《人类科学技术史-105》中国秦汉时期的数学

中国秦汉时期的数学

在秦以前，中国数学虽已有了丰富的内容，但比较孤立，没有建立起内部联系。到秦汉时期，随着生产力的提高，数学也获得了很大的发展，最早计算工具——算筹的普遍运用，最早的数学著作——《周髀算经》(汇集西周以来的科研成果）的出现，以及第一部数学方面的专著《九章算术》的形成，都代表了当时数学的最高成就，尤其是《九章算术》的出现，标志着中国数学体系的初步形成，从此，中国数学便进入了九章时代。

1.算筹的普遍运用

算筹是中国古代的主要计算工具之一，它具有简单、形象、具体等长处，它是经过长期演变而形成的。至迟在春秋末年，我国劳动人民就在生产实践中创造出算筹，最初一般是用小竹棍做的，称为筹、算子或策(另外，投壶、六博游戏等所用的竹棍也叫筹）。到了西汉时期已普遍使用，并形成了一定的规格。据《汉书.律历志》记载，算筹用竹作成，长约20厘米(六寸），直径约3毫米(1分），271枚为一组，称为一握。用算筹进行运算，有纵横两种筹式，分别表示1、2、3、4、5、6、7、8、9九个自然数。算筹的摆法是纵横相间，个位为纵，十位为横，若是零，便空一位。因此便可进行加、减、乘、除、开方等运算。这是中国人民独特的创造。

2.《周髀算经》的出现

《周髀》是一部主张盖天论的天文学著作，但在书中有相当繁琐的数字计算和勾股定理的引用，成为我国最早的数学著作，因此地位相当重要。书中的数学内容主要有：

a.记录了分数的乘除法、公分母的求法以及分数的应用。这些计算方法后来被广泛运用。

b.讨论了日影的测量，并列出一年中各个节气的日影长度表。

c.出现了等差级数。

d.引用了勾股定理，并用到了开方的方法。并举出勾三股四弦五的特例。

这一定理的发现要比古希腊早500多年，而且证明的方法也比欧氏几何的方法容易明白、更直观。

由于它是现存最早的数学著作，并且总结了古代天文学所应用的数学知识，有些为世界最早，因而对后代数学产生过一定的影响，因而在中国古代数学史上有不可替代的地位。

3.《九章算术》的形成

《九章》是中国最早的数学专著，是在西汉末年《许商算术》、《杜忠算术》等书的基础上整理而成的。该书用问题集的形式编写而成，全书共收有246个问题，按问题的性质分为九章，各章的名称和基本内容如下：

方田(第一章）：主要是平面图形面积的计算和分数的各种计算方法。

粟米(第二章）：讲各种比例问题，特别是关于各种粮谷间的比例交换问题。

衰分(第三章）：主要讲解一些按比例分配的问题。

少广(第四章）：讲由已知面积和体积求边的问题，其中涉及平方，立方的方法。

商功(第五章）：主要讲立体体积的计算问题。

均输(第六章）：主要讲按均输法合理安排各地区运输赋粟和分派徭役等问题。

盈不足(第七章）：主要讲盈亏问题的解法和比例问题。

方程(第八章）：讲关于多元一次方程组的解法，还讲解了正负数的概念及正负数加减法的法则。

勾股(第九章）：主要讲勾股定理及其应用，并提出了一般二次方程的解法问题。

《九章算术》成书后，一直是中国古代的数学教材，在民间也广泛流传，成为中国数学著作中影响最大的一部。另外，它对世界数学也产生了很大的影响，它曾经流传到朝鲜和日本，推动了朝鲜和日本的古代数学的发展。苏联、日本、德国、英国等国都有它的原文译本，受到各国学者、专家的重视，在世界数学史上成为与《几何原本》相提并论的重要著作。

它的伟大，在于它总结了中国古代从西周一直到东汉的数学成果，并初步地形成了中国的数学体系，这可以从它的内容中反映出来：在算术上，它的成就是比较完整地讲解了分数计算方法，包括四则运算、通分、约分、化代分数为假分数等；各种比例问题的解决；"盈不足"问题的出现及解决；以及解释一些数学难题等。该书中所用的步骤和方法大体与现代的一致，这是世界上第一次系统的叙述分数运算，比西方要早得多。

书中在解比例问题时出现了单比例公式：所求数=所有数×所求率/所有率。另外还有复比例和连比例等方面的内容，已包括了现代算术中的全部比例的内容，形成了一个完整的系统。到6世纪时古印度才出现类似的"三率法"，而欧洲更晚。

书中还出现了盈不足问题以及统一的计算公式：X=(a2b1-a1b2)/(a1-a2)。这也是中国古代数学上的一个创造，在世界数学史上占有一定的地位。用"盈不足"算法可解决一些比较复杂的问题，只要人们进行两次假设，并且知道这两项假设结果的话，就可按上述公式推算出所需的答案。这比印度早二三百年、比西方早了近千年。

在几何上，《九章》的主要成就是：得出各种面积和体积的计算公式，以及勾股定理的应用(这些问题集中在《方田》、《商功》、《勾股》章中）。书中给出正方形、长方形、三角形、梯形、圆、弧形的面积公式，立方体、长方体、楔形平截体、圆柱、正方台、圆台、四角锥、圆锥、长方体斜截体(渐堵）、鳖臑、羡除等的体积公式，奠定了中国几何学的基础。书中还讲了勾股定理及其变形、应用，这是对勾股定理的发展。

在代数方面，《九章》的成就主要是：多元一次方程组的出现及其解法，正负数及其加减法则的引入，平方、立方计算，以及一般二次方程的解法等。这些都是世界数学史上的创建，占有极重要的位置。

把《九章算术》与《几何原本》相比较，我们发现：《几何原本》是以形式逻辑的方法贯穿全书，以几何内容为主，略有一点算术内容，没有应用问题。而《九章算术》则以问题的性质来进行分类编排，包含了算术、代数、几何等中国古代数学的全部内容，并以应用为主。这两本书代表了东西方数学的不同风格，在数学发展史中占有着同等的地位。