《人类科学技术史-086》中国古代数学知识的积累

中国古代数学知识的积累
1.四则运算和筹算

在殷墟甲骨文卜辞中，已有很多记数的文字，当时已采用了十进位制。到了春秋时期，记录大数已经用亿、兆、经、姟等字表示数字的十进单位。

春秋战国时期四则运算方法已趋完备。如战国初年李悝的《法经》中，已讲到了减法、乘法和除法。不少先秦典籍中都有乘法口诀的例句，但到春秋战国时期才有不完全的记载。《夏侯阳算经》说："乘除之法先明九九"。因当时的乘法口诀是从"九九八十一"起到"二二如四"止，共36句；口诀以"九九"二字开头，故将乘法口诀称为"九九"。

中国古代用算筹作为记数工具，并由此发展起一种独特的计算方法，即筹算。算筹就是一些径约一分、长约六寸(合现在13.8厘米）的小竹棍；利用算筹在案上摆成数字进行计算，就叫筹算。表示数目的算筹有纵横两种筹式：用筹来表示一个多位数字，其方法就像现在用数码记数一样，把各位的数目纵横相间地从左到右横列，个位用纵式，十位用横式，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式；数字中遇有零时，就用空位表示。如86032，百位上空位不放算筹。由于筹式用的是"十进位值制"，不同位值要纵横相间摆设算筹，所以空位很易辨别。筹算的加减法是摆上两行筹式，位数对齐，相加相减变成一行筹式就得出结果。乘法则分三层摆筹，上位、中位、下位分别相当于被乘数、积和乘数；除法也分三层摆筹，中位为实(被除数），下位为法(除数），上位为商。十进位值制记数法和以筹为工具的各种运算，是中国古代一项十分杰出的创造，比古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法更为优越。

春秋战国时期，分数已常被使用。当时历法计算中的奇零就用分数表示；生产和生活中大量的分配问题，也常用到分数概念。如《管子》在谈到土地种植的分配时有"十分之二"、"十分之四"、"十分之五"、"十分之七"等分数；《墨子》在讲到食盐的分配时有"二升少半"、"一升大半"的说法。"半"即二分之一，"少半"为三分之一，"大半"为三分之二，都是当时通用的分数术语。《考工记》中对于各种器具规格的规定，大量使用了分数，而且有了分数运算。

从战国墓葬中出土的天平砝码的重量，以1、2、4、8……递增，这相当于等比数列、20、21、22、23……。在乐律研究中，《管子.地员》篇提出了"三分损益法"的乐律计算方法，其法为"先主一而三之，四开以合九九"。相当于1×34＝9×9＝81。这两个例子表明当时已有了指数的初步概念。

2.几何知识

《周髀算经》卷上之一中，记载了西周开国时期周公姬旦与大夫商高关于原始的割圆之法的问答。第一段讲周天历度之数的方法，即勾股法。文中称："故折矩以为句(勾），广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。"这是说在夏禹时已有了"勾三股四径(弦）五"这个勾股定理的特例的知识了。在卷上之二中更有"以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪(斜）至日"。这是明确的"勾2＋股2＝弦2"的表述。所以中国发现勾股弦定理至少比古希腊毕达哥拉斯早一个世纪。

由于战争和生产的需要，春秋战国时期各地修建了不少城防和水利工程。这就需要运用大量的几何知识进行距离、高低、厚薄、土方等测量。《墨子》中就记载了有关城墙、城门、垛口、城楼的一系列计算问题，都与立体几何有关。《春秋》记载，公元前594年鲁国首先实行对公、私土地一律按田亩征税的"初税亩"制度，这就要对各种形状的面积进行丈量计算。可以相信，当时对正方形、长方形、三角形、梯形和圆等各种面积，已有了计算法则。

春秋战国时期的文献中，有不少关于测量绘图的记载。测量包括直线测量、水准测量和垂直测量，分别称为"绳墨"、"水"和"悬"。"绳墨"就是打墨线以取直，"水"就是以水平面为标准测量坡度和高程；"悬"就是用铅垂线以定竖直。

