迈向意识的（元）数学理论：体验的普遍（映射）属性

Towards a (meta-)mathematical theory of consciousness:universal (mapping) properties of experience

迈向意识的（元）数学理论：体验的普遍（映射）属性

https://arxiv.org/pdf/2412.12179

摘要

意识（主观）体验贯穿我们的日常生活，然而，关于意识理论的普遍共识仍然难以达成。整合信息理论（IIT）是一种突出的方法，它主张主观体验的存在（第0公理），来自一个内在的因果相关单元系统，并且具有五个基本属性（公理1-5）：内在性、信息性、整合性、排他性和组合性。然而，尽管IIT的某些方面得到了实证支持，但鉴于这些公理的非正式表述以及其对特定数学实例化（即所谓的后设）的依赖，这些公理的必要性仍然不明确。本文提出的范畴论方法试图纠正这种情况。范畴论是一种元数学，旨在使形式结构之间的关系形式化，从而便于进行“普通”数学研究。通过这种方式，意识的五个基本属性围绕更少的元数学原则进行组织，以便与IIT进行比较。特别是，范畴论通过其“普遍映射属性”来表征数学结构——所有结构实例的唯一存在条件。因此，公理1-5与体验的普遍映射属性有关，从而得出了“意识是一种普遍属性”的口号。

1 引言
意识（主观或现象学）体验贯穿我们的日常生活，而意识的“难题”在于解释为什么这些主观体验会以这种方式被感受（Chalmers, 1995）。尽管经过了数千年研究，但仍未形成普遍接受的理论。一个受到广泛关注的理论是整合信息理论（IIT，Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024；Tononi, 2015），该理论主张意识体验源于一个内在的因果单元系统。IIT作为一个形式化（数学化）的意识理论的一个吸引人之处在于，它通过六个公理（或被认为是每个体验所必需且无可辩驳的属性）来描述现象，接下来将简要概述这些公理。

IIT从（0）存在公理开始，简单地断言意识体验是存在的。其他五个公理描述了这种体验的基本属性：（1）内在性——体验是第一人称的，存在于主体中，而不是其他观察者；（2）信息性——是一种特定的体验，而不是一种泛化的体验；（3）整合性——在某一时刻，存在一个不可还原的单一体验，而不是几个分离或独立的体验；（4）排他性——体验具有明确性，排除了其他可能的体验；（5）组合性——体验由不同的（关系性）方面组成，其结构决定了体验的感受方式（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024；Tononi, 2015）。公理0-5对应于六个数学后设（以及指导原则），这些后设通过物理状态的扰动来确定意识体验的数量和质量，这些物理状态的操作性定义是因果效力——简而言之，意识的基底由物理单元构成，这些单元“必须产生并产生差异”（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024）。

尽管IIT的某些方面得到了实证支持（Consortium等人，2023），但IIT仍被批评为“不是一个公理化理论，要么是因为它不符合公理化的标准，要么是因为它未能对意识理论施加实质性约束”（Bayne, 2018）。尽管如此，IIT仍在通过升级定义后设的操作程序来加强其公理化。最新版本的IIT（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024）提供了更精确的定量方法来衡量一个系统中存在多少意识体验，以及更精确的定性评估这种体验的感受方式，因为这种因果结构是物理系统所固有的，从而为IIT作为一个公理化理论提供了更强有力的论证。

尽管取得了这些进展，但IIT作为意识理论仍然存在两个一般性问题。首先，当核心理论假设和原则难以与依赖于理论应用的辅助假设和条件区分开来时，操作性方法就会出现问题，尤其是在心理学领域（例如，参见Halford, Wilson, Andrews和Phillips, 2014，第1-4页，关于认知心理学的背景）——还可以参考关于经典主义（符号系统）与联结主义（神经网络）认知理论的系统性辩论（Fodor和Pylyshyn, 1988；Smolensky, 1988），以及关于辅助假设的随意性问题（Aizawa, 2003）。其次，对于大型系统，后设的计算过程是不可行的，需要在这些情况下引入额外的假设和启发式方法（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024），而这反过来又与第一个问题相呼应，模糊了核心假设/原则与依赖性假设/原则之间的区别。

