小乐数学科普：盘点2025年数学家们好奇的玩物Top 5

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小乐数学科普：盘点2025年数学家们好奇的玩物Top 5

1、三维挂谷集的挂谷针

将一根针任意方向旋转，可以划出的最小体积是多少？

2、折纸与振幅多面体 amplituhedron

折纸与粒子碰撞计算中的振幅多面体，看似无关却共享同一几何结构

3、非鲁珀特体 noperthedron

第一个被发现无法“穿透自身”的凸多面体

4、四面体不倒翁

数学家证明存在并把它造出来了，物理实在印证了康威的猜测

5、切割等边三角形重新拼成正方形

一百多年前的问题得以解决，数学家证明等边三角形至少切割4块，才能重新拼出正方形。

1、三维挂谷集的挂谷针

将一根针任意方向旋转，可以划出的最小体积是多少？

这就是今年引发了全网热议的王虹和约书亚·扎尔（Joshua Zahl）证明的三维挂谷猜想问题的起点。

图源：DVDP | Quanta Magazine

1917年，挂谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出了这个问题，只是要求用一支无限细的铅笔。针对二维平面情况，他找到了一种滑动铅笔的方法（下图右），使铅笔覆盖的面积比人们第一反应的圆周运动（下图左）要小。

上图右侧的三角旋轮线所围面积是图左侧圆面积的一半

并且两根针都在平面上的各个方向旋转

图源：Merrill Sherman | Quanta Magazine

挂谷想知道铅笔能扫过多小的面积。两年后，俄罗斯数学家艾布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch，1891 - 1970）找到了答案：一组复杂的狭窄转弯，与直觉相反，它们根本不覆盖任何面积。那问题推广到三维呢？

数学家更喜欢用一种略微不同（但等价）的方式来描绘这个问题。不是在空间中移动铅笔，而是同时想象出铅笔轨迹上的每一个位置。你得到的是一个幽灵般的、重叠的管子指向四面八方的配置，称为挂谷集合（Kakeya set，简称挂谷集）。你可以滑动管子，但不能旋转它们。你的目标是形成一个重叠最多的配置。

数学家查尔斯·费弗曼（Charles Fefferman）发现，即使是重叠最多的挂谷集也必须占据一些空间。最小体积取决于管子的厚度。数学家使用一个称为闵可夫斯基维数（Minkowski dimension）的数字来量化管子厚度与集合体积之间的关系。闵可夫斯基维数越小，通过稍微减薄管子可以减少集合体积的幅度就越大。

三维挂谷（集合）猜想认为一个集合的闵可夫斯基维数一定是3。这构成了一个非常弱的关系——例如，如果你将管子的厚度减半，你最多只能减少一小部分体积。然而，即使是这么温和的限制也几乎难以被一众数学家证明。更为迫切的是，许多重要猜想都最终蕴含挂谷猜想，一旦挂谷猜想被证否，很多问题会变得更加棘手无措。

王虹表示，这一猜想的证明将为数学开辟新前景。“它必须得到解决”。

图源：Rickinasia/Wikimedia Commons

调和分析（涉及傅里叶变换工具）中的三个重要猜想组成的塔楼位于挂谷猜想之上。塔楼中的每一层都需要坚固，以便上面的楼层能够屹立不倒。如果（三维）挂谷猜想被证明是错误的——即假如王虹和扎尔找到了反例——整座塔楼就会倒塌。

“针尖上的猜想之塔”，若下一层不成立，则上层的猜想都将不成立。幸运的是，三维挂谷猜想获得了证明，因此上层的一系列猜想都得以喘息。

不列颠哥伦比亚大学的数学家Joshua Zahl（约书亚·扎尔）是新证明的共同作者

图源：Quanta Magazine

四维的挂谷猜想仍未得到解决，其上方还有一座四维猜想之塔。王虹的导师拉里·古斯（Larry Guth）表示，新的困难将会出现，但他认为从二维跃升到三维是最困难的，而王虹和扎尔的证明很可能适用于这座塔，甚至更远。

2、折纸与振幅多面体 amplituhedron

康奈尔大学数学家帕维尔・加拉辛（Pavel Galashin）发现 https://arxiv.org/abs/2410.09574 ，粒子物理学中的核心几何形状 “振幅多面体”，竟能通过折纸折痕图案转化而来 —— 折纸中满足特定边界约束的折痕图案，可编码为振幅多面体中的点，两种看似无关的事物共享同一几何结构。

