数学难题进展速递：解读《量子杂志》报道首次发现一对扭曲的紧致环面破解百年拓扑学难题——博内问题

★置顶zzllrr小乐公众号（主页右上角）数学科普不迷路！

具有百年历史的拓扑学难题——博内问题核心探究 “少量局部信息能否唯一确定整个曲面”。1月20日，《量子杂志》

Quanta Magazine

图源： Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHÉS 142, 241–293 (2025)

一、原文大意

1月20日由《量子杂志》记者 Elise Cutts 撰写的这篇文章，围绕百年历史的拓扑学难题 —— 博内问题（Bonnet problem）展开。

皮埃尔·奥西恩·博内（Pierre Ossian Bonnet，1819—1892）

博内问题核心探究 “少量局部信息能否唯一确定整个曲面”，法国数学家皮埃尔·奥西恩·博内 （Pierre Ossian Bonnet，1819—1892）于1867年证明，若已知曲面上每一点的度量（metric）和平均曲率（mean curvature），通常可确定曲面形态，但 “通常” 并非 “总是”。

曲面上每一点的曲率可能都不相等，最大的曲率和最小曲率取（算术）平均值，得到平均曲率。

以平面、圆柱面（半径为1）、球面（半径为1）为例，求平均曲率：

平面、圆柱面与球面的度量差异：

通过 “粘贴一张平坦的标签” ，可以看出平面与圆柱面因可无拉伸 / 撕裂变形，度量相同（标签贴合）；而球面需拉伸 / 撕裂才能贴合标签，故度量有所不同。

过去150年，数学家虽发现违背该规律的曲面（即具有相同度量和平均曲率却有不同全局结构），但这些曲面均为非紧致（non-compact）的，要么向某方向无限延伸（如平面、圆柱），要么有边缘（如从大形状裁剪下的部分）。

而像球面、甜甜圈状环面（tori）这类紧致（compact）曲面，1981年小布莱恩・劳森（H. Blaine Lawson, Jr.，参阅） 与 雷纳托·德·阿泽维多·特里布齐（Renato de Azevedo Tribuzy） 证明球面及拓扑等价无孔紧致曲面可由局部信息唯一确定，对带孔的紧致环面，仅理论推测给定度量和平均曲率最多对应两个不同环面，却始终未找到 “紧致博内对”（compact Bonnet pairs）实例，学界一度认为环面也能由局部信息唯一确定。

图源：Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHÉS 142, 241–293 (2025)

直到2025年10月，柏林工业大学的 Alexander Bobenko、慕尼黑工业大学的 Tim Hoffmann 与北卡罗来纳州立大学的 Andrew Sageman-Furnas 在《IHÉS 数学出版物》（

Publications mathématiques de l’IHÉS

从左到右：Andrew Sageman-Furnas，Tim Hoffmann，Alexander Bobenko

研究过程中，Alexander Bobenko 曾于21世纪初尝试证明紧致博内对存在，因难度大搁置，转而研究离散曲面（discrete surfaces，类似光滑曲面像素化低分辨率版本）。

要获得一个离散曲面，先取一个有限的点集合，然后用线将它们连接起来，形成具有平坦面的形状。通过选择不同的点，你可以用不同的方式表示给定的光滑曲面。例如，下面是一些表示球面的方法：

从左到右：6个点、26个点、62个点的离散曲面、光滑球面

图源：Mark Belan / Quanta Magazine

2010年代，Andrew Sageman-Furnas（当时为哥廷根大学博士生）受渔网等编织材料力学启发研究离散数学，提出博内问题的离散版本，还与导师 Max Wardetzky 及 Tim Hoffmann 找到离散情形下构造博内定理反例的方法 https://arxiv.org/abs/dg-ga/9610006 ，只是反例仍为非紧致。

图源：Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHÉS 142, 241–293 (2025)

2018年春，Andrew Sageman-Furnas 通过计算机搜索，找到一种类似 “折纸犀牛”（rhino）的带孔紧致离散环面，其具备生成博内对的属性，且生成的博内对也为紧致环面。虽存在计算机舍入误差风险，但经 Tim Hoffmann 与 Andrew Sageman-Furnas 验证，该 “犀牛” 具有研究价值。他们发现 “犀牛” 边缘的曲率线（curvature lines）仅位于平面或球面上，这一特殊性质成为关键线索。

让·加斯东·达布（ Jean Gaston Darboux，1842 - 1917）

随后，三人借鉴19世纪法国数学家让·加斯东·达布（ Jean Gaston Darboux） 提出的生成特定曲率线曲面的公式，调整公式使曲率线闭合，得到光滑版 “犀牛”，并以此生成首对紧致博内对（最初为镜像对称，后进一步调整得到更明显不同的扭曲环面）。该成果颠覆学界认知，杜克大学的 Robert Bryant 与马萨诸塞大学阿默斯特分校的 Rob Kusner 均表示意外，目前 Alexander Bobenko 还希望证明存在无自交的博内环面。

二、主要数学思想

1. 曲率与度量

1）外在曲率与平均曲率：外在曲率描述曲面在空间中的弯曲情况，对曲面上任一点，沿不同方向计算曲率，取最大与最小曲率的平均值即为平均曲率（mean curvature），可反映曲面在周围空间中的位置特征。