为了纠正这些问题，朝着一个形式化的公理化意识理论迈进，灵感来源于意识的元问题（Chalmers, 2018, 2020）与范畴论（Leinster, 2014）之间的类比，后者是一种元数学（Eilenberg和Mac Lane, 1945），稍后将详细阐述。元问题和难题被认为是有联系的：“我们有理由希望，元问题的解决将为难题提供重要的启示。”（Chalmers, 2018, 第8页）。范畴论是一种元数学理论，通过精确化形式结构之间的关系来促进“普通”数学的研究（Eilenberg和Mac Lane, 1945）。通过这种方式，范畴论为意识的（元）数学理论提供了一种清晰的方法，因为结构之间的关系通常是明确定义的——尽管当前工作并非针对元问题。为此，IIT的公理（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024）被视为一个起点，以指导选择范畴论概念，如本文其余部分所述。这种对IIT公理与范畴论概念的基本比较激发了（形式化的）范畴论处理方法：IIT的公理围绕三个（元理论）原则展开，这些原则将在下一节中介绍。本文最后一节将讨论这种范畴论方法。附录中提供了额外的解释，包括相关的数学定义和示例（附录A），以及关于IIT和范畴论中使用的术语（如公理、属性和原则）的比较/对比（附录B）。

1.1 IIT的公理（重访）：基本属性

IIT认为意识与系统内部的因果关系有关（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024）。IIT的基础是存在公理——第0公理——以及每一个意识体验的五个公理性属性（如Albantakis等人，2023所述，引用文本并强调如下）。

1. 存在。 “体验存在：有某种东西。”

2. 内在性。 “体验是内在的：它为自己而存在。” 体验总是第一人称的，独立于外部观察者。

3. 信息性。 “体验是具体的：它就是这一个。” 意识的某一刻之所以具有信息性，是因为它从许多其他可能的体验中挑选出一个具体的体验，而不是一种泛化的抽象。

4. 整合性。 “体验是统一的：它是一个整体，不可还原为独立的体验。” 体验不能被分割成独立的意识，例如，对一本红色书的体验不能被分离（解体）为对红色和书的独立体验。

5. 排他性。 “体验是明确的：它就是这个整体。” 被体验的现象排除了当时可能被体验的所有其他现象。

6. 组合性。 “体验是有结构的：它由区别及其相互关联的结构组成，这种结构决定了体验的感觉方式。” 体验的某一刻由各种体验方面及其关系组成。

公理1-5被认为是每一次意识体验的基本属性。所有六个公理都通过转化为相应的后设进行操作化。这种转化按照公理的顺序进行，因此从相应的存在后设开始，即通过指定一个所谓的基底模型来实现，该模型被操作化为一个转移概率矩阵（TPM），编码意识的基底（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024）。将其他五个后设应用于该模型，展开一个因果（Φ-）结构，可能具有偶然（附加）属性，用于IIT的应用（详见Grasso, Juel, Hendren和Tononi, 2024年6月30日，关于IIT概念的进一步细节和划分）。IIT公理、属性和后设之间的关系如图1所示。例如，现象空间的“延伸性”是通过对合适的基底模型应用后设而推导出来的，这与拓扑空间的公理具有形式上的对应关系（Haun和Tononi, 2019, 2024），接下来将进行总结。