左上：8个胶子的粒子碰撞的振幅多面体的图解（Hamed手稿）

左下：帕维尔·加拉辛 （Pavel Galashin） 在折纸和粒子物理学之间建立了联系

中上：折纸折痕图案得到一只鹤

中下：艺术插图（插画家 Ibrahim Rayintakath | Quanta Magazine）

右上：雅罗斯拉夫·特恩卡 Jaroslav Trnka

右下：尼玛·阿卡尼-哈米德 Nima Arkani-Hamed

右上、右下两位共同推出振幅多面体 amplituhedron

图源：Quanta Magazine

这一发现还解决了困扰学界多年的 “振幅多面体三角剖分猜想”：加拉辛通过设计算法，证明振幅多面体可拆解为与折纸折痕图案对应的独立区域，这些区域无缝拼接、无重叠，恰好对应粒子碰撞计算所需的 “积木”，验证了振幅多面体作为粒子散射振幅计算工具的合理性。

此前物理学家计算粒子碰撞概率（散射振幅）的方法（如费曼图、BCFW 递推法）存在计算量大、冗余项多的问题，振幅多面体的提出本就为简化计算提供了几何思路，而此次与折纸的关联，不仅为理解振幅多面体开辟了全新视角，也为后续更广泛的物理与数学研究提供了新方向。

3、非鲁珀特体noperthedron

第一个被证明不具备（nope）鲁珀特（Rupert）性质（“穿透自身”）的凸多面体（-hedron）。

图源：https://www.mapleprimes.com/art/42-The-Noperthedron

它由90个顶点、150个（侧面）三角形（共5层，每层由上下倒置的30个三角形组成）和两个（底面）正十五边形组成，外形像一个圆润的水晶花瓶，底部和顶部较宽。

鲁珀特（Rupert）性质，是指可以“穿透自身”（自身上打个隧道，让另一个跟原来自己一模一样的多面体穿过），得名于17世纪末英国鲁珀特亲王的一次打赌，能否让两个大小相同的骰子，其中一个钻一条通道，让另一个骰子穿过去？鲁珀特亲王赌赢了！

图源：Mark Belan | Quanta Magazine

那其他类型的多面体是否可以”穿透自身“呢？

形状的种类繁多，难以全面研究，因此数学家们通常聚焦于凸多面体——这类形状像立方体一样，面是平面，没有凸起或凹陷。如果某种凸多面体在某些方向上的宽度明显大于其他方向，通常很容易找到能让另一个相同形状穿过的直隧道。但许多著名的凸多面体（例如十二面体、足球形状的截角二十面体）对称性极高，分析难度很大。奥地利联邦统计局的数学家雅各布·施泰宁格（Jakob Steininger）表示：“数百年来，我们只知道立方体具备这种特性。”

图源：Quanta Magazine

https://www.quantamagazine.org/first-shape-found-that-cant-pass-through-itself-20251024/

直到1968年，Christoph Scriba证明了四面体（tetrahedron）和八面体（octahedron）也具备这种特性——如今数学家们称之为“鲁珀特性质”。在过去十年间，相关研究迎来爆发式进展，专业数学家和数学爱好者们在众多被广泛研究的凸多面体中都找到了鲁珀特隧道，包括十二面体（dodecahedron）、二十面体（icosahedron）和足球形状的多面体。

鲁珀特性质的普遍性让数学家们提出了一个普遍猜想：所有凸多面体都具备鲁珀特性质。一直以来，没人能找到反例——直到现在被两位业余数学家（Sergey Yurkevich、Jakob Steininger）通过算法找到。https://arxiv.org/abs/2508.18475v1

尤尔凯维奇 Sergey Yurkevich，左图

施泰宁格 Jakob Steininger，右图

图源：Florentina Stadlbauer、Jakob Steininger | Quanta Magazine

这两位分别是29岁的尤尔凯维奇（Sergey Yurkevich）和30岁的施泰宁格（Jakob Steininger），从青少年时期参加数学奥林匹克竞赛时就成了朋友。尽管两人最终都离开了学术界（尤尔凯维奇获得博士学位，施泰宁格获得硕士学位），但他们仍继续一起探索未解决的数学问题。

