谜题）集锦[20260207 - 20260228每周一题共4题]（每小题后附答案讲解及原文链接——浅色文字答案内容可选中后反色查看）。

作者：SCIAM科学美国人（Scientific American）2026-2-28

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-2-28

日期：2026-2-7

作者：马丁·加德纳

问题：追踪白蚁

图源： Amanda Montañez

想象有一个大立方体，由 27 个大小完全相同的木质小立方体粘合而成。一只白蚁从某一个边缘小立方体的面中心出发，一路蛀穿前进，要求穿过每一个小立方体且仅穿过一次。它的移动方向始终与大立方体的某条棱边平行，绝不会沿对角线行进。那么，这只白蚁能否先依次蛀穿外侧的 26 个小立方体，每个仅穿一次，最后再首次钻入正中心的那个小立方体呢？若可行，请说明具体路径；若不可行，请给出证明。

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-follow-termite/

白蚁无法先穿过外侧 26 个小立方体各一次，再以中心立方体结束行程。

这一点可以通过一个简单的方法证明：我们将大立方体中的所有小立方体想象成三维国际象棋棋盘的格子，进行黑白相间的染色。如此一来，这个大立方体中会出现13 个一种颜色的小立方体，和14 个另一种颜色的小立方体。

白蚁的行进路径中，每穿过一个小立方体，颜色必然会发生一次交替；因此，若要一次性穿过全部 27 个小立方体，其行程的起点和终点，必然都属于数量为 14 的那一种颜色的小立方体。而大立方体正中心的小立方体，恰好属于数量为 13 的那一组，由此可知，题目要求的行进路径是不可能实现的。

日期：2026-2-14

作者： Jack Murtagh

问题：所有圆的周长之和

一个红色的圆内接于一个蓝色正方形，这样的布局会在正方形的四个角落留下空隙。其中两个角落各嵌入一个稍小的圆，这些小圆恰好与大红圆相切，同时也与蓝色正方形该角落的两条边相切。而这一做法又会在角落处留下两个更小的空隙，空隙中再嵌入更小的圆，以此类推，无数个愈发微小的圆会不断填充下去。整个图形又内接于一个边长为 1 的灰色正方形内。那么，所有这些圆的周长总和是多少？

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-sum-circles/

所有圆的周长之和为 π。

圆的周长等于 π 乘以直径，因此，直径分别为 d₁、d₂、d₃…… 的众多圆，其周长总和为：πd₁ + πd₂ + πd₃ + … = π(d₁ + d₂ + d₃ + …)

由此可见，只要算出所有圆的直径之和，再将其乘以 π，就能得到答案。借助图形的对称性，即便将部分圆移至不同角落，其大小也不会发生改变。

由于无数个圆最终都趋近于蓝色正方形的角落，所有圆的直径之和恰好等于蓝色正方形的对角线长度（即图中的虚线）。而外围灰色正方形的边长为 1，因此这条对角线的长度也为 1。

日期：2026-2-21

作者： Hans-Karl Eder

问题： 求三个未知数的值

已知如下三个等式，求 x、y、z 的数值：

x + y = x × y × z

x + z = x × y × z

y + z = x × y × z

答案：

https://www.scientificamerican.com/game/math-puzzle-three-values/

这三个未知数的取值相同，均为 0、√2 或 -√2。

通过以下变形可证，x、y、z 三者必然相等。先将三个等式依次标记为式 Ⅰ、式 Ⅱ、式 Ⅲ：

Ⅰ. x + y = x × y × z

Ⅱ. x + z = x × y × z

Ⅲ. y + z = x × y × z

用式 Ⅰ 减去式 Ⅱ，可得 y - z = 0；

用式 Ⅱ 减去式 Ⅲ，可得 x - y = 0。

整理后即得 y = z、x = y，因此 x = y = z。

由此，可将第一个等式中的 y 和 z 均替换为 x。

首先，等式 x + y = x × y × z 可转化为 x + x = x × x × x，进一步推导：

2x = x³

x³ - 2x = 0

x×(x² - 2) = 0

由此可得，要么 x = 0，要么 x² - 2 = 0。

若为后一种情况，x² - 2 = (x - √2)×(x + √2) = 0，

解得 x = √2 或 x = -√2。

日期：2026-2-28

作者： Jack Murtagh

问题： 你能读懂我的心吗？

我心里想了一个 1 到 1000 之间的整数，你可以向我提是非题，直到猜出这个数为止。

1、要保证准确猜出这个数，你需要提多少个问题？（最终说出答案不算作提问。）

2、如果要求你提前把所有问题都写出来呢？也就是说，我们不会进行互动问答，你要先写下所有问题，我会一次性回答全部问题，之后你再猜数。而且我回答问题的顺序可能是任意的（比如，我可能先回答第七个问题），因此后面的问题不能依赖前面问题的答案。

本题有提示可选，提示会直接给出答案的数字，却需要你自己琢磨解题方法。

提示：令人意外的是，两种猜数场景需要的问题数量完全相同：都是 10 个。

答案：

第一个互动猜数场景的经典解法是二分查找法。你可以先问：“这个数大于 500 吗？” 无论我回答是或否，你都能将可能的数字范围缩减一半。接下来的每一个问题，都能继续把剩余的数字范围再减半。如果我回答数大于 500，你的第二个问题就可以问 “这个数大于 750 吗？”；如果我回答数小于或等于 500，第二个问题就可以问 “这个数大于 250 吗？”。一开始有 1000 种可能，问完第一个问题后缩减为 500 种，第二个问题后变成 250 种，以此类推。将 1000 连续对半划分 10 次后，最终就只剩下一种可能，也就确定了答案。一般来说，n 个是非题足以确定 1 到 2ⁿ之间的任意一个整数（而 2¹⁰=1024，因此 10 个问题就足以猜出 1 到 1000 之间的数）。

乍看之下，取消互动问答的限制似乎需要更多问题，但事实并非如此。第二个场景的一种解法，是把我想的数转换成二进制数来看。1 到 1000 之间的任意整数，都可以用 10 位二进制数表示（最大的 10 位二进制数是 10 个 1 组成的 1111111111，对应的十进制数是 1023）。因此，你可以直接针对这个数的二进制形式提问。你可以先问：“这个数的二进制第一位是 1 吗？” 如果我回答否，你就知道这个数的二进制第一位是 0。接着你可以继续问：“这个数的二进制第二位是 1 吗？” 问完 10 个问题后，我给出的答案就会拼凑出一个唯一的 10 位二进制数，而这个二进制数又对应着唯一的十进制整数。

参考资料

https://www.scientificamerican.com/games/math-puzzles/

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