羽毛球中的物理学

作者：吴钰婧 | 中国科学院大学 培养单位：中国科学院物理研究所 审核：吴凡 特聘研究员 | 中国科学院物理研究所

羽毛球在中国已发展成全民性的科学运动，根据中国羽毛球协会2023年统计，全国羽毛球运动人口突破2.5亿。羽毛球属于高强度间歇性运动，可使基础代谢率提升5-15%，持续燃脂效应长达24小时。长期打羽毛球可以有效增强心肺功能，羽毛球中的展胸运动可以帮助预防心血管疾病。它也是速度最快的拍击类运动，顶尖运动员杀球时的初始速度可以高达400 km/h以上（相当于高铁时速的1.3倍），因为这项运动完美融合了经典力学与流体动力学的奥妙。因此，羽毛球不仅是一个强身健体的娱乐方式，更是力学在三维空间的美妙演绎。下面就让我们一起从物理的角度重新认识一下这项运动吧。

一、球拍

常打羽毛球的同学可能听过一个词，球拍的甜区，指的是甜区就是球拍面的有效击球区，那么为什么出现甜区呢？甜区的物理意义主要包括撞击中心、振动波节和最大弹性恢复点[1]。首先通过一个一维刚性模型理解撞击中心（图1）。

图1 球拍的受力和运动分析[2]

球拍简化为一根长棍，手握球拍相当于固定住球拍的一端使其在平面内只能围绕该点旋转。初始时球拍静止，球击中长棍上的一点（设距离质心距离为b），球对长棍会产生一个作用力，手感受到的作用力越小，我们就认为击球感越舒服。如何能减小长棍对固定点的作用力呢？对长棍进行受力分析，球对长棍作用的力F会使棍做一个平动（速度为vc）。根据牛顿第二定律：

同时，长棍还会发生一个转动，根据角动量守恒：

其中M是长棍的质量，I是长棍的转动惯量。手相对于质心的运动：

若要长棍对钉子无作用力，则需要相对速度为零，也就是：

但实际上，球拍并不是理想刚性模型，球在撞击到拍面时还会引发球拍的机械振动。这些振动波实际是无数个不同频率的谐波叠加而成，但是频率越高，振幅越小，往往起作用的只有基础波型和第一谐波。振动波在不同位置的振幅不同，在某些地方几乎没有振动，这些点叫做波节，也就是本文要介绍的第二个甜区的物理意义，振动中心。当球撞击到波节时，其形变对波节的形成没有帮助，相应的振动也就微乎其微。因此，当击球时尽量在波节处能尽量避免球拍振动对手产生的酥麻感。图2中模拟了球拍的前三种振动，可以看到基础波型的波节位于手柄端点，因此不能成为击球点（除非脱拍打中），第一谐波的波节位于靠近拍头的位置，用这一点击球时，所有球员基本上都不会感觉到振动。

图2 球拍的前三种振型。基础振型的频率为 15 Hz；第二种振型的频率为 140 Hz；第三种振型的频率为 405 Hz[3]。

尽管撞击中心和振动中心都是为了减少球拍对手的负面影响，研究表明振动中心对于手感的影响更大。除此之外，甜区还有第三个物理定义，那就是功率点，或称弹跃点。羽毛球强力击球中的总机械能由两部分组成[4]：源于球拍挥动产生的运动能量KE和由击球瞬间线床形变存储的弹性势能SE。在该点上回弹系数最高，能最大程度减少球和拍面撞击时转化为弹性势能（由网面的形变造成）的损耗，从而获得更大的击球效率。

总而言之，甜区是击球时让手不适感最低、球回弹效率最高的一块区域。这里介绍的三种物理定义的中心并不重合，所以球拍往往划分一块区域作为球拍的甜区，想要掌握甜区，还需要在实战中多多练习。

二、发力

学习过羽毛球的小伙伴是不是经常听到一个词“鞭打发力”，这其中其实蕴含着非常功夫的物理原理——甩鞭效应：基于角动量守恒，在一个旋转体系里，头部产生角动量，并向尾端传递，尾端的旋转速度会越来越快。我们先简化成两端链条的模型[5]：

图3 传动模型

第一段质量为M，初始速度为v ，第二段质量为m，初始速度为u 。甩出后第一段速度为v'，第二段速度为u' 。根据动量守恒：

由此可见，想要末端的速度越大，第一段在传动后最好处于制动状态。同时M/m越大末端传动的速度也越大。由此看来，在羽毛球运动中，想要身体鞭打出最高速度，首先要有大环节参与，也就是利用腰腹发力，来获得较大的初速度 ，在经历腰腹-大臂-小臂的传动过程，在末端挥拍挥出最大速度。如果仔细观察运动员跳杀时的动作（图4），会发现运动员转动腰腹起跳后会出现明显的滞空感，此时大臂继续带着小臂转动，当肘关节达到高点后，出现类似“触墙”的感觉，也就是专业里常说的锁肩/锁肘，最后剩下小臂内旋发力，打出超音速的一记绝杀。这和我们在这里的理论分析十分吻合。

图4 羽毛球运动员的跳杀[6]