1.1.1 空间现象学（示例）：偶然属性

一个说明公理、（基本和偶然）属性以及后设之间关系的示例是空间体验的现象学（Haun & Tononi, 2019, 2024），其中假设夜空涉及以下内容：

• 一个“扩展的画布”，人们可以在其上区分

• “斑点”（画布的区域），这些区域是

• “扩展的”（构成斑点的排列），具体表现为：

• • “相连的”，作为与其他斑点的重叠部分，这些重叠部分也是斑点；

  • “融合的”，作为与其他斑点的合并部分，这些合并部分也是斑点；

  • “包含的”，一个斑点在另一个斑点内，或者与自身相等；

• 以及体验的其他“子结构”，例如位置和距离。

从公理的角度来看：（0）现象空间存在，（1）由主体体验/为体验，（2）通过挑选出特定的斑点及其关系的配置，（3）作为一个单一的斑点集合，（4）排除其他可能的斑点集合，针对那一刻的体验，（5）由不同的斑点及其连接、融合和包含组成，以及其他可能的偶然（子结构）属性。这些现象学属性是通过首先指定一个网格状的基底（编码为转移概率矩阵，TPM），并根据后设定义的计算程序进行应用来确定的。通过这种方式，展开的（因果）Φ-结构对应于组合属性，其子结构产生了现象学空间的偶然属性，包括扩展性、连通性等（Haun & Tononi, 2019, 2024）。

这种对现象学空间属性的（非正式）描述在集合论术语中有一个形式上的对应物，假设扩展的画布是一个点的集合，而斑点是该画布的子集，因此，相连、融合和包含分别对应于集合的交集、并集和包含关系。如果假设斑点是拓扑意义上的开集，那么现象学属性的扩展性就对应于拓扑空间的组合结构（Haun & Tononi, 2019）。

拓扑空间（定义1）通过开集的集合捕捉邻近性的概念（评注2），它也是一个有序集合（定义3），其中开集通过包含关系（部分）有序（评注4）。由此可以得出与IIT公理的形式对应关系：（0）拓扑空间（X, T）的存在，（1）作为某个更大集合内部的，与主体相关，（2）在X上众多可能的拓扑中选择一个特定的拓扑T，（3）作为不可分割的开集集合T，（4）排除X上其他可能的拓扑，以及（5）由T中的开集U、V及其包含关系V⊆U组成。现象学上的扩展性感受在形式上就是拓扑结构，其“区别和将它们联系在一起的关系”是开集（包括交集和并集）和包含关系。

1.2 对比：以主观为先与以客观为先

IIT的核心观点是一种以主观为先的现象学方法，这与意识研究中其他领域以及自然科学中普遍存在的以客观为先的方法形成鲜明对比（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024；Tononi, 2015）——例如，自我中心与他心中心的参考点，或第一人称与第三人称的视角。因此，IIT并没有从拓扑空间的公理出发去推导空间的现象学，而是从一个作为主体的单元系统出发，从它们内在的因果关系中推导出空间的现象学（拓扑）品质。同样，这种以主观为先的方法也被用来为时间的现象学流动（作为有向空间）提供IIT的解释（Comolatti, Grasso & Tononi, 2024）。

不同现象体验的公理和（基本或偶然）属性可能与数学结构的公理和属性相似，但不必完全相同。例如，现象学空间的“子结构”如现象学距离，暗示了与度量空间（定义5）的形式对应关系。每一个度量空间都是一个拓扑空间——这为现象学距离作为现象学空间的子结构提供了依据——但一个拓扑空间不必是度量空间（评注6）。从形式化的角度来看，这种不对称性与IIT的观点一致，即五个属性（公理1-5）是必要的（基本的），但不一定足以解释某些现象体验（偶然属性）——拓扑空间的公理是必要的，但不足以定义度量空间；反之，度量空间的公理是（共同）充分的，但不是拓扑空间的必要条件。类似的情况也出现在尝试将现象学空间形式化为可测空间（定义7）时，与拓扑空间（评注8）相比，通过测度空间（定义9）来捕捉其他属性，例如现象学的生动性或确定性（评注10）。在数学中，公理通常被视为某种结构的必要且充分条件。每个结构的实例可能具有从公理推导出的额外属性，这些属性作为定理存在，或者仅适用于某些实例。例如，在群论中，每个群的一个公理（或基本属性）是具有单位元，但单位元的唯一性是从公理推导出的定理（或偶然属性）；存在唯一群同态映射到/来自每一个群的属性，仅适用于单元素群。确定这些属性的计算方法（或模型）更类似于IIT的后设。

