《量子理论中的定性方法》| 周末读书

《量子理论中的定性方法》

A. B. 米格达尔著

姬扬 译

高等教育出版社

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中译本序

米格达尔（Arkadii Benediktovich Migdal，1911.3.11-1991.2.9）是世界著名的理论物理学家，苏联科学院院士，理论物理学朗道学派的代表性人物，以物理洞察力和迅速理解问题本质的能力而闻名于世，在核物理、凝聚态物理、天体物理和粒子物理等方面都做出了重大贡献。

讲量子理论的书很多，但是很少有什么书介绍量子理论研究中的定性方法。《量子理论中的定性方法》是米格达尔院士写的一本奇书，来自于他给莫斯科工程物理学院学生讲授量子力学的讲义。他把敏锐的物理洞察力与自己对物理学和物理现象的深刻理解结合起来，认为学生学习量子理论比学习公式和方程的数学操作更重要。

理论物理学最吸引人的一个特点是，许多问题的解决依赖于用定性的方法猜答案，而不是用严格的方法推公式，但是在讲课的时候，理论物理学的方法往往是高度形式化的和数学化的，让初学者感到特别困难，更重要的是，这并不是实际科学工作中使用的建设性方法。这本书是为初学者传授解决科学问题的正确方法。与其他正规量子力学教材不同，这本书专门讲述理论物理学家处理量子物理问题的各种“独门诀窍”。这本书分为6章，分别以量纲和模型方法、不同类型的微扰法、准经典近似、物理量的解析性质、多体问题中的方法、量子场论中的定性方法为题，介绍了理论物理学家们在实际工作中采用但很少有人公开传授的“武术秘籍”。

这本书出版于1975年，马上就收到了国际理论物理学界的追捧，1977年就被译为英文出版，译者是后来的诺贝尔物理学奖获得者莱格特教授（A. J. Leggatt），并被收入《物理学前沿(Frontiers in Physics)》和《高级经典图书 (Advanced book classics)》这两种系列丛书。遗憾的是，这本书出版已近50年，但仍然没有中译本出现。最近我高兴地了解到，中国科学院半导体研究所的姬扬研究员【注：姬扬研究员已于2024年7月入职浙江大学物理学院】将这本理论物理学的奇书翻译为中文，并寻求出版。

这本书里有很多公式，毕竟是讲述量子理论的书，不用数学是不可能的，但是这本书强调物理图像和物理意义，使用的数学基本上只有高等数学的难度，物理系的高年级学生应该都能掌握。原著出版的时候还没有电子印刷（英文版直接把公式剪贴过去），中译本全部用LaTeX重新排版，公式和符号的排版美观，便于阅读。

这本书自出版以来，一直没有停止印刷，米格达尔院士讲述的研究方法，仍然历久而弥新，不失现实的教学研究意义。中译本的出版发行，将会很大地帮助对量子理论感兴趣的物理系高年级大学生、研究生以及从事相关工作的科研人员和教育工作者。

刘寄星

2023年6月

章节试读

1.2.4

卢瑟福公式

在经典的非相对论情况，考虑质量为m、电荷为e的轻粒子被电荷为Ze的重粒子散射。散射截面与重粒子的质量无关，仅由入射粒子的速度v、质量m和电荷e以及重粒子电荷Ze决定。库仑定律意味着散射截面σ只依赖于乘积Ze2。只有一个具有长度量纲的量可以由Ze2、m和v组成，即Ze2/mv2；因此，散射截面的形式必须是

在小散射角的极限，可以得到散射截面的角度依赖关系如下。偏转角θ大致由θ≈p⊥/p 给出(见图1.14)，其中p是粒子的动量大小，p⊥是垂直于初始飞行方向获得的动量分量。可以这样计算p⊥：

