拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学

导语

你是否曾思考过：为什么咖啡杯在数学上可以变成甜甜圈？为什么混沌系统中会出现周期轨、可约化结构和“奇怪吸引子”模式？为什么神经网络、量子物理甚至心理结构，都可以从“拓扑”角度理解？

拓扑学不仅是数学的抽象分支，更提供了系统的思维方式，让我们理解连续性、结构不变性乃至复杂系统的整体规律。从欧拉七桥问题到DNA的缠结，从量子场论到思维科学与脑科学，拓扑学思想正在各学科中普遍而深刻地重塑着我们的认知方式。

集智学园联合北京大学博士金威老师开设「拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学」，课程将于11月23日开启，现在加入可享早鸟价格。

引入

拓扑学，作为现代数学最具思想深度的中心领域之一，不仅关注“形状”的数学刻画，更追问一个更深层次的问题——当万物变动不居，何为不变？在复杂系统、非线性动力学与多尺度科学不断发展的今天，拓扑学的思想正成为理解“整体性”“连续性”“结构稳定性”的关键桥梁。

本次课程的讲者金威老师，长期致力于拓扑学、范畴论和系统科学等领域的教育/科研和科普活动，自 2008 年起，金老师便与集智社区结缘，积极参与跨学科研讨与理论创新的实践。2025 年初，他在“源来不复杂”活动中带来《初探范畴论》的分享，以哲学的目光揭示数学抽象背后的逻辑结构与认知根基。同年 8 月，在中，他领读方福康先生论文《钱学森与系统科学基础理论的发展》，与听众分享钱老的毕生探索，并深入阐释了其中深邃的辩证思想和注重整体和联系的科学观。

此次金威老师的课程《拓扑学的思维革命：从空间直觉到系统科学》，则将以问题为导向、历史为线索、思想为核心，带领学习者循着数学思想的发展脉络，理解拓扑学如何诞生几何与分析的边界之中，并演化为刻画“关系与整体”的普适观点。课程特别强调理论思维、历史观点、哲学背景与数学推导的贯通，揭示拓扑概念形成背后的思想动力与逻辑转折。它不仅是一门数学课，更是一场寻求“关系”、“结构”和“异中之同”的思维旅行。

图片为11月1日金威老师在梓驿学术酒吧主讲《拓扑学漫游：从“橡皮膜上的几何”到我们的感知、意识、思维与精神》活动照片

什么是拓扑学？

从原子到星系，从生命体到信息网络，自然界中几乎所有复杂现象都与结构与连续性的本质相关。拓扑学主要不着眼于距离、角度或曲率等局部信息，而更加关注形状之间的“本质等价”——例如，只要空间在拉伸、弯曲、扭转的过程中不被撕裂或黏合，其拓扑性质便始终如一。

如果说几何学追求更加精确的“测量”，那么拓扑学则是探索“形之骨架”。例如，咖啡杯与甜甜圈“拓扑等价”，因为它们都有一个“洞”。拓扑学的研究对象可以是平面或曲面，也可以是高维流形、网络、乃至状态空间（“可能性空间”）等等。而系统的整体性质和相互关系，则通过连续映射与保持结构的“连接”来刻画。

拓扑思想最早萌芽于欧拉的“七桥问题”和多面体研究中——欧拉公式揭示了顶点、边、面之间的不变关系；它们皆不受形状的微观细节影响。这种从几何形状抽取结构本质的思想，成为拓扑学的起点。后来，黎曼、庞加莱、贝蒂等数学家又将其进一步发展并推广到高维空间，从而奠定了现代拓扑的框架。

拓扑学不仅是数学抽象的产物，而且从系统科学的角度看，它更为理解复杂系统的整体结构与稳定性提供了统一语言。它帮助我们在变化中识别秩序，在连续变形中揭示系统的不变模式：

• 在复杂性科学中，拓扑学为理解非线性动力学的复杂世界——从优雅的周期到狂野的混沌——提供了定性研究的强大罗盘；

• 在物理学中，拓扑缺陷、拓扑相变和量子拓扑等能够刻画系统的整体性质；

• 在生物学中，DNA的打结方式和蛋白质折叠影响遗传和代谢，而网络结构的拓扑分析则揭示功能模块；

• 在思维科学、认知科学和心理学中，图形的拓扑可影响视觉感知，而概念的形成、知识网络的连通性和欲望的内在结构则刻画了思维与精神的本质；

• 在数据科学和AI中，拓扑数据分析（TDA）帮助提取高维数据的全局形态信息。

拓扑学中的关键思想

可以把拓扑操作理解为一种结构层面的粗粒化（coarse-graining）： 在分析空间或系统时，我们并不追踪每一个点、每一个距离，而是从系统的复杂细节中提取出更加整体且本质性的结构。只要系统的“连续性”和“连接方式”未被破坏，其拓扑性质就不变。这一思想在数学上表现为：

