改变数学史的“无穷大”论文，被指“偷”了别人的成果

1874 年，德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）发表了一篇论文，证明“无穷大”也有大小之分。这篇论文被后世视为数学史上的里程碑，它奠定了集合论的基础，让数学家们第一次认真对待了那个被回避了数千年的概念，康托尔也因此被奉为孤身驯服“无穷大”的天才。

图 | 格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）（来源：ETH-Bibliotek Z）

但 150 年后，一封重新出现的信件让人们不得不重新问一个问题：“无穷大”，究竟是谁提出的？

2025 年 3 月 12 日，当代德国数学家德米安·古斯（Demian Goos）来到哈勒大学的一间办公室。退休教授兼康托尔协会主席卡琳·里希特（Karin Richter）递给他一个文件夹，里面装着几十封发黄的手写信件。古斯一页页翻看，然后停在一封信前。

这封信的日期是 1873 年 11 月 30 日，署名是同为德国数学家的理查德·戴德金（Richard Dedekind）。这封信此前被认为已经遗失，并被认为可能毁于二战，也可能被康托尔本人销毁。而这封信的内容，涉及到康托尔 1874 年发表的那篇注明论文的核心部分。

图 | 理查德·戴德金（Richard Dedekind）（来源：ETH Library）

康托尔、戴德金与“无穷大”的问题

1845 年，康托尔出生于俄国圣彼得堡，11 岁时随家人移居德国。他的父亲曾写信告诫他，许多有天分的人最终被反对者击败，要想成为科学领域的杰出人物，就必须在质疑声中坚持下去。康托尔终身保存着这封信。

后来，康托尔进入柏林大学学习数学，师从卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）、利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）等人。康托尔研究的核心问题之一是“无穷大”。在 19 世纪之前，数学家们普遍回避“无穷大”这个概念。

古希腊哲学家芝诺（Zeno of Elea）用“无穷大”构造过悖论，基督教神学则将真正的“无穷大”视为上帝独有的属性。大数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在 1831 年的一封信中表示，“无穷大”只是一种说话的方式，而非真正的数学对象。

到 19 世纪下半叶，随着数学家们开始重新审视数学的基础概念，“无穷大”问题无法再被忽视。康托尔和戴德金分别独立给出了实数的严格定义。戴德金的方法后来被称之为戴德金分割。

1872 年夏天，康托尔和戴德金在瑞士度假时相遇，两人进行了长时间的数学讨论，此后保持通信。当时康托尔 27 岁，性格外向，急于发表论文；戴德金 40 岁，性格内向，发表论文谨慎。

1873 年 11 月，康托尔开始和戴德金通信讨论一个关键问题：能否将实数与自然数一一对应。康托尔已经证明有理数可以和自然数一一对应，因此有理数的集合与自然数的集合大小相同，即数学上所称的可数。但是康托尔无法证明实数是否同样可数。

戴德金在 11 月 30 日的回信中说，他也无法证明实数是否可数，但他证明了代数数可以和自然数一一对应。代数数是指代数方程的解，比如 2 的平方根。戴德金在信末写道，提供这些信息是希望可能会对康托尔有所帮助。

12 月 7 日，康托尔写信告诉戴德金，他证明实数不可数，即实数的数量多于自然数。但他的证明较为复杂，戴德金随后回信提出了一个简化版本，让证明更清晰且不失严谨性。康托尔在收到戴德金的信之前，自己也想到了类似的简化思路，但是没有像戴德金那样写出完整论证。

论文的发表与一个世纪后的新证据

康托尔当时面临的问题是：数学界权威克罗内克强烈反对“无穷大”概念，且和戴德金有过节。克罗内克是《克雷尔杂志》的编委，这本杂志是当时最重要的数学刊物之一。如果康托尔提交一篇与戴德金共同署名、且明确提出“无穷大”存在不同大小的论文，很可能会被克罗内克拒稿。

康托尔采取了两个措施。首先，他为论文选择了一个只提及代数数的标题，将戴德金关于代数数可数的证明放在前面，当自己的实数不可数证明放在后面，并以低调的措辞呈现。其次，他在论文中只署了自己的名字。

1873 年，康托尔将论文邮寄给《克雷尔杂志》。当年圣诞节前后他写信给戴德金，称魏尔斯特拉斯建议他发表这篇论文，并对戴德金写道“你的意见对我帮助很大”。论文发表后，戴德金中断了与康托尔的通信，持续大约三年之久。

1900 年前后，戴德金在一张手写便条中记录，他曾向康托尔提供代数数可数的证明，以及实数不可数证明的简化版本，数月之后这些内容出现在康托尔署名的论文中。当时，这张便条并未公开发表。

1930 年代，数学家埃米·诺特（Amalie Noether）和哲学家让·卡瓦耶斯（Jean Cavaillès）整理戴德金的遗留稿件时发现了戴德金保留的康托尔来信以及这张便条。