4、四面体不倒翁

一个数学家团队设计和制造出了一个几乎完全空心的四面体不倒翁。它重120克，最长边长50厘米，由一个轻质碳纤维框架和一小部分由碳化钨（密度比铅高）制成的部件组成。为了尽可能减轻较轻部分的重量，就连碳纤维框架也必须是空心的。

此四面体形状只能立在底面上（视频中阴影三角形所在面）

另外三个面放倒之后都会发生翻转而恢复原状

视频源：Gábor Domokos

1966年，数学家约翰·康威（John Conway）和理查德·盖伊（Richard Guy）提出了一个问题：是否有可能构造一个由均匀材料制成的四面体不倒翁——其重量均匀分布——并且只能竖立在其中一个面上（如果你将这样一个“单稳态”形状放置在它的任何其他三个面上，它总是会翻转到那个稳定的面上。）。几年后，两人回答了自己的问题，证明了这种均匀单稳态四面体不可能存在。但如果允许其重量不均匀分布呢？康威认为这样的四面体应该存在，但一直没人证明存在甚至把它物理制造出来。

2023年，匈牙利数学家多莫科斯（Gábor Domokos，他于2006年发现一种不倒翁形状 gömböc 冈布茨）与他的研究生格尔戈·阿尔马迪（Gergő Almádi）和克里斯蒂娜·雷格斯（Krisztina Regős），以及加拿大圣玛丽大学的罗伯特·道森（Robert Dawson）一起证明了，操纵一个四面体的重量分布让它只能稳定立在一个面上是可行的，至少在理论上是可行的。

左上：格尔戈·阿尔马迪 Gergő Almádi

左下：克里斯蒂娜·雷格斯 Krisztina Regős

中上：四面体不倒翁 tetrahedron tumbler

中下：冈布茨不倒翁 gömböc

右上：罗伯特·道森 Robert Dawson

右下：加博尔·多莫科斯 Gábor Domokos

图源：Quanta Magazine

但阿尔马迪、道森和多莫科斯想要建造这个东西，而这项任务远比他们预想的要艰巨得多。如今，在发布到网上的预印本中 https://arxiv.org/abs/2506.19244 ，他们展示了该形状的第一个可操作的物理模型。这个四面体重120克，最长边长50厘米，由轻质碳纤维和致密碳化钨制成。为了使其能够有效，其精度必须达到十分之一克和十分之一毫米以内。但最终的构造总是能够恰好在一个面上翻转，就像它应该的那样。康威是对的。

5、切割等边三角形重新拼成正方形

要把一个等边三角形切成多少块，才能重新拼成一个正方形？1902年，一位数学爱好者找到了用 4 块完成的方法，而此后再也没有人能以更少的块数做到这一点。

图源：https://www.maplesoft.com/applications/Preview.aspx?id=6499

现在，研究人员终于证明：将等边三角形切成少于 4 块（例如3块、2块），无法拼成正方形。 https://arxiv.org/pdf/2412.03865

图源： Mark D. Meyerson | 科学美国人

许多欣赏数学的人都会同意，未解的问题看起来越简单，对热爱数学的人来说就越能吸引人。

为解决这个问题，团队根据切割线与等边三角形边的交点对可能情况进行了分类。首先，研究人员将切割等边三角形的无数种方法分为五个独特分类。然后他们对一个正方形重复了这个分类过程，发现了38个不同的分类。

图源：Jen Christiansen | 科学美国人

接下来，研究人员尝试为三角形和正方形分别绘制图形表示，追踪每种形状中所有可能的路径，并对比由此得到的边长和角度集合。要是其中某个正方形的路径与三角形的路径完全匹配，就意味着他们找到了用3块完成拼接的解决方案。

这种方法几乎将一个连续问题转化成了离散问题。最终，研究团队推导出一系列复杂的引理（即定理证明中的中间步骤），结合之前的分类，通过反证法证明了不存在匹配的路径。

若研究者能简化这份证明，这种 “图形匹配技术” 或许能破解一系列类似折纸的开放性问题。

参考资料

https://www.quantamagazine.org/first-shape-found-that-cant-pass-through-itself-20251024/

https://www.scientificamerican.com/article/the-top-10-math-discoveries-of-2025/

https://www.quantamagazine.org/the-year-in-mathematics-20251218/

https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-make-surprising-breakthrough-in-3d-geometry-with-noperthedron/

https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-find-proof-to-122-year-old-triangle-to-square-puzzle/

https://www.maplesoft.com/applications/Preview.aspx?id=6499

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