2）内蕴曲率与度量：内蕴曲率是曲面不依赖外部空间的几何属性，而度量（metric）是曲面上测量距离的规则，由内蕴曲率决定。如平面与圆柱可通过无拉伸、无撕裂的变形转换，两点间曲线长度不变，故度量相同；但平面无法无损伤地包裹球面，曲线长度会改变，故二者度量不同。

2. 离散与光滑

1）离散曲面的工具性：离散曲面由有限点和连线构成平面，可模拟光滑曲面，且因点数量有限，能借助计算机研究。Alexander Bobenko 与 Tim Hoffmann 长期研究如何通过离散曲面保留光滑曲面的关键几何特征；Andrew Sageman-Furnas 则通过离散曲面的博内问题反例，为光滑曲面研究提供思路。

2）从离散到光滑的迁移：Andrew Sageman-Furnas 找到的离散 “犀牛” 环面，其曲率线仅位于平面或球面的特殊性质，为光滑曲面研究提供线索。研究团队借鉴达布公式，将离散曲面的特殊结构迁移到光滑曲面，最终构造出光滑的紧致博内对。

离散 “犀牛” 环面

图源：原论文插图

三、核心创新点

1. 首次构造 “紧致博内对”

此前发现的博内定理反例均为非紧致曲面，而该研究首次找到一对紧致环面（tori）：它们拥有相同的度量（metric）和平均曲率（mean curvature），却具备完全不同的全局结构，填补了 “紧致曲面是否违背博内定理” 的研究空白，证明紧致曲面中也存在 “局部信息无法唯一确定全局结构” 的情况。

紧致博内对：两个不全等的浸入式实解析环面（immersed real analytic tori），二者通过保平均曲率等距变换（mean curvature preserving isometry）相关联。每个曲面上对应的生成元（generators）分别以橙色和蓝色标注。需注意，顶部的两个大型气泡状凸起比底部对应的气泡状凸起更为靠近，且两个曲面均具有180度旋转对称性。这对博内环面源自一族带平面曲率线（planar curvature lines）的等温环面（isothermic torus）的共形变换（conformal transformations）：橙色生成元源自平面曲线，因此彼此全等（congruent），而蓝色生成元则不全等。

图源：原论文插图

2. 离散与光滑几何的跨领域联动

打破 “光滑几何研究领先，离散几何滞后” 的传统认知，以离散曲面为突破口：先通过计算机在离散几何中找到具备生成博内对属性的紧致 “犀牛” 环面，再基于其特殊曲率线特征（仅在平面或球面），结合达布公式调整，推导得到光滑的紧致博内对，实现离散几何对光滑几何研究的推动。

3. 突破经典公式的限制

达布提出的生成特定曲率线曲面的公式，原本生成的曲率线呈螺旋状且延伸至无穷远，无法形成封闭的紧致曲面。研究团队通过调整该公式，使曲率线能够闭合，成功构造出光滑的 “犀牛” 环面，进而生成紧致博内对，拓展了经典公式的应用范围。

图源：原论文插图

四、待解决问题与科研攻关方向

1. 待解决问题

动画源：Quanta Magazine

1）无自交的紧致博内对是否存在：目前发现的紧致博内对（扭曲环面）存在自交现象（如数字“8”形状），尚未证明是否存在无自交的博内环面（Bonnet tori），这是当前最直接的未解决问题。

2）紧致博内对的普遍性：现有成果仅为 “存在性” 证明，尚未明确紧致博内对在所有紧致曲面中的分布规律，例如不同孔数的紧致曲面（如双孔环面）是否也存在博内对，仍需进一步探索。

2. 科研攻关方向

1）深化离散与光滑几何的融合：此次研究中离散几何为光滑几何提供关键线索，未来可进一步探索离散曲面的特殊结构（如更多特殊曲率线分布、不同拓扑不变量），尝试迁移到更高维光滑流形的研究中，为高维拓扑学难题提供新方法。

2）拓展博内问题的研究维度：当前研究集中于二维紧致曲面，未来可向更高维紧致流形延伸，探究在高维空间中 “局部信息（如高维度量、曲率）与全局结构的关系”，是否存在类似 “高维紧致博内对” 的现象，丰富博内问题的理论体系。

3）计算机与理论数学的深度协作：此次研究依赖计算机搜索离散曲面实例，未来可开发更精准的计算模型，减少舍入误差对结果验证的影响；同时结合理论数学，建立离散与光滑几何转换的更严谨逻辑框架，提升研究结果的可靠性与普适性。

参考资料

https://www.quantamagazine.org/two-twisty-shapes-resolve-a-centuries-old-topology-puzzle-20260120/

https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00159-z

https://arxiv.org/abs/dg-ga/9610006

https://arxiv.org/abs/2110.06335v2

小乐数学科普近期文章

·开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙·

让数学

更加

易学易练

易教易研

易赏易玩

易见易得

易传易及

欢迎评论、点赞、在看、在听

收藏、分享、转载、投稿

查看原始文章出处

点击zzllrr小乐

公众号主页

右上角

置顶加星★

数学科普不迷路！