把复杂的对象映射到抽象空间之中，赋予连续（“拓扑”）结构，并重点研究与其整体形态相关的不变量。

进一步地，拓扑学引发了如下的深刻理念：

1. 连续性与整体性拓扑学提供了一种“从局部关系到全局形态”的思维方式。系统的性质不仅由局部和组成部分决定，更由联系形成的整体结构决定。

2. 等价与不变量与“形状看起来怎样”相比，拓扑学更加关心“形状能否连续变形为另一种”。

3. 抽象与范畴化拓扑学的语言天然适合描述抽象复杂系统。无论研究空间、函数、网络、代数结构还是动力系统，只要能定义“开集”和连续映射，就能引入拓扑结构。从中也可进一步诱导出更深刻的代数结构，比如群和范畴。

4. 系统与尺度拓扑思想与系统科学高度契合：它强调关系和属性系统的整体行为，并通过同伦、同调等代数结构理解系统在不同维度和尺度下的各种性质。

拓扑学思维结合了直观与抽象，是一种高度辩证的系统思维——简化形式、提取本质，最终揭示隐藏的深刻秩序。这使它成为连接数学、物理、生物、工程乃至认知科学的通用语言。

课程主题

在面对复杂世界时，我们最常见的问题是：

• 当系统的形状、连接方式或规模/尺度发生变化时，哪些性质保持不变？

• 怎样由连续性的观点看到系统的内在结构？

• 怎样用不依赖距离与角度的方式，刻画系统的整体关系？

• 如何从不同尺度、不同层级的局部关系中提取系统的全局特征？

这些问题的答案，构成了拓扑学思想的核心。

本课程计划从数学思想史与系统科学视角出发，系统讲述拓扑学的核心思想、基本概念与跨学科应用。课程采用“总–分–总”的结构展开：

1. 总论：通过历史与问题引导，介绍拓扑学的诞生、核心概念与现代意义；

2. 拓扑概念与思想：从历史动机出发，逐步讲解拓扑学的关键思想与主要理论，并联系到现代数学和科学应用；

3. 总结与拓展：回顾拓扑思想的方法论意义，探讨拓扑学与系统科学、思维/认知科学及现代数学思维的融合方向。

运用拓扑思想，可以对多层级系统进行抽象与约化，这使我们能够在保持结构完整性的同时简化分析。我们希望，本课程能帮助学习者理解：拓扑学不仅仅是关于形状的数学，而且是在复杂系统中识别稳定关系与整体秩序的思维方式和语言（与前文有部分重复？）。

通过学习拓扑学，我们将学会在离散中看到连续，在变化中寻找不变，在复杂中发现简单，并用空间和结构的眼光重新理解自然、生命与智能。

课程特色

1. 问题引导：从经典问题出发，直观理解拓扑概念

2. 历史观点与思想脉络：追溯拓扑学发展史，探究概念来龙去脉

3. 跨学科联系：强调系统科学视角，结合物理学、生物学、精神分析与心理学、网络科学、思维科学与AI等

4. 互动启发式教学：课堂问答、案例讨论、思维训练

5. 螺旋上升结构：概念逐步深化，多次变奏强化理解

6. 系统科学导向：关注整体性、联系性与结构稳定性

课程主讲人

金威，北京大学基础数学博士，博士后。主要研究方向为拓扑学和数学物理。现从事人工智能的基础理论和算法研发，并致力于数学和系统科学方面的教育/科研和科普活动。《基本粒子：数学、物理学和哲学》一书中文版译者，《返朴》公众号作者。研究兴趣：属性论和属性数学、拓扑学和数学物理、系统科学和复杂网络、中医等。