尽管数学可能被视为客观的，但数学的发展也被视为源于认知的具身化（Lakoff & Núñez, 2000）以及概念体验的形式化（Lawvere & Schanuel, 2009; Mac Lane, 1986）。因此，数学体验并不一定完全脱离以主观为先的视角。这里所采用的方法可以被视为与这种观点相调和，即在某个阶段，一个人的主观体验需要与他人的体验相协调。

1.3 朝向意识的形式化公理

这种元层面的方法（如前所述）是从元理论的角度来审视现象体验的属性——可以类比为通过解决元问题来接近意识的难题（Chalmers, 2018, 2020）。范畴论是一种自然的元数学选择，因为拓扑空间是范畴论意义上的范畴实例，其中交集、并集和包含关系涉及特定类型的范畴理论结构。此外，不同数学结构（如拓扑空间和度量空间）及其（元层面）范畴之间的关系在范畴论术语中通常被很好地理解。这里采用的方法是从范畴（元）理论原则中提炼出现象体验的公理。接下来将阐述这些原则及其与IIT公理的关系。

范畴论的一个核心原则是通过所谓的**普遍映射属性（UMP）**来表征数学结构，即所有结构实例满足的唯一存在条件（Leinster, 2014; Mac Lane, 1998）。为了提供一些直观理解，有序集合中的最大（最大值）元素满足UMP：该集合中的每个元素都小于或等于最大元素。例如，在扩展包含无穷大的自然数集合中，无穷大满足UMP，作为最大的数。同样，最小（最小值）元素也满足UMP：该集合中的每个元素都大于或等于最小元素。例如，零满足UMP，作为最小的自然数。IIT采用两个原则来确定因果结构：最大/最小存在原则，即非常简单地说，构成或产生差异的单元的最大集合或最小划分（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024）。因此，这些用于确定因果结构的原则与UMP有关。例如，通过后设推导出的现象学空间的偶然属性——连接和融合——分别是集合交集和并集的UMP。

这里采用的元理论方法是将IIT公理与UMP的形式化联系起来。图2提供了一个关于IIT与UMP之间关系的总结，作为参考指南。

2 范畴论的公理与原则

从理论（IIT）向元理论（范畴论）的转变面临许多选择，因为可能存在许多抽象的途径。换言之，“好的一般性理论并不追求最大化的普遍性，而是追求恰当的普遍性。”（Mac Lane, 1998, 第108页）。此外，最直接的路径并不总是最短的路径，这在范畴论的发明中得到了体现：“正如Eilenberg-Mac Lane首次指出的那样，‘范畴’被定义是为了能够定义‘函子’，而‘函子’被定义是为了能够定义‘自然变换’。”（Mac Lane, 1998, 第18页）。决定“恰当的”普遍性或“最短的”路径取决于手头的任务。

因此，在阐述接下来的方法和选择之前，需要先做两点初步说明：特别是，重点关注组合性公理，而不是其他公理。

首先，回顾一下IIT的起点是断言“体验存在”（第零公理——存在），然后断言“它为自己而存在”（第一公理——内在性），其操作性定义是“因果效力”，编码为单元之间的转移概率矩阵（第零后设——基底），以区分输入/输出单元与对体验有贡献的单元（第一后设——候选复合体）。IIT的核心观点是，现象体验的品质（感受）是内在的因果结构，即单元之间必须“产生并产生差异”的信息关系，其中“信息”取其词源学意义上的含义，即“赋予特征或本质；成为特征品质”（Merriam-Webster, n.d., 重点在此），而不是信息论（Shannon, 1948）中关于通信的含义（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024）。从范畴论的角度来看，这种IIT观点立即将因果关系暗示为某个范畴（稍后定义）中的箭头（也称为态射）——“A导致B”的概念是从单元或状态A到单元或状态B的箭头，记作A → B，作为系统中因果关系集合的一个范畴。此外，赋予形式（in-form）意味着将A的形式（形状）传递给B，暗示了一种特定类型的箭头。因此，第零后设对应于指定一个范畴作为基底模型，第一后设则区分了范畴中对意识体验是外在还是内在的候选部分。

