小乐数学科普：这些数学方程式正在大幅削减美国的电费——译自Simons Foundation西蒙斯基金会网站

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对波的数学基础研究导致了“景观函数”的发展，该函数迅速彻底改变了节能LED灯泡的工程设计。

图源：Francesco Carta fotografo

作者：Thomas Sumner（科学传播者和编辑）2025-3-24

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-4-11

说到灯泡，你脑子里浮现的可能是托马斯·爱迪生近150年前发明的那种白炽灯泡。这些灯泡的能效低得惊人。只有大约5%的能量被转化为可见光，其余的都以热量的形式浪费掉了。如此低效，以至于用这些灯泡在简易烤箱里烤饼干比用它们照明更节能。

过去几年，白炽灯已逐渐被LED灯取代，LED灯的能耗仅为白炽灯的十分之一，却能产生同等程度的亮度。仅在2018年，LED灯的普及就为美国家庭节省了约147亿美元的电费 https://www.energy.gov/eere/ssl/led-adoption-report 。到2035年，预计累计节省金额将达到 8900亿美元 https://www.energy.gov/eere/ssl/ssl-forecast-report 。

现代LED惊人的能效，很大程度上归功于纯数学领域近年来的突破。与应用数学不同，纯数学并不以应用为目的——它是为了产生新的数学知识而进行的基础研究。2012年，数学家斯维特拉娜·梅博罗达（Svitlana Mayboroda）和物理学家马塞尔·菲洛什（Marcel Filoche）发表了一篇关于波的数学的里程碑式研究论文 https://www.pnas.org/doi/pdf/10.1073/pnas.1120432109 。他们提出了一个他们发明的数学对象，称为景观函数（landscape function）。该函数可以预测波（例如声波）在非均匀结构环境中的行为。

这项研究解决了该领域自1950年代以来一直困扰研究人员的最大难题之一。当时，梅博罗达和菲洛什并不知道他们的景观函数将具有多么革命性且广泛的应用前景。

“我们一开始并没有想过要生产更高效的LED，”明尼苏达大学明尼阿波利斯分校和苏黎世联邦理工学院的教授梅博罗达说道。“但一旦你发现了一个强大的数学概念，你就可以把它应用到任何地方。”

2018年，梅博罗达成为西蒙斯波局域化合作项目 https://cse.umn.edu/wave 的创始负责人。这项由西蒙斯基金会资助的合作项目，在梅博罗达和菲洛什关于景观函数的研究基础上，继续探索其未来发展方向。“我们从纯数学的极致，走向了实验物理和材料工程的极致，”梅博罗达说道。

短短几年间，景观函数已成为LED发光层材料设计中不可或缺的利器。得益于这一概念，物理学家们可以使用计算机计算特定材料的性能，而无需反复试验和制造不同的方案。合作项目首席研究员吉姆·斯佩克（Jim Speck）表示，在景观函数问世之前，所需的计算时间极其漫长。

“这彻底改变了计算效率，”加州大学圣巴巴拉分校材料科学教授斯佩克说道。“它的速度提高了1000倍。多亏了景观函数，一些我们以前（除非特殊情况）无法做到的事情，现在变得非常可行。”

一旦你发现数学中一个强大的概念，你就可以把它应用到任何地方。

——斯维特拉娜·梅博罗达（Svitlana Mayboroda）

利用景观函数，工程师们填补了所谓的“绿色缺口”，即节能LED只能发出红光或蓝光，而不能发出绿光。这三种颜色组合在一起形成白光，这意味着景观函数对绿光LED的改进降低了许多照明应用的能源需求。

菲洛什强调，这些令人难以置信的突破唯有基础研究才能实现。他引用了商学院教授兼作家奥伦·哈拉里（Oren Harari）的一句话：“电灯并非源于对蜡烛的不断改进。” 引申开来，“LED的发明并非源于对灯泡的不断改进，”菲洛什说道。他是此次合作的首席研究员，同时也是巴黎高等工业物理与化学学院（ESPCI）朗之万研究所的国家科学研究中心主任。

景观函数的影响如今也蔓延到了其他领域，例如对蛋白质振动以及空气如何流经肺部的研究。梅博罗达表示，这一概念的广泛重要性，正是物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner，1902 - 1995）所说的“数学的不合理有效性”的一个例子 https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/wigner.pdf 。

梅博罗达表示，如果没有美国政府（尤其是能源部）以及西蒙斯基金会等私人机构对数学和基础科学的投资，这些革命性的进步以及更低的能源成本是不可能实现的。“基础研究的资助使这一切成为可能，”她说。“为了实现根本性的颠覆，为了真正发明一些东西，你必须放弃为实现现有工程目标而付出的明确努力。”

一盏白炽灯泡。中间的灯丝加热后发光。

图源：Josch13/Pixabay

让光出现

白炽灯的问世本身就是一场革命。它比长期以来照亮我们家居的蜡烛、油灯和煤气灯有了巨大的改进。但白炽灯的设计决定了它的能效并不高。

在白炽灯泡中，电子穿过一根细细的电线（称为灯丝）。就像滚下山坡的球一样，电子一开始具有较高的电势能，但由于灯丝阻碍电子流动，最终电势能降低。这种能量差必然会转移到某个地方——在这种情况下，电能会转化为热能。在标准白炽灯泡中，灯丝会迅速升温至约2500摄氏度。这种灼热的温度使灯丝发出可见光，但几乎所有能量都以热能的形式浪费掉了。