三、飞行轨迹

羽毛球整个飞行轨迹可以分为四个阶段，分别是翻转阶段、振荡阶段、稳定飞行阶段和减速阶段。

Caroline Cohen等人通过高速摄像机拍摄击球后羽毛球飞行初期的运动轨迹[7]，如图5所示，并利用空气动力学模型对稳定飞行前的运动进行预测。

图5 羽毛球的行动轨迹

可以看到羽毛球在击球后会经历翻转、振荡最终达到稳定阶段，行为非常类似阻尼振子。羽毛球在飞行的过程主要受到重力和空气阻力，重心作用点为羽毛球的质心，位于靠近球头的位置。压力中心根据数值模拟与质心大约距离3 cm。由于压力中心和质心不重合，因此作者通过两个球形模型来进行运动分析（图6），得到的运动轨迹方程为：

图6 羽毛球受力分析

其中，φ是偏转角度，U是羽毛球速度，CD是球体的阻力系数，ρ是气体密度，lGC是G点和C点间的距离。φ的二阶微分方程是一个阻尼振子，气动阻力产生了扭矩。在这个方程中带入已知的质量、距离等条件，可以求解翻转时间、震荡时间、稳定时间等表达式。并且方程中包含涉及羽毛球状态的参数，因此也可以用来解释不同羽毛球对运动轨迹造成的差异。例如，文中解析了用塑料制成的羽毛球（简称塑料球）和用真羽毛制成的羽毛球（简称羽毛球）间的运动差异：由于羽毛球更轻，质量分布也有所不同，并且羽毛球的阻尼系数小于塑料球，因此羽毛球的飞行距离更短。此外，羽毛球羽毛叠加导致空气动力分布不均，产生更大扭矩，使旋转速度加倍（如图7），而塑料羽毛不易变形，旋转阻力较大，限制了自旋速度。更大的旋转速度增加了飞行的稳定性，所以，运动员往往更偏爱使用羽毛球，既能精准控制飞行，又能减少对手的反应时间，而不是便宜耐打的塑料球。

图 7 羽毛球和塑料球

羽毛球运动中还有许多不同的技巧实践中，运动员通过网前吊球技术刻意延长稳定时间（低初速下可达180ms），使羽毛球以羽毛朝前的非稳定状态飞行，从而干扰对手准确击打球头。再例如吊球（轻击羽毛球使其刚过网并快速下坠）则通常需要一个较小的初速度（U0≈10~20 m/s）。

羽毛球在稳定飞行过一段时间后会进入快速减速阶段，在此过程中，由于高阻力特性，羽毛球迅速减速，并在达到峰值高度时近乎垂直下落。羽毛球的非典型轨迹被称为撞上"空气动力墙"，这一术语描述所有具有高初速-终端速度比的抛射物的共同特性。羽毛球的该比值经测算为17.5，远高于大多数球类运动：足球（1.7）、高尔夫（1.9）、网球（3.3）[8]。在25-200 km/h速度范围内，羽毛球所受阻力可达重力的50倍[9]。尽管具有高阻力特性，高水平比赛中羽毛球仍能保持初始速度的80%，表明其承受的极端力学负荷。基于Subramaniyan[10]观测的飞行路径，羽毛球速度与其阻力减速之间呈现反向对数关系。

图8 羽毛球的典型飞行轨迹

物理不好的同学其实也不用担心，只要多加练习，不用公式也可以精准掌握落点。但最重要的是，羽毛球带给我们的健康和快乐。

参考文献：

[1] Brody H. The physics of tennis. III. The ball–racket interaction[J]. American Journal of Physics, 1997, 65(10): 981-987; Brody H. Physics of the tennis racket II: The''sweet spot''[J]. American Journal of Physics, 1981, 49(9): 816-819.

[2] kumosakana, 什么是击球甜区？—— 甜区背后的物理学, https://www.bilibili.com/video/BV1wn4y1R7Uq/?spm_id_from=333.1391.0.0&vd_source=a8039a6261cd205fbae64ef48673ecc4 [EB/OL]. 2024.

[3] Fabio Bocchi, 网球拍“甜区”中的物理学, http://cn.comsol.com/blogs/the-physics-of-tennis-racket-sweet-spots[EB/OL]. 2015.

[4] Zhu Q. Expertise of using striking techniques for power stroke in badminton[J]. Perceptual and motor skills, 2013, 117(2): 427-441.

[5] 潘慧炬,胡振浩.人体鞭打动作的力学模型[J].浙江体育科学,1990,(06):17-21.

[6] 冰王说球. 挥拍秘籍之心法口诀（总结篇）, https://zhuanlan.zhihu.com/p/52436956, [EB/OL]. 2018.

[7] Cohen C, Texier B D, Quéré D, et al. The physics of badminton[J]. New Journal of Physics, 2015, 17(6): 063001.

[8] Woo T, Alam F, Kootsookos A. The scientific development of badminton shuttlecocks[J]. Sustainability and Sports Science Journal, 2024, 2(3): 149-165.

[9] Phomsoupha M, Laffaye G. The science of badminton: game characteristics, anthropometry, physiology, visual fitness and biomechanics[J]. Sports medicine, 2015, 45: 473-495.

[10] Subramaniyan R. Effect of local conditions on the flight trajectory of an indoor badminton shuttlecock[D]. Bangalore, India, 2008.

编辑：紫竹小筑

本文转载自《中科院物理所》微信公众号

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