其次，尽管将因果关系解释为箭头是直接的，但在为现象体验的公理化理论选择范畴以及区分箭头的方式上，仍然有许多选择。因此，这两个公理/后设在这方面并不特别具有信息性。另一方面，现象学空间的例子展示了体验的品质如何与组合性公理/后设相关，作为拓扑空间的结构。拓扑空间本身就是范畴，而集合的交集和并集是满足UMP（如前所述）的结构的简单实例，这些结构的“单元”是通过包含关系联系在一起的集合。这种更具信息性的IIT与范畴论之间的联系提示了另一种前进的方向，即通过从现象学空间的例子出发，以范畴论的视角看待IIT，初步聚焦于组合性公理以及以UMP形式表达的最大/最小存在原则，从而迈向一个元数学理论。下一节将介绍为在后续章节中采用这种方法所需的范畴论基础知识。

2.1 范畴的公理

范畴（定义11）在结构上类似于（有向）图（评注12），由一组称为对象的实体（类似于节点）和一组对象之间的“有向关系”组成，这些关系被称为箭头、映射或态射（类似于边）。然而，范畴具有额外的结构，即一种对箭头对的操作，称为组合，以及一组“自反关系”，称为恒等箭头或简称为恒等，它们分别对应于路径和环路（自指向边）的额外边，而这些是图不一定具有的。范畴和图的这种公理化揭示了另一种不对称性：每一个范畴都对应于一个（有向）图，但并非每一个图都对应于一个范畴（参见前面提到的度量空间和拓扑空间）。范畴的典型例子是集合与函数的范畴，记为Set（示例13），以及集合与包含关系的范畴，记为Set⊆（示例14），它是Set的一个子范畴（评注15）——类似于子集——体现了范畴意义上的子结构的正式概念。拓扑空间是范畴（示例16），有序集合也是如此（示例17）。

在拓扑空间中，开集的交集和并集是特殊类型的范畴普遍构造（或结构），这些构造由普遍映射属性决定（评注18）。某些范畴具有某些类型的普遍构造。两个重要的例子是范畴积（定义19），在Set中是笛卡尔积（示例20），在Set⊆中是集合交集（示例21），以及范畴余积（定义22），在Set中是不相交并集（示例23），在Set⊆中是集合并集（示例24）。因此，交集和并集在拓扑空间中是积和余积。另外两个重要的普遍构造的例子是终结对象（定义25），在Set中是任意单元素集合（示例26），在拓扑空间中是全集（示例27），以及始对象（定义28），在Set和任何拓扑空间作为范畴中是空集（示例29）。所有普遍构造在同构意义下是唯一的，因此通常被称为“那个”普遍构造（评注30），因此一个范畴可能有多个特定普遍构造的实例（示例31）。

从集合论到范畴论的公理版本的转换暗示了推动范畴论方法的两个（元理论）原则：（1）普遍性——通过普遍映射属性识别结构，例如积和终结对象；（2）对偶性——箭头反转，例如余积和始对象，也称为余终结对象。这两个原则是相互交织的：例如，积和余积是对偶的（评注32），并且每个箭头只有一个（反转的）方向，这些在范畴论对现象学空间公理的重新表述中得到了体现，接下来将进行探讨。

