西安交通大学马西奎教授团队提出一种适用于嵌入式导电薄层的高阶电磁波混合时域有限差分-时程精细积分法

阅读提示：本文约 2800 字

嵌入式导电薄层在电磁系统的屏蔽中有着广泛的应用，如飞行器、汽车和金属机箱的外壳，其主要材料有碳纤维层、碳纳米管和金属涂层等。应用单一时域数值方法，在面对嵌入式导电薄层一类多尺度问题时，都面临着建模极为困难的挑战。

西安交通大学电气工程学院先进电磁调控与电能转换技术研究（CAEMEC）中心马西奎教授团队与米兰理工大学电子信息与生物工程系博士后研究员朱晓杰合作，在2025年第5期《电工技术学报》上撰文，提出了一种基于时域有限差分（FDTD）法和高阶时程精细积分（PITD）法的电磁波混合数值方法来对嵌入式导电薄层进行高效精确建模。对导电薄层外部进行粗网格剖分并应用 FDTD 法，而对薄层内部进行一维细网格剖分并应用四阶 PITD 法，以实现不同网格尺度的同步时间推进，能够快速准确地评估导电薄层的屏蔽效能。

研究背景

时域有限差分（Finite-Difference Time-Domain, FDTD）法是一种广泛应用的时域数值方法，然而其时间步长受到Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）稳定性条件的限制。

为克服这一缺点，马西奎教授团队率先提出了时程精细积分（Precise-Integration Time-Domain, PITD）法。PITD法的核心思想是将Maxwell旋度方程中的时间和空间偏微分算子分开处理，首先应用Yee元胞对空间偏微分算子进行差分离散，然后采用精细积分技术处理时间偏微分算子。

与FDTD法相比，PITD法不仅突破了CFL稳定性条件的限制，具有相当宽松的时间步长选取范围，且数值色散误差与时间步长几乎无关，从而保证了大时间步长下的计算精度。

为了进一步降低数值色散和提高计算精度，基于四阶空间中心差分格式的PITD法被提出。这里，分别把基于二阶和四阶空间中心差分格式的PITD法简写为PITD(2)法和PITD(4)法。

论文所解决的问题及意义

在采用常规FDTD法来建模嵌入式导电薄层时，为了确保准确性，必须对整个计算空间进行细网格剖分，从而导致计算机资源消耗剧增。为解决这一问题，亚网格技术被引入FDTD法中，即在薄层外的电大尺寸区域进行粗网格剖分，在薄层内的电小尺寸区域进行细网格剖分。然而，这种非均匀网格的时间步长仍然受到最小网格尺寸的限制，导致需要极长的运行时间。

由于良导体薄层内的波沿着近似垂直于其表面的方向传播，这样就不需要考虑薄层内部的法向场分量，可以仅通过一维全波模拟来确定薄层两侧的切向电场。几乎无条件稳定的PITD法特别适用于求解局部细网格上的场量，因此本文基于FDTD法和一维PITD(4)法提出了一种适用于嵌入式导电薄层建模的电磁波混合方法，在薄层内部细网格区域采用一维PITD(4)法，而外部粗网格区域采用FDTD法，放宽了CFL稳定性条件的限制，避免了时间步长的减小，提高了计算效率，能够高效精确地预测导电薄层的屏蔽效能。

论文方法及创新点

1、基于电磁波混合FDTD-PITD(4)方法的嵌入式导电薄层建模方案

首先对整体区域进行粗网格剖分，再将导电薄层嵌入其中。由前述可知，在薄层内部可以沿法线方向进行一维细网格剖分，采用 PITD 法来突破细网格对时间步长的限制，以实现导电薄层内部和外部空间中时间步长的一致。

与 PITD(2)法相比，PITD(4)法具有更高的空间离散精度，且不会造成额外的内存负担，因为它们两者矩阵指数规模和稀疏性的差异并不显著。因此，本文所提出的电磁波混合FDTD-PITD(4)方法基于导电薄层内外区域的特点，采用常规的 FDTD 法来求解导电薄层外部的粗网格区域，而采用一维 PITD(4)法来求解薄层内部的细网格区域，如图1所示。

图1 嵌入式导电薄层建模示意图

2、数值结果与分析

图2是单面铜薄层封闭腔的计算模型和屏蔽效能的计算结果，本文方法得到的结果与NIBC（Network Impedance Boundary Condition, NIBC）法的结果吻合良好，验证了本文方法在求解三维电磁屏蔽问题时的适用性。

图2 单面铜薄层封闭腔的计算模型及屏蔽效能

图3是铜薄层方舱内的人体的计算模型和比吸收率（Specific Absorption Rate, SAR）分布的仿真结果，验证了本文方法在处理大规模计算问题时的有效性。

图3 计算模型及人体SAR分布

结论

本文提出了一种适用于嵌入式导电薄层建模的高阶电磁波混合FDTD-PITD方法，不仅避免了薄层厚度的模糊性，并且摆脱了细网格对时间步长的限制，提高了算法的计算效率。

数值计算结果表明，该方法能够高效精确地预测导电薄层的屏蔽效能。与单一数值方法相比， 混合方法将FDTD法和PITD法结合起来协同处理多尺度问题，兼顾了两种方法的优点，同时弥补了不足，并且很容易在现有的FDTD代码中实现，是一种极具潜力的嵌入式导电薄层建模方法。

团队介绍

先进电磁调控与电能转换技术研究中心（CAEMEC）是由西安交通大学电气学院支持筹建的研究中心之一，中心主任为马西奎教授。中心面向国际科学技术的发展前沿和国家科学技术研究、经济和国防建设等重大需求中出现的电磁现象和电磁问题，研究新的理论和高效算法，力求在物质、材料、信息、能源和数理等多学科交叉的基础理论研究中取得突破。

马西奎

教授，博士生导师，研究方向为电气工程中的多种物理场的耦合理论及其数值分析和软件技术，通信与电子系统中的电磁场与电磁波，非线性电路与系统中的分歧与混沌，混沌的控制、同步及其应用等。

邮箱：maxikui@mail.xjtu.edu.cn

马亮

博士研究生，研究方向为时程精细积分法在求解多尺度电磁问题中的应用。

邮箱：3120104254@stu.xjtu.edu.cn

迟明珺

博士研究生，研究方向为时程精细积分法及其混合方法在电磁问题中的应用。

向汝

博士研究生，研究方向为电磁波时域数值方法，主要包括时域间断伽辽金方法。

邮箱：ruxiang@stu.xjtu.edu.cn

朱晓杰

博士后研究员（米兰理工大学电子信息与生物工程系），研究方向为计算电磁学，主要包括不确定性量化的时域有限差分法和时程精细积分法。

邮箱：xiaojie.zhu@polimi.it

本工作成果发表在2025年第5期《电工技术学报》，论文标题为“一种适用于嵌入式导电薄层的高阶电磁波混合时域有限差分-时程精细积分法“。本课题得到国家自然科学基金项目的支持。

引用本文

马亮, 马西奎, 迟明珺, 向汝, 朱晓杰. 一种适用于嵌入式导电薄层的高阶电磁波混合时域有限差分-时程精细积分法[J]. 电工技术学报, 2025, 40(5): 1333-1343. Ma Liang, Ma Xikui, Chi Mingjun, Xiang Ru, Zhu Xiaojie. A High-Order Hybrid FDTD-PITD Method of Electromagnetic Waves for Embedded Thin Conductive Layers. Transactions of China Electrotechnical Society, 2025, 40(5): 1333-1343.

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