课程详情

第一讲｜七桥一笔参形数，欧拉示性开新章——拓扑学的诞生

1736年的普鲁士哥尼斯堡，居民在闲暇时常讨论一个看似简单的问题：能否走遍城市的七座桥而不重复？这场“数学游戏”被莱昂哈德·欧拉接下，成为一场思想革命的起点。欧拉意识到，问题的关键不在距离、角度或形状，而在“连接关系”本身——这就是拓扑学的雏形。这一讲，我们将从“七桥问题”出发，追踪拓扑学的思想起源。你会看到几何向“形的本质”的抽象飞跃：欧拉多面体公式的背后，是对空间不变量的洞察；“形状不变”的直觉最终催生了连续变形的数学化。

目标：理解拓扑学的起源与思想转变，认识“连续变形”这一核心直觉。

关键词：欧拉、七桥问题、示性数、连续变形、形状不变的思想。

• 从欧拉七桥问题引入拓扑思维

• 欧拉的多面体研究、示性数与“形状不变”的直觉

• 为什么拓扑学被发明？历史与问题驱动

• 拓扑定理举隅

于 20 世纪初开始大规模发展的拓扑学，不仅重塑了数学的结构，也改变了科学史的轨迹。本讲则会从历史上经典的椭圆积分和椭圆函数出发，介绍黎曼曲面的诞生、双周期函数的拓扑根源及其对复分析的影响，以及在19世纪末庞加莱自守函数研究如何一统数学诸领域，并开启了20世纪的几何拓扑新时代。再从数学探索法和数学史方面寻找庞加莱的启示，并兼涉拓扑视角及其工作对其他领域（如动力系统理论和低维拓扑）与现代数学的深刻影响的。

• 黎曼曲面与多值函数的拓扑本质

• 19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究及其影响

• 庞加莱的数学探索法和数学史意义

• 拓扑思想如何影响数学史与现代数学方法

在19世纪，恩格斯在《自然辩证法》和《反杜林论》等经典著作中指出：无限本身也有着不同的层次和无限的丰富性。不久之后，数学也进入了深入研究无限性的时代，这起源于康托尔对无限性石破天惊的比较和研究——他还创立的集合论重塑人们的直觉，，为现代数学（如分析、代数和拓扑）提供了语言与舞台。而本讲将带你从集合出发，进入拓扑空间的世界：邻域、开集、闭集——这些看似抽象的概念，正是理解连续性的钥匙。我们将看到，拓扑学如何将经典的“欧几里得空间”推广为一切可定义“邻近性”的空间。 同时，我们还会探讨拓扑与度量空间、向量空间甚至认知空间的联系：比如心理学中的“相似度空间”、脑科学中的“大范围首先”理论等等。这不仅是数学的抽象，更是一种理解客观世界内在结构的方式。

目标：掌握和培养拓扑空间的定义与直觉，并理解“无限”与“连续”在现代科学中的角色。

关键词：康托尔、集合论、开集、闭集、抽象空间、跨学科思维。

• 康托尔集合论与“无限性”一瞥

• 开集、闭集、邻域等基本概念

• 拓扑空间的公理化定义

• 度量空间与拓扑

• 跨学科联系：向量空间、度量空间、心理学相似度空间

自牛顿和莱布尼茨以来，连续性是通过“极限”来理解的。但极限的世界属于分析学，是关于“数”的；而拓扑学要追问的是：当空间发生变形，什么仍然保持不变？本讲讲述“连续性”的哲学与形式化历程——从ε-δ定义到映射在拓扑意义下的“连续性”。我们将探讨：同胚为何意味着“拓扑等价”？空间的“相似”又如何通过映射表达？这不再是对孤立的“点”的研究，而是进一步研究“关系”，甚至“关系的关系”。拓扑学在此又进入范畴论的世界——即从“对象”到“关系”的观念革新。

目标：理解连续映射与同胚的概念，初步掌握拓扑等价与范畴思维。

关键词：连续性、极限、同胚、映射、范畴论、结构关系。

• 连续性的直觉与例子

• 从ε-δ定义到拓扑连续性

• 同胚与拓扑等价

• 曲面分类

• 范畴观点：拓扑空间范畴；空间与映射的整体性

• 同伦等价（选讲）

• 应用示例：介值定理、视知觉的拓扑性质、动力系统的拓扑同胚和符号动力系统、物理连续介质、突变论与形态发生学（选讲）、系统状态变换

我们如何知道一个空间“是一整块的”？又如何判断它“不会逃到无穷远”？这两个问题孕育了深刻的拓扑学概念——连通性与紧致性。从几何上的“连在一起”，到抽象意义上的“不可分割”；从有限覆盖思想，到各种各样的“紧致性”这些思想构成了现代分析与系统建模的骨架。本讲带你理解“整体性”与“有限性”的逻辑，在微积分、机器人运动规划、相空间分析、认知科学等领域中，揭示以上拓扑结构的普适性。目标：掌握连通与紧致的核心思想，并理解它们在科学与系统分析中的作用。关键词：连通性、紧致性、有限覆盖、整体性、系统约束。