2.1.1 现象学空间的范畴论公理

在将拓扑学概念重新表述为范畴论之后，IIT的六个公理与现象学空间的形式化范畴论概念之间的对应关系变得直观（作为初步尝试）：

1. 存在：作为范畴的存在，即拓扑空间作为范畴（X, T）的存在。

2. 内在性：作为某个更大范畴内部的范畴（X, T）。

3. 信息性：作为特定的开集和包含关系的范畴（X, T），而不是某种抽象的范畴。

4. 整合性：作为X的开集集合（拓扑T）。

5. 排他性：排除X上其他可能的拓扑T'。

6. 组合性：由对象（开集）和箭头（包含关系）组成，这些对象和箭头作为区别和结合关系，通过积（交集）和余积（并集）在范畴中产生空间的扩展性感受。

因此，夜空的扩展性是通过具有区别的斑点（对象）获得的，这些斑点通过连接（积）、融合（余积）以及包含关系（箭头）相互关联。

2.1.2 公理的初步评估

这种现象学空间公理的形式化（范畴论）版本清楚地表明，大部分“工作”是由组合性公理承担的。与集合论版本类似，其他公理似乎（或多或少）是不同方式地诉诸于某个特定拓扑空间的存在，作为范畴。范畴论方法使这种状况更加明显，因为结构和结构保持的（同态）映射的集合通常是一个范畴（评注33），例如拓扑空间的集合Top，其箭头是连续函数。每一个拓扑空间，作为Top中的一个对象，是特定的，即它就是那个对象而不是其他任何东西（信息性），并且不能被还原而不变成另一个对象（整合性）。

然而，显然IIT的公理意图承担更多工作，因为并非每一个拓扑空间都对应于一种现象体验。这种额外的工作是通过后设来完成的，通过因果相互作用的度量和最大化/最小化指导原则，通过展开因果结构来识别体验的品质，从而将空间的现象学导出为一个特定的拓扑空间（Haun & Tononi, 2019）。然而，后设并没有形式化地与公理相关联，因此IIT的公理在这方面并没有（形式化地）发挥作用。

相比之下，范畴论通过普遍映射属性形式化了“最佳”结构的概念（例如，交集和并集），如前所述。最大和最小存在原则暗示了某种普遍映射属性，因为一个有序集合（如果存在这样的元素）作为范畴的最大和最小元素分别是终结对象和始对象。这种公理化也扩展到范畴的（元）层面，其对象是其他范畴，例如在拓扑空间的范畴中，离散空间作为始对象（作为另一个范畴）。因此，接下来将转向这种元理论原则。

2.2 两个范畴论（元理论）原则

集合的交集和并集是由两个普遍的（元理论）原则决定的，这两个原则在范畴论应用于数学及其他领域的结构或计算中无处不在：（1）普遍性——基于普遍映射属性的构造，以及（2）对偶性——基于箭头反转的构造。这些原则通过范畴作为参考框架，在划分内部与外部结构（即在范畴内“存在”的对象和箭头，与在范畴外的）以及相关的视角中密切相关，这类似于IIT中关于单元划分内和划分间因果关系的概念（IIT Wiki, 2024）。需要注意的是，一个情境中的“外部”在另一个情境中可能是“内部”，因为范畴可以是更大范畴中的对象；同样地，普遍构造也是如此，以下面的视角为例。采用范畴论方法的一个优势是，这种视角的变化及其关系在范畴论中是明确定义且被理解的。

