数学家：今年比你想象的更特别

图片来源：unsplash

2026这一数字平平无奇？

来源 | Manon Bischoff

翻译 | 王怡博

数字爱好者们迎接新年时，或许会略感惆怅。像2025年（45²=2025）这样的完全平方年，要到2116年（46²=2116）才会再次出现；而2027年又将是一个素数年。相比之下，我们当下的2026年似乎平平无奇，但这种看法其实是一种误解。

整数数列在线百科全书（On-Line Encyclopedia of Integer Sequences，简称 OEIS）是全球最大的整数数列收集平台，被誉为数字界的“维基百科”，收录了200多个关于“2026”的条目。这意味着，这个数字出现在200多个整数数列中。其中一些数列对非专业人士而言相当晦涩，比如某个数列的定义依赖于对“冯·诺依曼邻域”（von Neumann neighborhood，中心格子及其上下左右四个邻居组成的五元胞结构）的理解。不过别担心，OEIS也揭示了许多与2026相关的、更易懂且有趣的数学问题。

冯·诺依曼邻域（图片来源：“Increasing Fault-Tolerance in Cellular Automata-Based Systems” in Lecture Notes in Computer Science, 2011, 6714:234-245）

此外，2026属于“几乎素数”（almost prime numbers，素因子个数有限的正整数），只有1、2、1013和2026这四个约数——以微小差距错失了成为素数的机会。有趣的是，2026还能用来构造素数，比如它可以通过5×102026+77——也就是5后面跟着2026个0，末尾添上77——来生成某个特定的数列，即形如50…077的素数，如577、5077、50 077和5 000 077。

磁性汉诺塔

数字2026与由经典数学谜题“汉诺塔”（Tower of Hanoi）改编的一个版本有关。原版谜题中包含三根柱子，上面放着大小不一的圆盘，每个圆盘中心都有一个孔。一开始，圆盘按从大到小的顺序叠放在第一根柱子上，最大的在最下面。目标是将所有圆盘移动到最后一根柱子上，并保持相同的排列顺序，但每次仅能移动一个盘，且不可置于更小的盘之上。可以证明，原版游戏中移动n个圆盘至少需2n-1步。

这个谜题有许多变体。在一个广受欢迎的版本中，圆盘具有磁性，顶面为北极，底面为南极。当你把一个圆盘从一根柱子移到另一根时，会使其方向反转，即原本朝上的北极此时朝下。由于同极相斥，你现在不仅要确保圆盘能根据大小叠放，还要确保圆盘的极性方向正确，也就是上盘的底面与下盘的顶面极性相反。这一额外限制使得解开谜题的难度大大增加。

事实证明，磁性汉诺塔若有8个圆盘，最少需2026步完成；3个圆盘则仅需11步。

汉诺塔（图片来源：wikimedia commons/CC BY-SA 3.0）

不吉利？

迷信的读者不妨跳过这一节。对那些在意“13号逢星期五”（Friday the 13th）的人来说，2026年或许不太吉利——在西方传统中，某月13日恰好是星期五的日子向来被视为不祥之兆。

每个日历年中，至少有一个月的13日是星期五，但不会多于三个月。2026年恰好是其中之一，这一年有三个月的13日是星期五：二月、三月和十一月。这种情况上一次出现是在2015年。如果你不记得那年发生了哪些糟糕的事情，维基百科上列有一份自然灾害清单。但愿2026年的那份清单，能短一些。

一个快乐的数字

最后，让我们以积极的基调收尾。2026其实是一个所谓的“快乐数”（happy number），这一概念由英国数学家雷金纳德·艾伦比（Reginald Allenby）推广。这样的快乐数有无限多个，但也有无限多个“悲伤数”（sad numbers）。要确定一个数字究竟属于哪一类，你首先需要对该数字各位数求平方，然后相加。比如对于2026，这一计算结果是22+02+22+62=44。

接着，对该结果——44——重复这一计算：42+42=32，再对所得结果继续计算，如此再重复两次，从而依次得到13、10，最终是1。而数字1是快乐数的终点标志：根据上述规则，任何数若在反复计算中最终抵达 1，即被称为“快乐数”。

相比之下，像37这样的悲伤数则有着不同的命运。以37为例：32+72=58。从这个结果继续计算可依次得到89、145、42、20、4、16，最后又回到37——形成一个不含1的循环。因此，这类数字永远无法抵达1，只能在循环中往复。

原文链接：https://www.scientificamerican.com/article/why-2026-is-a-mathematically-special-number/（原文最初发表于《科学美国人》德国版）

本文来自微信公众号“环球科学”。如需转载，请在“环球科学”后台回复“转载”，还可通过公众号菜单、发送邮件到newmedia@huanqiukexue.com与我们取得联系。相关内容禁止用于营销宣传。