• 连通性的几何直觉与形式化定义

• 紧致性与有限覆盖思想，紧致空间的性质

• 空间的紧化

• 跨学科应用：微积分中的应用、机器人位型空间、认知科学概念连通图

1904年，庞加莱提出的问题，引发无数数学家沉思百年：“若一个流形中不存在（非零伦）本质曲线，那么它是否必定与球面同胚？”这就是著名的庞加莱猜想。这个问题标志着人类开始探索如何量化“形状中的洞”，由此同伦与同调的思想便诞生了。本讲从曲线的连续形变谈起，进入空间分类的核心：什么样的空间可以通过连续变形相互转化？空间里蕴含哪些低维的本质对象？其中什么样的“洞”无法被消除？……在这里，几何与代数再一次深度融合，拓扑开始有了“计算”的可能。目标：理解同伦的直观意义与基本群的构造，认识拓扑不变量的思想。关键词：庞加莱猜想、同伦、基本群、路径、空间分类。

萌芽与基本群：从路径形变到空间分类

• 从曲面到空间(流形)的分类

• 同伦思想：路径与变形；基本群；庞加莱猜想

• 基本群的Van-Kampen定理

• 应用：布劳威尔不动点定理，重访范畴思想

• 动力系统的奇点分类、Poincare-Hopf定理与欧拉数的微分拓扑表述

• 高阶同伦群（选讲）

当我们从“形状的变形”和“洞的计数”转入其中的代数结构，拓扑学进入了代数时代。本讲承接上一讲，介绍同调的核心思想——用代数对象（如群与序列）去描述空间的结构。通过MV序列等例子，我们学习如何计算同调群，理解“欧拉数”的代数意义。更重要的是，我们将从哲学与系统科学角度，探讨“拓扑的层级结构”：一个系统的“洞”与“约束”，往往正是其结构的灵魂。

目标：掌握同调的基本概念与计算思想，理解代数结构如何表达空间特征。

关键词：同调、MV序列、代数拓扑、范畴化、结构层级。

同调概述：洞的数量与空间的代数结构

• 同调思想：洞的数量与结构，“边缘”的代数刻画

• 同调论的基本计算方法：Mayer-Vietoris(MV)序列及例子

• Hurewicz定理简介

• 代数拓扑的基本思想（用代数结构研究拓扑空间）；范畴化思想（续，同调群作为欧拉数的范畴化）

• 持续同调及其应用简介

• 曲面分类与拉康的精神分析（主体）拓扑学

回顾微积分，当我们追问“一个空间中的量如何在整体上积累、转化”之时，就开启了上同调世界的大门。上同调不仅是一种代数工具，更是一种思想：局部与整体的联系如何通过数学形式表达？它与空间的拓扑又有什么关系？本讲将引出庞加莱对偶、高斯–博内–陈省身定理等，再从曲率出发，揭示拓扑、几何与物理的深层统一。时空的弯曲、规范场的流形、力学的约束，在此框架中皆被重新理解。目标：理解上同调与庞加莱对偶的意义，掌握曲率与拓扑的联系。关键词：上同调、庞加莱对偶、曲率、高斯–博内–陈定理、规范场。

• 上同调（与庞加莱对偶）

• Stokes定理，De Rham 定理

• 高斯–博内–陈定理与曲率

• 曲率的应用：宇观：时空曲率（广义相对论）、微观：纤维丛曲率（规范场理论）、宏观：力学系统

如果你以为拓扑只属于抽象的数学世界，那么这一讲或将更加彻底地改变你的看法：DNA如何在细胞中缠绕又解开？为什么物理世界中会存在“拓扑相变”和“物质拓扑态”？分析数据时，又怎样用“拓扑形状”识别复杂结构？拓扑量子计算又是怎样利用“形”处理信息的？……这一讲带大家跨越生物、物理、计算与认知的边界，理解“拓扑”如何成为连接理论与现实的桥梁。