(可以利用代换x=tany 来进行积分)，其中ρ是碰撞参数(见图1.14)。因此，

但是, 根据微分截面的定义，我们有

或者

由 (1.18) 和 (1.19), 可以得到小散射角的卢瑟福公式：

图1.14

1.2.5

经典力学不适合碰撞参数大的情况

在经典力学中，总散射截面为

对于任何势来说，除了那些具有有限截止点的势(如硬球势)，总散射截面都趋于无穷大。此外，在量子力学中，对于任何随距离下降的速度超过1/r2的势，总截面都是有限的(参见下文)。我们现在证明，对于足够小的散射角，即对于足够大的碰撞参数ρ，经典力学必然不适用。我们将看到，随着碰撞参数的增大，量子力学的衍射角θd 比经典散射角θ经典下降得更慢。因此，在碰撞参数ρ1的某个临界值以外，角度θd大于θ经典。这意味着，当碰撞参数大于ρ1的时候，必须用量子力学公式来计算截面。因此，在这种情况下，尽管德布罗意波长λ远小于问题的特征尺寸ρ1，仍然不具备经典散射的条件；也就是说，条件λ≪ρ1是经典力学在散射问题中适用的必要条件，但根本不是充分条件。

让我们寻找经典力学适用性的标准. 根据上面的估计θ经典≈p⊥/p， 我们得出的结论是

也就是说，

这里假定∂V/∂ρ∼V/ρ；E是粒子的总能量，V是相互作用势。

为了找到衍射角，我们考虑以下实验。放置一个屏(带有一个直径为a的孔)，从而把碰撞参数的可能值限制在ρ±a之内(见图1.15)。如果经典力学要适用, 狭缝的宽度2a必须远远小于碰撞参数ρ，否则碰撞参数的概念就没有意义了。另一方面，减少狭缝的宽度会导致衍射，为了能够观察到偏转，衍射角必须比散射角小得多。

图1.15

根据不确定性原理，坐标的不确定性对应于动量的横向分量的不确定性，∆p∼1/a。因此，衍射角由下式给出

其中p是入射粒子的动量。为了让经典力学适用，必须有θ经典≫θd，换句话说，θ经典≫1/(pa)；因此

这是经典力学适用于散射问题的一般标准。对于比库仑势下降得更快的势，经典散射角随着碰撞参数的增加而减小，下降的速度比1/ρ快。因此，我们总能找到一个碰撞参数ρ1,使得θ经典~θd。在卢瑟福散射的情况，θ=2Ze2/(pρv), 只要， 在所有角度上的散射都是经典的。

译后记

大约30年前，我在中国科学院半导体研究所读博士研究生。那时候，赵凯华老师的《定性和半定量物理学》已经影响了我，虽然那里面主要是一些普通物理学方面的应用；我也刚自学完《高等应用数学方法》（本德(Bender C M)，奥斯扎戈(Orszag S A)，著，李家春，庄峰青，王柏懿，译，科学出版社1992年出版），虽然那里面更多的是经典物理特别是流体力学方面的应用。有一天，我在研究所的图书馆里碰到了一本影印的书，也就是《量子理论中的定性方法》的英译本Qualitative Methods in Quantum Theories，觉得它非常有趣，仿佛是把前两本书的精神具体体现在量子物理学里——当然，这本书的原著和英译本都要出现得早多了，只是我遇到它的时候比较晚而已。我挺认真的学了这本书，大概能搞懂三分之二的内容吧，后来还在我的博士论文中用到了其中的WKB方法。在此过程中，我也了解到，作者米格达尔和英文版译者莱格特都是大物理学家，对基础物理学的研究做出了卓越的贡献。

在接下来的30年里，这本书以及刚才提到另外两本书没有再为我的工作提供直接的帮助，但是它们的精神一直影响着我，无论是在分析问题还是科学交流的时候，我都愿意先从物理图像出发，进行一些定性和半定量的分析，然后在深入到问题的细节里。前几年在《物理》杂志上看到刘寄星老师的文章，介绍苏联物理学的朗道学派的工作和人物的时候，以及另外一本回忆录《在朗道的旗帜下》（Under the Spell of Landau: When Theoretical Physics was Shaping Destinies，编者是Mikhail Shifman，由World Scientific出版公司于2013年出版，里面有6篇关于米格达尔的文章），我又想起了这本书。我把它找出来看了看，发现它的精神仍然没有过时，而它的内容在中文世界里也还不是广为人知，至少没有得到系统性的介绍。尽管这本书的原著已经出版了50年，但是现在它仍然没有中译本。