LED（发光二极管的缩写）采用更直接的发光方式。它们旨在将电能直接转化为光子。它们通过将电子与空穴配对来实现这一点。空穴是原子或材料中电子本应存在但却不存在的空位。虽然空穴并非传统意义上的粒子，但物理学家可以将其视为粒子。

当电子在适当的条件下，在存在空穴的情况下失去能量时，它会以光子的形式释放能量。当电子失去能量且附近没有空穴时，能量通常会转化为少量热量。因此，目标是以正确的方式将空穴和电子聚集在一起。这是通过一种科学家称之为量子阱的特殊材料层来实现的。这些材料将电子和空穴聚集在一起，这意味着更多的电子与空穴结合产生光而不是热量。

调整这些量子阱的性质并非易事。你希望将粒子聚集在一起，但又不希望它们聚得太好以至于永久地卡在原地（使材料变成电绝缘体）。在LED发展的大部分时间里，工程师们通过艰苦的反复试验、测试各种成分和制造方法，最终开发出量子阱。他们的梦想是，有朝一日能够用计算机预测某种材料作为发光量子阱的性能。然而，即使使用现代超级计算机，所需的计算量也极其庞大和困难，以至于这种计算方法对大多数系统来说都是不可行的。当然，除非出现能够改变游戏规则的数学突破。

图源：Lucy Reading-Ikkanda/西蒙斯基金会

打造更好的灯泡

在接下来的几年里，菲洛什和梅博罗达为该项目引入了更多研究人员，并改进了景观函数。其中包括菲洛什当时在法国巴黎综合理工学院的同事克劳德·韦斯布赫（Claude Weisbuch），他是第一个意识到景观函数可以应用于无序半导体的人。菲洛什和梅博罗达与麻省理工学院的戴维·杰里森（David Jerison）、明尼苏达大学的道格拉斯·阿诺德（Douglas Arnold）以及巴黎南大学的盖伊·戴维（Guy David）合作，设计了一种景观函数的变体，可以精确预测电子在系统中的定位位置以及相应所具有的电势能。

“同一个数学方程或概念可以描述非常多样化的现象，”梅博罗达说。“特别是，我们意识到我们发现的概念，即景观的概念，也适用于量子世界。”

这是物理学界翘首以盼的突破。相比之前需要反复求解复杂量子物理方程来计算所有可能的波频率的方法，运行局域化函数可以更快速地预测材料的局域化。斯佩克表示，以前在工作站计算机上需要一年时间才能完成的任务，现在只需几天即可完成。

“一切都进展得非常快，”他说，“我们开始在日常工作中运用这些景观计算”，以预测材料的局域性。

通过新的计算，物理学家们对LED中一种材料如何有效地定位电子有了惊人的发现。在LED中，不同材料的层层叠放，就像蛋糕的层层堆叠一样。“量子阱就像糖霜，”斯佩克说道。此前，物理学家们假设量子阱中的原子层应该是平的。借助景观函数，他们发现了一种更优的设计：六面体金字塔可以穿透量子阱，帮助电子和空穴就位。尽管人们早就知道这些特性存在于材料中，但它们一直被视为需要避免的缺陷。

“在结构中引入这些形态特征是异端邪说；它们被认为是不好的，”斯佩克说道。“现在我们非常努力，利用景观函数和实验来设计这些缺陷，以实现最佳的电效率。这填补了绿光LED的空白。”他表示，现在绿光LED的效率比以前提高了约33%。

需要多少个灯泡才能改变世界？

LED革命的影响远不止减少我们的电费。在缺乏电网的地区，耗电的白炽灯通常不被人们选择。人们转而依赖传统的照明方式：火。然而，获取所需的燃料既费时又费钱，而且明火还会造成严重的安全隐患。而LED所需的能量非常低，只需连接在一块小型太阳能电池板上的电池即可供电。

“令人震惊的是，在真正欠发达国家，有多少收入用于照明，以及在LED照明出现之前，有多少人因燃烧燃料照明而死于火灾，”斯佩克说。

斯佩克表示，LED的创新还有更多等待着他。他和其他材料科学家正在利用景观函数来探究LED效率的提升空间。虽然这听起来在物理上似乎不可能，但他预测，实现100%效率的LED是可能的。也就是说，LED产生的光能与其消耗的电能一样多。但这并非极限。未来，LED的效率可能会更高，甚至可以从周围环境中吸收热量来产生更多的光。“这就是梦想，”他说，“一台发光冰箱。”

西蒙斯波局域化合作项目将于今年结束。从各方面来看，这项合作都取得了成功。合作成员Hugo Duminil-Copin（雨果·度米尼尔-柯平）荣获2022年菲尔兹奖，另一位合作成员Alain Aspect（阿兰·阿斯佩）荣获2022年诺贝尔物理学奖。然而，波局域化工作并不会随着合作的结束而结束。菲洛什、梅博罗达及其同事将继续拓展数学和基础科学的边界。

“对我来说，最精彩的是数学发现，以及与世界上最优秀的人合作，”梅博罗达说道。“最精彩的时刻仍然是你发现了一些你从未见过的东西，无论它是否适用于任何现实世界的问题。我们成功地创造了一些颠覆性的东西，无论你从数学、物理学、材料工程，还是希望从未来许多其他应用的角度来看待它。”

参考资料

https://www.simonsfoundation.org/2025/03/24/these-mathematical-equations-are-slashing-americas-electric-bills/

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