目标：认识拓扑思想在自然与人工系统中的应用，理解“形之不变”与“系统鲁棒性”的关系。

关键词：纽结理论、DNA、拓扑数据分析、拓扑相变、拓扑量子计算。

• 纽结论与DNA的拓扑异构

• 拓扑数据分析（TDA）与人工智能

• 拓扑相变与凝聚态物理

• 拓扑量子计算与思维科学中的结构不变性

• 互动讨论：拓扑思维的科学与哲学意义

回顾整个课程，我们从欧拉的七桥问题出发，穿越抽象的集合论和公理化密林，一览“连续性”的画卷、徜徉于“连通性”与“紧致性”的世界，开启同伦与同调的代数宝库，最终抵达拓扑的现代应用。这一讲将带你重新回溯与审视拓扑学背后的“思维方式”——从几何直觉到抽象系统、从局部关系到全局结构、从孤立的对象到结构和关系的稠密网络。我们还将勾勒拓扑思想的“概念地图”，介绍之后可深入学习的领域，如点集拓扑、代数拓扑、几何与微分拓扑、量子拓扑与范畴论的进一步统一等，并结合听众背景，讨论未来的探索方向（与系统科学和其他学科等的联系）。

目标：理解拓扑思想在科学方法论中的角色，形成跨学科的结构化认知。

关键词：思维方式、系统科学、范畴论、抽象与直观（具象）、科学统一性。

• 拓扑学方法论回顾：从几何直觉到抽象思维

• 概念地图：点—集—空间—变形

• 系统科学视角：整体性、联系性与结构稳定性

• 总结与讨论

• 进阶方向与学术资源推荐

课程信息

课程适用对象

1. 理工科领域研究者及高年级学生适合具备基础数学背景（微积分、线性代数、复变函数、常微分方程）的理工科高年级本科生、研究生及科研人员。 尤其适合关注复杂系统、非线性动力学、统计物理、信息科学等方向，或希望将数学思想应用于物理、工程、生命与智能/认知系统的学习者。

2. 喜爱探索和创新学习者面向对抽象思维、系统建模与跨学科分析有兴趣的学生与研究者。 鼓励具备问题意识、善于逻辑推理与思维开放的学习者，通过拓扑学培养结构化与整体化的科学思维。

• 反思和批判精神：“当时当下”的提问，体验从无到有的创造

• 概念理解力：掌握拓扑的核心概念与思维方式

• 从拓扑和数学思维看系统：从连续性、连通性、不变量等观点看系统，关注内在结构和相互关系

• 跨学科洞察力：看到拓扑在物理、生物、心理、AI等不同学科中的应用

• 建模与分析能力：用拓扑视角分析复杂系统结构

• 思维训练：抽象（逻辑）思维与形象（空间）思维的统一和互相转化

共创任务

为了鼓励学员深度参与、积极探索，形成系列化知识传播成果，构建课程知识共建社群。我们设立了激励机制，让您的学习之旅充满收获与成就感。课程以老师讲授内容为主，在每期课程结束后，我们会发布课程共创任务，学员通过完成共创任务可以加深对课程内容的理解，在完成共创任务后，学员也可以获得积分奖励，积分可用于兑换其他读书会课程、实物奖品。

本期课程的共创任务为字幕任务，具体内容为在每期课程录播上线集智学园后，人工校对AI识别的课程视频字幕，字幕任务的流程和要求参见档案《字幕工作流程》。（https://swarma.feishu.cn/docx/I2y9dafTKobBjhxAoMMcniAgnWf）

招募课程助理

• 付费报名课程后联系助教申请课程助理（《系统科学前沿》第一期学员优先）。

• 成为正式课程助理并完成任务后，在课程结束时退还全额学费。

报名须知

1. 课程形式：腾讯会议，前两课线上同步直播，集智学园网站录播，部分课程设置线下课。

2. 课程周期：2025年11月23日-2026年1月，每周日19：00-21：00进行。

3. 课程定价：前两节课程免费，全部课程原价599，早鸟价479，早鸟价优惠截至到2025年11月30日课程第二讲结束时。

付费流程

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

「系统科学前沿」系列课程

集智学园联合北师大系统科学学院开设，以方福康先生系统科学文集为思想基石，汇聚北师大系统科学领域十位教授，系统整合统计物理、生命系统中的智能行为、社会复杂系统建模、人工智能与复杂网络等多个交叉方向，构建一条从微观机制到宏观结构、从理论分析到实际应用的知识脉络。

详情请见：

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