内部视角 回顾一下，在集合与包含关系的范畴Set⊆中，集合A和B的交集是一种普遍构造，它提供了一个简单的例子来概述基于普遍映射属性的构造原则。这种构造需要某种方式来选择A和B以及一个作为交集的候选集合，即一种类似索引的映射来关联范畴，因为A和B是Set⊆内部的。范畴之间的映射是一个函子（定义34）——参见图同态（评注35）——而索引集合的范畴类比是一个图（示例36），即一个函子，它挑选出对象和箭头的一个子集合——参见索引集合（评注37）。函子之间的比较，或者说是函子之间的映射是一个自然变换（定义38，示例39）。（函子和自然变换也构成一个范畴，评注40）。具体来说，A和B的交集是一个同时包含于A和B的集合，即一个包含不少于出现在A和B中所有元素的集合，且不多于这些元素。这种比较是一个锥（定义41），在这种情况下，它由一个集合Z（评注42）作为交集的候选，以及包含关系Z⊆A和Z⊆B（示例43）组成。与其他候选的比较是一个锥同态（定义44），在这种情况下是另一个包含关系（示例45）。而“最佳”候选是极限（定义46），在这里是集合的交集（示例47）。（终结对象也是一个极限，评注48。）极限是这种锥的范畴中的终结对象（评注49），因此交集是一种普遍构造。极限作为普遍锥体现了普遍构造的内部视角。

外部视角 极限的（等价的）外部视角以普遍态射的形式定义（定义50）。从这个视角来看，极限是从对角函子到图的普遍态射（评注51），因此交集由作为图的集合对（A, B）的普遍态射给出（示例52）。这种内部与外部的区别是相对于一个范畴而言的。例如，作为普遍态射的极限的外部视角也有一个相对于逗号范畴的内部视角（定义53），因为每一个普遍态射在适当的逗号范畴中要么是终结对象，要么是始对象（评注54）。这种外部关系的内部化对于内在性公理至关重要，因为现象体验是为体验主体而存在，而不是为某个外部观察者，这容纳了系统内和系统间子系统之间的相互作用。所有普遍构造，包括余积（示例55），都以这种方式对偶化（评注56）。图（以及一般地，箭头）是形式上/概念上的“广义元素”，因此图与IIT中信息意义上的因果关系之间的形式联系在本节的引言中已经预示（评注57）。

2.2.1 现象学空间的范畴论公理（重访）

在引入普遍性和对偶性原则后，重新审视现象学空间的公理。范畴论中有几种密切相关但又不同的对偶性概念：作为对立范畴中的定义或构造（如本节所述），或者作为一对对立箭头的对偶（稍后使用）。内部与外部的区别也可以被视为后者的实例。

观察到，关于现象学空间的组合性公理本质上是对某些类型的普遍构造的主张，具体而言是积和余积。此外，全集也是一种普遍构造，具体而言是拓扑空间范畴（Top）中的终结对象。公理1-5与某种普遍构造有关。构造在“环境”范畴中是普遍的，即在该范畴内，构造满足普遍映射属性。具体而言，全集X在给定的拓扑中是普遍的，作为环境范畴。拓扑结构在特定的（基底）子空间集合中是普遍的，作为环境范畴，即从这些子空间的开集子集中恢复拓扑T作为终结对象。

因此，关于公理，存在一个拓扑空间（存在），它在空间的集合中（内在性）由这些子空间之间的普遍映射属性决定（信息性），作为单一的拓扑结构（整合性），排除其他不满足普遍性唯一存在条件的可能拓扑（排他性），由开集的积和余积及其包含关系组成（组合性）。

2.2.2 公理的初步（再）评估

唯一存在条件形式化地支持了最大和最小存在原则的解释。作为比较，集合A和B的交集是集合P = A ∩ B，以及两个包含关系P ⊆ A和P ⊆ B，恢复了同时出现在A和B中的所有元素。任何包含比P更多元素的候选集合P'，即P ⊂ P'，对于恢复这些元素是充分的，但不是必要的（P'满足存在性，但不满足唯一性）。因此，P是最小的这样的集合——参见最小存在原则，即“存在的东西不多于其最小存在”（Grasso, Juel等人，2024年6月30日）。相反，任何包含比P更少元素的候选集合P''，即P'' ⊂ P，对于恢复这些元素是必要的，但不是充分的（P''满足唯一性，但不满足存在性）。因此，P是最大的这样的集合——参见最大存在原则，即“存在的东西是其最大存在”（Grasso, Juel等人，2024年6月30日）。同样的情况也适用于并集作为余积的对偶。在这两种情况下，最大和最小原则对应于同一唯一存在条件的两个方面。依赖于应用后设的最大和最小原则的信息性和整合性公理似乎可以从UMP中推导出来。同样，排他性公理也似乎是从UMP中推导出来的，作为最大复合体。