这本书在出版两三年后，就被翻译为英文，译者安东尼·莱格特（Anthony J. Leggett, 1938 - ）是著名的物理学家，由于他在超流体理论研究中做出的原创性工作，获得了2003年诺贝尔物理学奖。与他一同获奖的维塔利·金茨堡（1916.10.4-2009.11.8）和阿列克谢·阿布里科索夫（1928.6.25-2017.3.29）都是苏联物理学的杰出人物，与朗道学派有着密切的关系。

这本书不仅在俄语世界里很有影响，它的英译本在英语世界里也很流行，先后被编入《物理学前沿》和《高级经典图书》两个丛书系列里出版发行。在《物理学前沿》丛书的序言里，著名物理学家大卫·派恩斯（David Pines,1924.6.8-2018.5.3）解释了丛书出版的精神：

采用连贯一致的方式，交流物理学最兴奋和最活跃的领域里的问题，在今天似乎特别紧迫。物理学家的数量急剧增加，大大降低了人们熟悉的交流渠道的效率。某个特定领域的专家可以紧跟当前的文献；而新手只会感到困惑。我们需要对某个领域给出一致的描述，并提出明确的“观点”。在快速发展的领域中，正式的专著无法满足这种需求，也许更重要的是，这种综述文章似乎不受欢迎了。事实上，一个人越是积极地参与发展某个特定领域，他似乎就越不可能详细地写文章。

《物理学前沿》在几个方面努力改善这种情况。今天，顶尖的物理学家经常在他们感兴趣的特殊领域举办一系列讲座、研讨会或研究生课程。这种讲座旨在总结某个迅速发展的领域的现状，而且很可能是当时唯一连贯的叙述。通常会有关于讲座的笔记（由授课人自己、研究生或博士后准备），并在有限的范围里以油印形式分发。《物理学前沿》系列丛书的主要目的之一就是，把这样的笔记提供给更广泛的物理学工作者。

需要强调的是，课堂讲稿的风格和内容必然是粗糙的和非正式的；这个系列也不例外。本来就应该这样。这个系列的目的是为物理学工作者提供新的、及时的、不那么正式的内容，用更有效的方式来互相学习。如果只有优美的讲义才合格，就迷失要点了。

出版最近非常活跃的物理学领域的文章抽印本，可以改善交流。这些文章本身就对该领域的工作者很有用。但是，如果伴随这些文章同时有中等长度的介绍，将有助于把这些文章联系起来，并必然构成对该领域现状的简要调查，从而进一步提高抽印本的价值。同样，为了跟上该领域的迅速发展，这种非正式的介绍是适当的。

非正式的专著介于课堂讲稿和正式专著之间，为作者提供了机会来展示他对特定领域的观点，这个领域已经发展到这样的阶段：总结肯定会很有成效，但正式的专著尚不可行或不可取。

《当代经典图书》是当今物理教学的一种特别有价值的方法。这里有一些处于当今许多研究的核心领域，但它们的本质现在已经得到了很好的理解，比如量子电动力学或磁共振。在这些领域中，一些最好的教学材料并不容易获得，因为它们或者是早已绝版的论文，或者是从未发表过的讲座内容。

关于这本书，他还特别介绍说：

上述文字写于1971年8月，但今天似乎同样适用。此外，在过去的15年里，用于研究量子理论问题的形式方法发展得很快，初学者似乎比以往任何时候都更需要一本书强调该学科的定性方法。现在这本书就是为了满足这种需求。长期以来，米格达尔院士一直以物理洞察力和迅速理解问题本质的能力而闻名。在这个系列的早期，他和同事克雷诺夫合著了一本书，传授如何用定性方法来推导量子力学中一些近似方法的基本结果，特别关注原子物理和核物理的问题；本书的第一部分是米格达尔和克雷诺夫那本书的修订本。本书的第二部分把定性方法推广到凝聚态物理、核物理和量子场论的问题，仍然强调了基础的物理和研究的工具。

我非常高兴地欢迎米格达尔教授再次为这个系列做出贡献。正像他希望的那样，我也认为这本书不仅为学生介绍理论物理的基本问题，还可以提醒专业物理学家，特别是那些讲授研究生课程的人，量子理论中的定性方法可以给出许多深刻的见解和有用的结果。

