三角学只用来测量？太天真！从音乐到AI，这门学科藏着想不到的跨界应用

但实际上，三角学的应用远比我们想象的广泛和深入，例如在音乐理论中的应用；其他一些用途则更具技术性，比如在数论中的应用。傅里叶级数和傅里叶变换等数学分支，都高度依赖于三角函数的知识，并广泛应用于包括统计学在内的多个领域。

unsetunset托马斯·潘恩的赞誉unsetunset

美国革命家与启蒙思想家托马斯·潘恩在其著作《理性时代》的第十一章中曾这样描述三角学：

人类预测日食或其他天体运行的科学原理，核心藏在一门叫 “三角学” 的学问里 —— 简单说，就是研究三角形特性的科学。这门学问应用在不同领域，会有不同的名字：

• 当它用来探索星空，就成了天文学；

• 当它指引船只在海上航行，就成了航海学；

• 当它辅助用直尺和圆规画图，就融入了几何学；

• 当它参与建筑的平面设计，就成了建筑学的工具；

• 当它用来丈量地球表面的土地，就成了土地测量学。

说到底，三角学就像科学的灵魂，它承载着人类所说的 “数学证明”，是永恒的真理。而它的用途之广，至今仍有无数种的可能等待我们去发现。

unsetunset历史上的重要应用unsetunset 印度大三角测量

从 1802 年到 1871 年，英国在印度曾开展了一项浩大的工程——印度大三角测量，目的是高精度测绘整个印度次大陆。

数学家和地理学家们从沿海的基线开始，用三角测量法一步步“铺”满了这个国家的广袤土地。这项工程最亮眼的成就之一，就是测出了喜马拉雅山脉的高度，确认了珠穆朗玛峰确实就是地球的最高峰。

在乘法运算中的历史用途

1614 年对数发明前的 25 年里，“三角和差化积法”是当时唯一能快速估算乘积的通用方法。它的巧妙之处在于：利用三角恒等式，把角度和与差的三角函数，转换成这些角度各自三角函数的乘积——就这么一变，复杂的乘法问题就成了简单的加减法。

三角学遍布了科学的各个领域，比如下面这些：

• 物理工程领域 ：声学、建筑学、天文学、制图学、土木工程、地球物理学、电气工程、电子学、测量学

• 科学研究领域 ：结晶学、机械工程、医学成像、海洋学、光学、药理学、地震学

• 数学统计领域 ：数论、概率论、统计学

• 感知与艺术 ：视觉感知、音乐理论

不过要说明一点，上述领域都涉及了三角学，不代表必须先精通三角学才能入门。但三角学知识的欠缺，有些内容就肯定没法完全弄懂。比如一位音乐教授可能不懂数学，却多半知道——毕达哥拉斯是最早为音乐的数学理论添砖加瓦的人。

有些领域里，三角学的应用很容易理解。比如航海和土地测量中，有时用的三角学知识特别基础，初级课本里就能找到。

在音乐理论中，三角学的应用能追溯到毕达哥拉斯的研究：他最早发现，两根弦被拨动时，如果长度是某个共同长度的小整数倍，声音就会很和谐。而振动的弦，形状和正弦函数图像惊人地相似——这可不是巧合。

海洋学里也一样：有些波浪的形状和正弦函数图像像“双胞胎”，背后藏着必然联系。在气候学、生物学、经济学等领域，还有很多季节性的周期现象，研究它们时，总少不了正弦、余弦函数的周期性帮忙。

傅里叶级数

不少领域对三角学的应用更“高级”，复杂到一篇文章说不完。这些应用常和“傅里叶级数”有关——这是以 18 到 19 世纪法国数学家、物理学家约瑟夫·傅里叶命名的概念。

傅里叶级数的应用范围广得惊人，尤其在涉及季节性周期现象和波形运动的领域。比如辐射、声学、地震学、无线电波调制、电力工程等，都少不了它。

傅里叶级数是一种无穷级数，长这样：

式子里的每个方框（ ）都代表不同的数字（也就是系数），整个级数是无穷多个项加起来的结果。傅里叶最早用它研究热流和扩散现象——比如把方糖放进一加仑水里，糖会慢慢散开；污染物在空气中扩散；或者任何溶解物在液体中散开的过程，都能用它分析。

傅里叶级数还能用到看似和波动无关的领域。比如数字压缩技术：图像、音频、视频数据能被压得更小，方便通过电话、网络、广播传输，这些技术背后就有它的功劳。其他应用还有几何数论、等周问题、随机游走的重现、二次互反律、中心极限定理、海森堡不等式等。

傅里叶变换

傅里叶变换比傅里叶级数更抽象，它用积分代替求和，应用领域同样广泛。很多自然规律可以表述为“量的变化率和量本身相关”，比如人口变化率，可能和当前人口数量、人口与环境承载能力的差额都成正比——这就是“微分方程”。

如果想把人口表示成时间的函数，其实就是在“解”这个微分方程。傅里叶变换能把某些微分方程变成代数方程，而代数方程的解法早就被人们掌握了。它的用途太多了：几乎所有提到“频谱”“谐波”“共振”的科学场景，都和傅里叶变换或傅里叶级数脱不了干系。

智商（IQ）分布常被说成“钟形曲线”：曲线下约 40%的面积在 100 到 120 之间，对应着约 40%的人 IQ 得分在这个区间；近 9%的面积在 120 到 140 之间，对应着约 9%的人得分在此范围，以此类推。

很多事物都遵循这种“钟形曲线”，比如物理测量中的误差。为什么它这么普遍？背后的理论原因就和傅里叶变换有关，自然也离不开三角函数。这只是傅里叶变换在统计学中的应用之一。此外，统计学家研究季节性周期时，也常常用傅里叶级数表示周期规律。

数论

三角学和数论之间，藏着一层微妙的联系。简单说，数论研究的是数的“性质”，而不是“大小”。

看一组分数：

只保留那些已经是最简形式的分数，剩下这些：

再用三角学算个和：

结果是 -1。这是因为 42 有奇数个不同的质因数（42=2×3×7），且没有重复。这个和其实就是 42 的莫比乌斯函数值——如果一个数有偶数个不同的质因数，和为 1；如果有重复质因数（比如 60=2×2×3×5），和为 0。这个例子告诉我们，傅里叶分析也能用到数论里。

求解非三角方程

用三角学还能解很多种方程。

比如常系数线性差分方程或线性微分方程，它们的解可以用特征方程的特征值表示。如果有些特征值是复数，这些复数项能换成实变量的三角函数——这说明变量会呈现振荡行为。

再比如三次方程，如果有三个实数解，它的代数解里会有复数的立方根，用起来不方便。但有一种替代解法：用实变量的三角函数表示，处理起来简单多了。

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原文：en.wikipedia.org/wiki/ Uses_of_trigonometry

翻译：【遇见数学】译制，并补充部分内容/图片