整个数论中最根本的关系之一，巴塞尔问题，为黎曼猜想奠定了基础

莱昂哈德·欧拉被认为是有史以来最伟大的数学家之一。他的著作数量之多，以至于要列出他在数学、光学、流体力学、天文学和音乐理论方面的全部贡献，需要一本完整的书。他是我们今天在数学中使用 π、e 和 i 这些符号的原因，也是第一个使用 f(x) 记号的人。需要注意的是，他并不是第一个使用 π 符号的人，但他让它得到了普及。更令人惊叹的是，欧拉在一生中逐渐失明，而他许多最著名的成就，恰恰是在他已经无法看见时完成的。

我认为欧拉是历史上最有趣的数学家之一。他的成果如此丰富，以至于他的定理往往还得冠上第二个发现者的名字，否则我们会有太多东西都叫“欧拉定理”。另一位著名的数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾写道：

读欧拉，读欧拉，他是我们所有人的导师。

所有著名的数学家都得从某个地方起步，而对欧拉来说，起点就是解决一道出了名的难题。我要在这篇文章中讨论的问题，最初是由彼得罗·孟戈利于1650年提出的。包括伯努利家族成员在内的几位著名数学家都尝试解决，但都没有成功。它的知名度和难度，堪比费马大定理。欧拉在28岁时成功解决，从而一举成名。

巴塞尔问题 的提出其实相当简单：它要求你求出当 n 趋于无穷大时，这个级数等于多少：

然而，在当时，这个问题的表述方式会完全不同。表示求和的符号 Σ 当时甚至还不存在，而这个符号也是欧拉最早引入的。在本文中，我将描述欧拉的证明。他在一生中给出了三个不同的证明，但第一个仍然是最具影响力、也最有趣的。

要开始欧拉的证明，我们使用正弦函数的泰勒展开式。如果你不熟悉泰勒级数，不必担心！你只需要知道，这是一个把函数表示为无穷多个其他函数之和的巧妙方法。下面给出了正弦函数的泰勒级数，这是最常用的泰勒展开之一。

然后将方程两边同时除以 x。

这时，欧拉开始有些“挥洒自如”。他假设这个无穷级数可以写成它的根的无穷乘积。虽然在当时，这一结论已经对有限多项式成立，但对于无穷多项式是否同样成立，还没有人证明。直到一百年后，卡尔·魏尔斯特拉斯才证明了这一部分的合理性。

把它写成乘积形式后，可以得到如下结果，并能进一步化简。

从上面的形式变到下面的方程，是通过把各因子成对相乘而实现的。如果你在细节上感到吃力，不必担心。你只需要知道，欧拉在记录函数的所有“零点”，也就是 sin(x)/x 穿过 x 轴的位置。

接下来的步骤就是奇迹发生的地方。欧拉利用艾萨克·牛顿早先证明的一组恒等式，把所有这些乘积展开。然后，他只挑出 x² 的系数，得到了如下结果。下面的方程，就是在展开的无穷和中，所有与 x² 相乘的数的总和。

这个结果可以进一步化简，写成如下形式。提醒一下，这已经不是 sin(x)/x 的泰勒展开式，而只是其中的一个系数。

现在，回到我们正在处理的原始泰勒展开式（见方程 2）。在那个形式中，x² 的系数是 -1/6。因此，我们可以将这两边相等。

通过这样的方式，就可以整理出巴塞尔问题的解答！

我觉得非常奇妙的是，π 会出现在这样一个看似与圆毫无关系的方程中。对我来说，这似乎是整个数论中最根本的关系之一。巴塞尔问题本身已经很吸引人了，但很快我们会看到，它为现代数学的大部分发展奠定了基础。

自从欧拉的第一个解法之后，人们发现了许多不同的证明版本。这一版本后来通过魏尔斯特拉斯的因式分解定理得到了完全补全，使得无穷和可以写成它的根的乘积。甚至还有一些证明依赖几何和圆来解决，这样 π 的出现就显得更加直观。

这个结果有很多应用，远不止是一个“很酷的等式”。如果你从 1 到 n 中随机选择两个整数，当 n 趋于无穷大时，它们互素的概率是 6/π²，而这正是巴塞尔问题解的倒数。你可以直接用这个等式来计算。事实上，巴塞尔问题与素数的分布有着极其紧密的联系，并且在推广后，它成为整个数学中最著名的问题之一的核心。

黎曼 ζ 函数

与巴塞尔问题类似，数学中还有一个著名的未解之谜，叫作黎曼猜想。这个问题被认为是整个数学领域中最重要的问题之一，备受关注。大卫·希尔伯特把它列入自己提出的 23 个待解问题中，而克雷数学研究所也把它列为千禧年难题，并悬赏 100 万美元给解决者。如果你能解决它，你将立刻成名——而且一夜暴富。

我不会深入黎曼猜想的细节，但我要谈谈它所涉及的函数，因为它与巴塞尔问题紧密相关。该猜想讨论的是黎曼 ζ 函数，它被定义如下：

希望你能看到它与巴塞尔问题的相似之处！黎曼 ζ 函数其实就是巴塞尔问题的推广，只不过我们让分母上的指数可以变化。欧拉解决的就是 s = 2 的情况。

为什么我们如此在意这个函数？原因在于，黎曼 ζ 函数与素数有着紧密的联系。素数是整个数学，尤其是数论中最令人着迷、也最重要的对象之一！理解它们的分布，对于推动数学知识的进展至关重要。

欧拉是第一个发现这种联系的人——他几乎无处不在！事实上，黎曼 ζ 函数有时也被称作欧拉–黎曼 ζ 函数。下面的方程展示了 ζ 函数与素数之间的关系。

黎曼猜想所关心的，是哪些输入会使函数值变为零。换句话说，就是在什么地方 ζ(s) = 0？已知在 s = -2, -4, -6, -8… 这些点上，ζ(s) = 0，而这些零点被认为是“平凡的”。数学家们非常关心的是当实数和复数作为输入时，它们在 ζ 函数中的表现。换句话说，非平凡零点在哪里？据我们目前所知，所有的非平凡零点都位于直线 1/2 + it 上，但至今没有人能够证明这一点。请注意，直线方程中的“it”部分指的是 s 的虚部。

解决巴塞尔问题，为丰富的新数学领域奠定了基础。这让我联想到当下那些著名的未解之谜，比如哥德巴赫猜想。未来，当那个问题被解决时，会不会同样催生出一个全新的数学领域呢？