在《高级经典图书》丛书的前言里，大卫·派恩斯在2000年5月介绍了这套丛书的由来：

自1961年以来，帕索斯出版社的《物理学前沿》丛书让领先的物理学家用连贯一致的方式，交流他们对物理学最活跃和最激动人心的领域里最新发展的看法——而不必费时费力地准备正式的评论或专著。事实上，在创立的近四十年中，这套丛书一直强调风格和内容的非正式性，以及教学上的清晰性。人们预期，随着时间的推移，这些非正式的叙述将被更正式的出版物（教科书或专著）取代，因为它们处理的前沿课题逐渐融入物理学知识体系，而读者的兴趣则逐渐减少。但事实证明，这套丛书中有一些并非如此。许多作品一直在按需印刷，而其他作品则具有内在价值，以至于物理学界敦促我们延长其寿命。

《高级经典图书》丛书就是为了满足这个需求。它将保留《物理学前沿》中仍然为某个长期有趣的主题提供独特描述的那些书。通过可观的印刷量，这些经典著作将以比较低的成本提供给读者。

然后是对这本书的具体介绍：

已故的米格达尔是我们这个时代的伟大的理论物理学家，他对核物理、凝聚态物理、天体物理和粒子物理做出了重大贡献。他把敏锐的物理洞察力与他对物理学和物理现象的深刻理解结合起来，认为学生学习量子理论比学习公式和方程的数学操作更重要。正是由于这个原因，他开发了关于量子理论中的定性方法的系列讲座，这些讲座包含在本书中。因为他的独创性和对教学法的细致关注，米格达尔的《量子理论中的定性方法》成为每个愿意学习和应用量子理论的科学家的必读书。最让我高兴的是，随着《高级经典图书》的出版，未来一代的科学家更容易得到它，有望从阅读中获益匪浅。

阿拉伯谚语说，“知识虽远在中国，亦当求之。”

刘寄星老师认为这是一部奇书，介绍了理论物理学家们在实际工作中采用但很少有人公开传授的“武术秘籍”。然而，在这本书的原著出版50年以后，连英译本也出版接近50年了，中文世界里仍然看不到它的身影。有能力的学者当然很多，但是他们也许太忙了，也许认为这本书过时了，也许认为有英文版就足够了，所以这本书在中文世界里仍然只是传说。

我花了一些时间，把这本书翻译为中文，也许会帮助一些物理系的学生。2023年11月24日，我给莱格特教授写了一封邮件：

……我写这封信是想问您关于《量子理论中的定性方法》这本书的一些事情，大约50年前，您把它从俄文版翻译为英文。大约30年前，我读了这本书，最近，我把它翻译成了中文（借助了您的英文版本）。我想知道您能不能介绍一下作者米格达尔教授，以及您为什么要翻译这本书，在翻译的过程中有什么遭遇。许多中国读者都知道您是伟大的物理学家，但只有少数人知道你把这本俄语书（及其早期版本）翻译成了英语。我们将很高兴听到关于这本书、作者和您的任何故事。……

12月11日，我收到了莱格特教授的回信：

……我不记得最初是怎么被邀请翻译米格达尔的书了，但我怀疑一定是通过我的论文导师德克·特哈尔（Dirk ter Haar），他和苏联物理社区有密切接触，而且长期主持JETP\footnote{中译者注：苏联的《实验和理论物理学杂志》}的英文翻译工作。当然，我很高兴抓住这个机会，因为我觉得，至少在那个时候，这本书实际上是独一无二的，对说英语的读者来说非常有价值。(你可能知道，翻译有两个版本\footnote{中译者注：这本书有两个版本，第一个版本只是现在这一版的前三章内容。这两个版本都是由莱格特教授翻译为英文并出版。}；第一个标题是“近似方法……”，给人以非常误导的印象；我很遗憾地说，虽然这个标题可能是出版商提出的，但我似乎并没有反对它。不管怎样，我很高兴你用了后来的版本；“定性”是俄语的直译，更合适。)

