为什么广义相对论不考虑挠率

广义相对论，爱因斯坦对引力的革命性描述，将引力解释为时空本身的几何弯曲。这个理论的成功是毋庸置疑的，它精准地预测了从行星轨道到黑洞存在的各种现象。然而，深入其数学基础，我们会发现一个有趣的特性：广义相对论默认时空是没有“挠率”的。这并非是爱因斯坦随意做出的假设，而是基于深思熟虑的物理和数学考量。

黎曼几何：广义相对论的数学基石

要理解广义相对论为何不考虑挠率，首先需要了解其赖以建立的数学框架：黎曼几何。在黎曼几何中，曲率是核心概念，它描述了时空如何弯曲。想象一个二维的球面，它的表面是弯曲的，这就是一个具有正曲率的例子。广义相对论将引力等同于四维时空的这种弯曲。

在黎曼几何中，用于描述向量如何在弯曲时空中“平行移动”的工具是联络。这个联络定义了如何比较不同点上的向量。黎曼几何的一个关键特征是其联络是对称的，这意味着它不包含反对称的部分，而这个反对称的部分正是我们所说的挠率。

更具体地说，广义相对论使用的是Levi-Civita 联络。这是黎曼几何中一个独一无二的联络，它具备两个关键性质：

• 无挠：这意味着联络是对称的，不含有任何挠率。物理上，无挠可以理解为：当一个向量沿着一个无限小的闭合回路平行输运时，最终向量与初始向量之间的差异完全由时空曲率引起，而不是由时空自身的“扭曲”或“旋转”效应造成。
• 度规兼容：这意味着在平行输运过程中，向量的长度和它们之间的夹角保持不变。这与物理现实高度契合，因为在引力作用下，自由落体粒子的“路径”应该保持其固有的性质。

爱因斯坦选择黎曼几何作为广义相对论的基础，正是因为它能够优雅且有效地将引力描述为时空的弯曲，而黎曼几何本身就隐含了无挠的性质。

简洁性、成功验证与缺乏物理动机

除了数学上的自洽性，广义相对论不考虑挠率还有深刻的物理原因：

1. 简洁与奥卡姆剃刀原则

科学理论倾向于在满足解释能力的前提下选择最简洁的形式。广义相对论在没有挠率的情况下，已经能够极其精确地描述我们所观察到的所有宏观引力现象。从水星近日点的异常进动到光线在引力场中的偏折，再到引力波的存在和黑洞的形成，标准广义相对论都给出了令人信服的解释，并且这些解释都不需要挠率的存在。

引入挠率会使理论的数学结构变得更加复杂，但却没有为这些已知的现象提供额外的解释或改进。在没有强有力的实验证据或理论必要性之前，根据奥卡姆剃刀原则（“如无必要，勿增实体”），引入挠率是不必要的。

2. 爱因斯坦场方程的推导

广义相对论的爱因斯坦场方程可以通过从Palatini 作用量进行变分推导得到。在这个推导过程中，联络被视为独立的变量，可以独立于度规进行变分。当对作用量进行变分时，如果不对联络的反对称部分（即挠率）施加任何外部约束，数学结果自然会导向一个无挠的联络。这意味着挠率的消失是广义相对论数学结构的一种自然结果，而非一个强加的额外假设。

3. 缺乏宏观尺度的物理源

在广义相对论中，时空的弯曲是由能量-动量张量引起的，它描述了物质和能量的分布。如果挠率存在，它也需要有自己的物理源。通常认为，物质的自旋角动量可能是挠率的自然来源。

然而，在宏观尺度上，组成物体的粒子（如电子、质子等）的自旋效应非常微弱，它们对整体时空几何的影响可以被完全忽略不计。例如，在地球或太阳这样的宏观天体中，其总体的自旋效应相比于其质量-能量对时空的弯曲作用来说微乎其微。因此，在宏观引力实验中，我们根本无法探测到由自旋引起的挠率效应。

挠率的引入：爱因斯坦-嘉当理论

尽管标准广义相对论排除了挠率，但这并不意味着物理学家完全放弃了它的可能性。在一些引力理论的扩展中，挠率被明确地引入。其中最著名的就是爱因斯坦-嘉当理论（Einstein-Cartan Theory）。

爱因斯坦-嘉当理论的主要思想是：挠率的源是物质的自旋角动量密度。在这个理论中，时空不仅由能量-动量张量引起的曲率来描述，还会因物质的自旋而产生挠率。

这种理论在微观尺度和极高物质密度（例如中子星的内部、黑洞奇点附近，或宇宙大爆炸的极早期阶段）下可能变得非常重要。在这些极端条件下，粒子的自旋效应可能不再可以忽略。一些研究甚至提出，挠率可能会在极端引力场中引入一种排斥力，从而可能避免经典广义相对论预言的奇点（如黑洞中心和宇宙大爆炸时刻）的形成。

然而，需要强调的是，在宏观低密度区域，爱因斯坦-嘉当理论与标准广义相对论的预言是完全一致的。这是因为在这些区域，物质的自旋密度极低，导致挠率可以忽略不计。因此，当前的引力实验，无论多么精确，都无法区分这两种理论，因为它们在可观测的范围内给出了相同的物理结果。

总结

综上所述，广义相对论不考虑挠率是多方面原因的综合结果：它建立在无挠的黎曼几何之上，这符合理论的简洁性原则；在经典引力现象的描述上，无挠的框架已足够成功，无需引入额外的复杂性；并且在宏观尺度上，缺乏能够产生可观测挠率的物理源。尽管如此，挠率在其他引力理论（如爱因斯坦-嘉当理论）中仍然是一个活跃的研究领域，尤其是在探索微观引力、量子引力或宇宙早期演化等极端条件时，它的作用可能变得至关重要。这展示了物理理论在不同尺度和不同情境下可能需要不同数学描述的丰富性和复杂性。