在制造各种农具、车辆、兵器和乐器中，常会遇到不同部位有不同角度的问题，所以当时已形成了角的概念以及衡量角度大小的一些单位。《考工记》把角称为"倨句"，"倨"就是钝，"句"就是锐。直角被称为"倨句中矩"或"一矩"。在"磬氏"节中讲"磬氏为磬，倨句一矩有半"。这是说石磬背部折角的大小是一个直角(矩）再加上半个直角，即135°。

3.组合数学思想的萌芽

流传至今的最古典籍之一《易经》，是符合体系与概念体系的统一体。它的符号体系中包含有严格的数学逻辑性。这种符号体系是由代表"阴爻"的"——"和代表"阳爻"的"-"两种基本符号通过排列组合而得出的"四象"、"八卦"和"六十四卦"的集合。

把"-""——"分别与"-"、"——"排列一次，共有22＝4种组合，就是"四象"；再把"-"、"——"与"四象"各配一次，即由三个爻组成一组，共有23＝8种组合，就是"八卦"。八种符号分别象征天(）、地(）、水(）、火(）、风(）、雷(）、山(）、泽()八种自然事物，再分别赋予乾、坤、坎、离、巽、震、艮、兑八个卦名，同时还分别代表八个方向。把八卦的每一卦都和八卦相配一次，即取六个爻组成一组，共有26＝64种组合，即"八八六十四卦"。由于"阴"和"阳"是中国古人对一切事物和现象中两种对立力量的高度概括，因而由"阴"和"阳"两种符号排列组合而形成的"六十四卦"，就可以表示出事物和现象的六十四种可能的状态；卦爻从下(第一个初爻）到上(第六个上爻）的每种排列，就可以表示出事物的某种发展过程。这样，《周易》就给出了一个朴素的、具有一定逻辑结构的关于事物发展变化的描述体系。

卦爻还包含了二进制的数学思想。如果把阴爻"——"以"0"代替，把阳爻"-"用"1"代替，可以看出易卦就是二进制数码组。八卦和二进制数码的对应关系为：

坤艮坎巽震离兑乾

二进制数　000001010011100101110111

十进制数　01234567

所以，六十四卦也可以表成二进制展开式和相应的自然数序63。

此外，春秋战国时期，在实用数学知识丰富积累的基础上，一些思想家也开始探讨一些抽象的数学理论问题。在《墨经》的《经上》和《经说上》中，记载了墨家关于数学、特别是几何学(形学）问题的论述。这些论述包括了有关"平、"直"、"体"、"同长"、"中"、"圆"、"方"、"倍"、"厚"、"端"、"间"、"盈"、"撄"以及空间的"有穷"、"无穷"和时间的"始"的定义和说明，包含了丰富的数理科学思想和严密的逻辑推理。在《经下》和《经说下》中，有关于"十进位值制"和用"进前取"与"前后取"两种方法分割线段而得到"不可"的"端"(点）的说明。

在《庄子.天下》篇中，记载了名家惠施和公孙龙等辩者所提出的一些与数学思想有关的论题。如"至大无外谓之大一，至小无内谓之小一"、"飞鸟之影未尝动也"、"镞矢之疾，而有不行不止之时"、"一尺之棰，日取其半，万世不竭"。所谓"大一"和"小一"，从物理学的角度可理解为"宇宙"和"原子"；而从数学的角度来说，"大一"可理解为空间、时间的整体，"小一"可理解为空间的"点"和时间的"瞬时"。第二条说鸟在飞翔过程中，每一瞬时投在地面上特定位置的影子是没有移动的；这和第三条所说的"飞矢"的情况一样，射出的箭每一瞬时都占有空间一个特定的位置，因而在该瞬时可以说是静止在这个位置上的。但它同时又正在离开这个位置，这就是"不行不止"的状态。第四条中的"棰"指古代一种策马杖，是一尺来长的木棒。文中说每天从所剩下的长度中取其一半，永远也不会取完。从数学上说，这个命题相当于L可以无限地趋近于零，但无论n为多么大的数，L也永远不会等于零。

【更多精彩文章，请关注微信公众号“地球生物与人类文明”】