关于翻译的事情，我有两个主要的回忆。一个是，俄语原文中几乎完全没有任何迹象表明一句话和下一句话之间的逻辑联系，这总是让我感到沮丧。对于理论物理学中的俄语作品来说，这似乎相当普遍，我听说这可能是故意试图迷惑外国读者；然而，我自己的怀疑是，就像这个领域的许多其他事情一样，这是朗道的遗产。

我的另一个回忆是（我想这可能适用于早期的版本）：这本书是基于米格达尔在黑板上的授课，由弗拉基米尔·克雷诺夫转录的，我相信他当时是米格达尔的研究生。这个过程导致了方程中的大量错误，我尽自己最大的努力纠正它们；对于这样的方程，我在翻译版相应位置的页边空白处做了标记。此外我发现，一些米格达尔的短语和类比，如果直译的话，对于英语（至少英国）读者来说就很奇怪甚至没有意义；比如说，为了说明扁球体和长球体之间的区别，他称前者为“圆饼干”（这个还行吧），称后者为“黄瓜”（这就不合适了），跟俄罗斯不一样的是，英国出售的大多数黄瓜在根本不是球形的。同样地，为了说明随机游走的概念，米格达尔举的例子是“在一部电话被使用N次后，电线扭曲的次数是”；这对英国读者来说没有意义，因为在英国，当人们从供应商那里得到电话机时，电话线已经扭曲了。【中译者注：这里说的是古老的有线电话机，电话筒跟电话机之间是有线连接的。在中国和在英国一样，这个线不是直的，而是设计成卷卷的螺旋状，在拉伸和收缩时,它都会像弹簧一样。听这里的意思，俄国的连线似乎起初是直的，打电话的时候，你可能会无意中把线转了一圈，所以，在打了N次电话以后，就会把电线转了大约圈。参见本书第2.1.10节，中译本第39页，以及那里的译注。】在这样的地方，我试图做适当的自由翻译，但我还是在相应的页边空白处做了标记。

最后，当翻译完成以后，我把它（还有批注）交给了米格达尔审批。在返回的稿件里，我发现他几乎采纳了我修正的每一个方程，但是对我尝试自由翻译的模棱两可的文本，他却异常粗暴，并且坚持对俄语原文进行严格的字面翻译（他提供了译文）！

无论如何，我很高兴知道你已经把这本书翻译成中文了——我相信中译本的读者会发现它非常有用。……

由于本人的精力和能力所限，翻译难免有些疏漏之处，请读者谅解。如有翻译不当之处，请多加指正。来信请寄jiyang@semi.ac.cn

我特别感谢莱格特教授，他的英译本对我的帮助非常大，否则就不会有现在这个中译本。但是，毕竟50年过去了，米格达尔教授也去世30多年了，不可能发表任何意见了，所以我在中译本里不可避免地采用了一些自由翻译。我也试图学习莱格特教授的翻译风格，但是终究不能完全做到。我们的差别最明显地表现在“译后记”里，我在之类唠唠叨叨地说了很多，而他在英译本里只做了非常简短的说明：

为了多快好省地翻译出版，本书中的大多数公式都是直接从俄文版中影印出来的。一般来说，英语读者可能不熟悉的符号已经做了改变，以符合英语的用法，但也有少数情况，改变符号不方便甚至不可能；最常见的有以下几种情况。……

在翻译过程中，我还看到了米格达尔教授的儿子小米格达尔（A. A. Migdal）的回忆文章《失乐园》（Paradise lost），中译版由“1/137”翻译，2023年10月15日发表于科学新媒体“返朴”（微信ID：返朴2019）。我联系了小米格达尔教授，从他那里了解了更多关于这本书和作者的事情，并且得到了他的鼓励。对此我也表示感谢。

我还感谢刘寄星老师的支持和鼓励，特别是感谢他为本书撰写了“中译本序”。

感谢中国科学院高能物理研究所邢志忠老师和周顺老师的帮助。

最后，我感谢中国科学院半导体研究所多年来对我工作的支持，感谢浙江大学物理学院的支持。感谢全家人特别是妻女多年来的鼓励、支持和帮助。

姬扬

2024年11月7日

浙江大学紫金港校区

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