《人类科学技术史-080》古希腊的数学成就（上）

古希腊的数学成就（上）

在巴比伦和埃及人积累的大量数学知识的基础上，希腊人把数学推进到一个新的阶段——初等数学的开创时期。希腊人一方面继承了巴比伦和埃及数学的成果，另一方面又有创造性的发展。他们不仅把数学作为解决实际问题的工具，而且把数学看作是理解宇宙奥秘的钥匙，他们把数学的研究范围扩大到当时自然研究的一切领域；他们把逻辑证明引进数学，从而使数学由经验知识上升为理论知识，特别是初等几何，它的演绎的理论形式被推崇为数学科学的典范，其影响一直持续到今。

1.泰勒斯的工作

古希腊的第一位著名数学家是泰勒斯，他被认为是希腊几何学的始祖。泰勒斯的几何学知识最初是跟埃及人学的。在埃及，由于尼罗河水常常泛滥，也就需要经常重新丈量土地，所以几何学的一些知识最早是埃及人发现的。据说，泰勒斯在埃及旅行时，曾巧妙地利用几何学知识解决了一个难题。当时，埃及祭司们想测量金字塔的高度，但又找不到测量的方法。泰勒斯则利用他学到的几何学知识解决了这一难题。他的具体方法历史上有两种不同的说法。一种说法是，泰勒斯在阳光以45°的角度照射金字塔时，根据金字塔阴影的长度求得了结果：金字塔高就等于阴影的长度。这个传说似乎表明泰勒斯已具有等腰三角形的知识。

还有一种说法是，泰勒斯用一根已知长度的杆子，通过同时测量杆影和金字塔影的长度，利用杆影长与塔影长的比等于杆高与塔高的比，算出塔高。这种说法则表明泰勒斯已懂得比例的道理。但是，也有人提出疑问，金字塔的底非常大，影长是从影子的顶点到金字塔底的中心，这个影长是难以直接量的。后人提出，可能的办法是作两次观测。第一次观测时记下杆影顶点在A处，塔影顶点在a处；第二次观测时记下杆影顶点在B处，塔影顶点在b处。AB与ab的比就等于杆高和塔高的比，从而求出金字塔的高度①。总而言之，泰勒斯的成就超过了他的老师们。

埃及人的几何学知识还只是停留在经验的层次上，到泰勒斯，几何学开始建立在一般原理的演绎基础上，后人把几条最早的几何定理归于泰勒斯的发现，这成为他在几何学上的主要贡献。这几条定理是：①圆的直径平分圆周；②内接于半圆的角是直角；③等腰三角形的两个底角相等；④两条直线相交时，对顶角相等；⑤两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，则这两个三角形全等。

据载，泰勒斯曾应用两个三角形全等的定理，测定船舶离岸的远近。他的求法是这样的：A是岸上一点，船在A的正前方P点。在岸上作AP的垂线AB，找出AB的中点C。测量者沿垂直于AB的方向走，直到在K点观测使K、C、P三点在一条直线上。可以知道三角形APC与三角形BKC全等，从而AP等于BK；BK可以直接测量出，那么从岸上一点A到船的距离就可以得到。

至于泰勒斯是否对上述定理作过证明，现在还没有发现这方面的资料。这些定理很可能是在大量观察的基础上，经过反复实践证明，成为大家公认的事实。泰勒斯只不过予以抽象和总结。

2.芝诺悖论与极限思想

芝诺(约公元前496～前430)是古希腊爱利亚学派奠基人巴门尼德的学生，是爱利亚学派的主要活动人物。在哲学史上，芝诺提出的关于运动的4个悖论是占有重要地位的。芝诺悖论的提出，是为了论证运动的不存在。但是，这4个悖论中却也蕴含着丰富的数学思想。

根据亚里士多德的记载，这4个悖论是：

①二分法。一个运动的物体在到达目的地之前必须先到全路程的一半。进一步分析，要走完全路程的一半，则必须先到这一半的一半，即全路程的1/4；依此类推，要先走、1/81/16、……1/n。这样分下去，是无穷无尽的。芝诺的结论是物体不可能在有限的时间里走完无限个一半而到达终点，他是以此否认运动的。

②阿喀琉斯。阿喀琉斯是全希腊跑得最快的人，但芝诺却说阿喀琉斯迫不上乌龟。虽然，阿喀琉斯跑得快，乌龟跑得慢，但是乌龟在前面，阿喀琉斯在赶上乌龟之前，必须先到达乌龟的出发点，可这时乌龟又爬过了一段路程。以此类推，乌龟总可以在阿喀琉斯前面一段。芝诺论证了最快的不可能赶上最慢的，以此来否认运动。