他们在 1937 年出版了这些信件，但是并未针对内容做出评论。西班牙塞维利亚大学数学史家何塞·费雷罗斯（José Ferreirós）认为，他们是有意让信件自己说话。

此后数十年间，历史学家试图寻找戴德金 1873 年邮寄给康托尔的信，但一直无果。这些信据称在康托尔去世后留在哈勒大学办公室，可能在二战期间或战后盟军占领哈勒时遗失。没有这些信，学术界无法确认戴德金的说法，因此对于康托尔的争议也就停留在推测层面。

本文开头提高的当代数学家古斯曾在阿根廷担任足球裁判 15 年，后从事数学研究并获得博士学位，2023 年开始从事科学内容创作。在准备一档关于康托尔的播客时，古斯注意到了 1993 年费雷罗斯发表的论文，其中指出康托尔可能没有通过论文署名来体现戴德金的贡献。但由于缺乏直接证据，这一观点未被广泛接受。

于是，古斯开始寻找相关资料。他在一个名为康托尔协会的网站上看到一封 1877 年戴德金写给康托尔信件的扫描件。网站底部写道，这些信件是康托尔的后代在 2009 年捐赠的。

古斯通过查阅家谱等资料，找到捐赠者其实是康托尔的曾孙女安吉丽卡·法伦（Angelika Vahlen），法伦是一位考古学家。法伦将信件捐给了哈勒大学，这些信件后来交由康托尔协会主席里希特保管。

图 | 德米安·古斯（Demian Goos）（来源：Zack Savitsky for Qu）

2025 年 3 月，古斯和里希特见面，查看了她保管的信件。古斯原计划查看那封 1877 年的信件，却意外发现了 1873 年 11 月 30 日戴德金写给康托尔的那封信。信中内容涉及到代数数的可数性证明，这与戴德金后来便条中的说法一致。随后古斯经过数次沟通，终于从里希特那里获得了这封信的扫描件，并于 2026 年公开这一尘封许久的发现。

新发现的信件为戴德金便条上的说法提供了直接证据，信中包含的代数数可数证明，与康托尔 1874 年论文第一部分内容是吻合的。戴德金在信末的表述也表明，他确实主动向康托尔提供了这一证明。而关于实数不可数证明的简化版本，在古斯此次发现的信中并没有直接提及，这是因为戴德金是在 12 月稍晚的另一封信中提出简化方案的，而那一封信至今尚未找到。

（来源：University of Halle）

遗产与争议

尽管通过技巧顺利发表了论文，但是康托尔却在论文在发表后继续遭到业内反对他的前辈抵制。1883 年，当康托尔申请柏林大学教职时，那位前辈更是直接予以否决。1884 年，康托尔因为抑郁症首次住院，此后多次因为精神问题住院，与学界渐行渐远。1917 年，他被送入哈勒大学附属精神病院，1918 年在院中去世。

康托尔去世之后，他的集合论逐渐被新一代数学家接受，后来成为现代数学的基础理论之一。他获得的荣誉包括 1904 年英国伦敦皇家学会颁发的西尔维斯特奖章等。

戴德金对数学的贡献包括实数定义、代数数论和环论基础。他的工作对于后世影响深远，但是公众知名度远不及康托尔。在 2026 年的今天，依然没有英文版的戴德金传记，他的维基百科页面长度也只有康托尔页面的四分之一。

美国圣母大学集合论学者乔尔·戴维·哈姆金斯（Joel David Hamkins）告诉媒体，他对戴德金了解得越多，就越发感受到戴德金的优秀。康托尔证明了很多重要定理，但是戴德金可能是更伟大的数学家。

西班牙塞维利亚大学数学史家何塞·费雷罗斯认为，数学是集体的事业，即使是集合论这样基础性的工作，也不是由单个人独立完成的。康托尔当时年轻、热情，在发表论文时做出了一个有问题的决定。

此次古斯的发现公开后，部分德国数学家质疑其重要性。古斯回应称，如果署名不重要，那么论文应该匿名发表。康托尔协会主席里希特说，康托尔是一个不太容易与人建立联系的人，对他而言这非常困难。费雷罗斯则指出，每个科学领域都需要一个英雄，化学有拉瓦锡，力学有牛顿，相对论有爱因斯坦。总是只有一个英雄的话，通常是简化之后的叙事。

参考资料：

https://www.quantamagazine.org/the-man-who-stole-infinity-20260225/

https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E7%90%86%E6%9F%A5%E5%BE%B7%C2%B7%E6%88%B4%E5%BE%B7%E9%87%91

https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%A0%BC%E5%A5%A5%E5%B0%94%E6%A0%BC%C2%B7%E5%BA%B7%E6%89%98%E5%B0%94

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