《用初等方法研究数论文选集》连载 016. 5N+A空间

《用初等方法研究数论文选集》连载 016

016. 5N+A空间

我们之前提到，正整数可以通过等差数列构成无穷多个“正整数空间”。我们可以将这些空间进行分类：

设Zk为全体正整数空间，则有公式：

Zn=wN+A

其中：w表示维度，w=1,2,3…

N为各正整数对应的项数，N=0,1,2,3…

A为特定空间内等差数列的顺序号，A=1,2,3…

用代数式可以这样表示：

N+1

2N+1,2N+2

3N+1,3N+2,3N+3

4N+1,4N+2,4N+3,4N+4

5N+1，5N+2,5N+3,5N+4,5N+5

许许多多……

在上述每一组横向等差数列（空间）中，每一个数列均能代表所有整数。一旦选定某个特定空间，每个正整数都将拥有其独特的位置坐标，且其他空间内的等差数列不会进入该空间，从而实现了等差数列的函数化表达及空间的独立隔离。

如下图表示，

基础空间 如，N+A ,A=1 空间。

如下图，

这个空间里有六组公式，

1） 合数项等差数列组

1k+0

2k+1

3k+2

5k+4

7k+6……

Sk+n……

这些合数项数列公式可以写成，N(S) =Sk+n 的形式。

2) 合数项公式， Nh = a(b+1)+b ,

其中 a≥1，b≥1 他们都是项数。

这是一个二元一次的曲面方程，他的解是Sn+K的直线族。

3) 素数项公式， Ns = N-Nh 这是一个素数数量的表达式。

4) 素数的生成公式， S =N+1 且 N ∈ P

5) 合数素数判定式， C = ( N-b)/(b+1)

其中，C必须是整数，所对应的项数N就是一个合数，否则就是一个素数。

6) 素数在正整数中的密度，P=Ns/N

注意：其它空间都具备这些性质，都有这些公式，仅仅是表达复杂了一些。关于空间概念的内容我的文章里多次介绍过了，这里不再累输了。

等差数列我们可以有三种分类：

等差数列这种形式的WN+A公式也是等差数列，

比如2N+2,3N+2,6N+5等等。

2N+2 N=1，2，3 …… 有数列 4,6,8……

3N+2 N=1，2，3 …… 有数列 5,8,11……

6N+5 N=1，2，3 …… 有数列 11,17,23……

1）偶数数列2N+2 这种出现都是偶数的数列；

2）奇偶混合数列3N+2 这种出现即有偶数也有奇数的数列；

3）奇数数列6N+5 这种出现都是奇数的数列。

下面我们介绍这篇文章的主角 5N+A (A=1,2,3,4,5) 空间，这是一个“素数空间”。

见下图，

5N+A空间属于“素数空间”，代数式表示为SN+A，即空间维数W均为素数3、5、7、11……的空间。这类空间具有以下特点：

1. 空间内所有等差数列均为奇偶混合数列；

2. 除了最后一个数列SN+S是素数S与合数的混合数列外，其余数列均包含素数；

3. 该空间内含素数的数列数量，恰好等于2S偶数空间内含素数数列的数量。

例如，3N+A空间有两个含素数的数列，2S=6，对应的6N+A空间内则有6N±1两个含素数的数列。又如，5N+A空间有两个含素数的数列，2S=10，相应的10N+A空间内则有四个含素数的数列。

通过深入探索“正整数空间”这一概念，我们能够观察到一些具有启发性的规律。具体而言，当我们面对形式为 A±1 的等差数列或函数表达时，如果 A 是一个偶数，并且这一表达方式不与“合数项公式”产生重叠，那么在确定相关空间后，可以确定 A±1 这一形式必然包含无穷多个素数。

例如，梅森数和费马数作为典型的案例，由于它们的构造中包含了2的因子，这确保了 A 本身是一个偶数。因此，A±1 在这种情况下必定会展现出无穷多个素数的存在，这一结论具有重要的理论意义。

另一方面，如果 A 不仅是一个偶数，同时也是一个合数，例如考虑形式为 a²+1 的情况，那么情况会变得稍微复杂。当 a² 为偶数时，a²+1 这一形式同样会包含无穷多个素数；然而，当 a² 为奇数时，a²+1 则不会包含任何素数，这突显了初始条件对结果的关键影响。

我们还发现一个非常有趣的规律，在3N+A空间里面出现的素数对，它们之间的差值恰好等于6，这样的差值正好可以让这些素数对进入到6N+A的空间中；

同样地，在5N+A空间里面的素数对，它们的差值刚好是10，这个差值恰好可以使它们顺利进入10N+A的空间。

这些不同的正整数空间既表现出彼此相互屏蔽、各自独立的特点，又存在着微妙而深刻的相互联系，这种双重性质特别值得我们在研究中给予关注和重视。

综上所述，这些发现充分展示了研究“Ltg-空间”对于数学基础理论以及数论领域的深远意义，它不仅帮助我们更深入地理解素数的分布规律，还为未来的数学探索提供了有力的工具和方向。

2025年11月12日星期三