③飞矢不动。时间是瞬间的总和，而飞矢在每个瞬间都静止在一个位置上。因此飞矢不动。芝诺以飞矢不动这一矛盾的说法，来否认运动的存在。

④运动场。芝诺用运动场上两排数目相同、大小相等的物体，各以相同速度按相反方向相互通过来论证这样一个结论：一段时间和它的一半相等。先是A、B、C首尾对齐，经过t时间后，B向左移动一位，而C向有移动一位，这都是相对于A所言。拿C和B比，C移动了两位，要使C移动一位，只要t的一半时间就够了按照梁宗巨先生的观点，芝诺进一步则可导出极限的思想。可惜的是，芝诺悖论中的数学思想因其哲学观点的错误而未能得到发展。不过，芝诺悖论产生的影响仍是深远的，哲学家、逻辑学家和数学家都从各自的学科出发去进行分析。因此，芝诺悖论对这些学科的发展起了促进作用。在当时，则至少可以说，芝诺悖论是把连续与离散的关系问题突出出来了。

3.雅典智者学派与三大作图难题

雅典的智者学派，也称为诡辩学派。在雅典成为希腊各城邦的经济中心和文化中心以后，不同学派、不同地域的学者，被吸引到雅典来了，智者学派里就包括有多方面的学者。他们数学研究的中心问题是所谓"三大问题"：做一立方体，使其体积等于给定立方体体积的二倍；三等分任意角；做一正方形，使其面积等于给定圆的面积。这"三大问题"，由于不能用直尺和圆规做出，也被称为"几何三大难题"。

第一个难题简称为"倍立方"问题。关于这一难题研究的起因曾有一个传说：第罗斯地方发生了瘟疫，人们求教于巫神，巫神回答说，应当把现有的立方体祭坛加倍。人们试图通过把立方体的棱长加倍来得到新的祭坛，但没有成功。据说，还曾请教过柏拉图，柏拉图则告诉人们，巫神本意并不在于要加倍的祭坛，而只是借此教训人们不重视数学、对几何不够尊崇。联想到柏拉图学园入口处挂着"非几何学家不得入内"的牌子，似乎不是巫神而是柏拉图在教训人们。当时希腊人已经知道以正方形的对角线为边作正方形，这个正方形的面积是原正方形面积的两倍。怎样得到两倍于原立方体体积的新立方体，自然会成为人们很想知道的问题。显然，如果原立方体的棱长为a，那么新立方体的棱长应为2a的3次方根，这样新立方体的体积才是原立方体体积的两倍。但是，在只限于用没有刻度的直尺和圆规的情况下，是没有办法作出这一立方体的，这是名符其实的一个难题。

第二个难题的产生与第一个难题有类似的情况，当时人们已能对任意角二等分，自然要进一步想知道怎样才能三等分任意角。对此，智者学派的主要代表人物喜庇亚斯创设了一种"割圆曲线"，试图解决三等分任意角问题。他的思路大致如下：在矩形ABCD中，BC边匀速地平行下降与AD边重合；同时，AB边匀速地绕A沿顺时针方向旋转，与AD边重合。那么，下降的BC边与旋转的AB边交点的轨迹就是割圆曲线。这条曲线上每一个点的纵坐标与相应的夹角成正比这样，问题就转化为将AB边任意等分的问题。这还只是是解决了全部问题的一半，因为曲线BG是无法由尺规确定的。

第三个难题简称"化圆为方"问题。雅典数学家希波克拉茨(公元前5世纪），虽不属智者学派，但他在化圆为方问题上做了许多工作。三角形ABC是一内接中心为O的半圆的等腰直角三角形。边AC和边BC分别为半圆ADC和半圆BEC的直径。可以得月牙形阴影部分的面积等于三角形AOC的面积。这样，希波克拉茨虽然将一个以曲线弧为边的月牙形面积"化"为一个直边图形(三角形）的面积，但是，化圆为方的问题还是没有解决。由于化圆为方的问题实际上是要求得出线段r(圆半径）和π的积，因此无法由尺规作出。

这三大作图难题吸引了许多数学家的注意，也耗费了不少数学家的心血。最终，人们终于明白了用尺规实际上是无法解决这些问题的。不过，在对这三大难题的求解过程中，也产生了一些有意义的副产品。喜庇亚斯和希波克拉茨等有关圆和直线以外的曲线的研究就是其中之一，对曲线研究的进一步发展所取得的结果，构成了希腊数学的一个重要贡献。

还有间接的副产品，智者学派的安提丰(公元前5世纪）在解决化圆为方问题时，提出了用边数不断增加的内接多边形可接近圆面积的想法，这种思想已经具有穷竭法的萌芽。问题的提出与求解推动了数学的进步，三大作图难题解题过程中的副产品，是对数学发展很有价值的成果。

【更多精彩文章，请关注微信公众号“地球生物与人类文明”】