然而，现象学空间的例子只是用于发展（元）理论的一个应用。其他例子可能会涉及其他公理。特别是，一个给定的空间可能与不止一种体验相关联，例如，夜空与白天的天空。这种情境促使我们引入第三个原则，该原则在前面的分析中是隐含的，即构造被限定在特定的范畴中，这揭示了这些IIT公理可能是独立的。这种局部性原则通过另一种构造被明确化，接下来将介绍。

2.3 第三原则：局部性

空间可能包含超出扩展性的其他现象，这些现象也可能与邻近性有关，并且会随着时刻而变化。将属性局部化到整个空间的特定区域的正式概念是一种映射，它将“数据”附加到拓扑空间的开集上，称为预层（定义58），这是一种函子（评注59）。一个简单的例子涉及一系列视觉显示，就像在心理物理学实验中，刺激呈现在显示屏幕的不同区域上，可以被视为一个预层（示例60）。从局部到全局的分配过程涉及开集的并集，以覆盖更广泛的空间区域（定义61），直至整个空间（评注62），即预层的全局截面。如果通过“拼接”局部数据获得足够多的全局截面，这些数据在其开集的交集上是一致的，那么预层就是一个层（定义63），例如，当刺激在显示屏幕的重叠区域中出现时，它们似乎重合在一起（示例64）。层是一种满足某种普遍映射属性——唯一存在条件的普遍构造（评注65）。满足唯一性和存在性条件的预层是层（评注66）。包含/限制映射是对唯一存在条件的约束。预层和层构成了范畴（评注67）。

2.3.1 现象学空间的范畴论公理（再次重访）

这种从局部到全局的关系可以用谚语“红天在夜晚，水手心欢畅；红天在清晨，水手需警惕”来说明，以预层的形式呈现（见图3）。预层可以表示为关系数据库表（Abramsky, 2013），即表头对应于拓扑空间的点，每一行的值表对应于相应列的开集上的截面——表中的一行对应于一个全局截面。关于这句谚语，表头（两列）构成了天空的西部和东部区域（作为拓扑空间的点），而行则表示每个区域在傍晚和清晨的颜色（作为附加数据）。通过沿其西和东列对表进行限制（投影），展示了该区域在傍晚和清晨的颜色。列上的值是相应开集的截面，而每行（两列表）是整个空间的全局截面。这句谚语本质上传达了对水手的潜在含义，因此与愉悦和警告（不祥）相关的情感作为全局截面及其对每个区域的情感限制，作为同一空间的表，这是一个预层态射。（关于预层的数据库视角的更多例子，参见Abramsky & Brandenburger, 2011，关于测量的背景，以及Phillips, 2018, 2019，关于认知的背景；另见Rosiak, 2022。）

在形式化表述中，拓扑空间是一个包含两个点的空间，分别对应于西部和东部区域，Sky = {W, E}，具有离散拓扑，{∅, {W}, {E}, Sky}。数据包括天空区域的颜色，黑色（B）和红色（R）。在这种情况下，预层将颜色分配给区域，而全局截面对应于一天中的时间，表示为（R, B）对傍晚，意味着西边的天空是红色的，东边是黑色的，以及（B, R）对清晨，意味着东边的天空是红色的，西边是黑色的。（每对分别限制为第一和第二元素，即西部和东部的截面。）这个颜色的预层可以与一个现象学预层相关联，其全局截面分别是愉悦和警告，作为一个预层态射。这些全局截面可能对西部和东部有特定的限制，作为这些体验的独特方面，例如愉悦可能限制为西部的温暖，警告限制为东部的危险。这句谚语作为一个预层涉及两个体验时刻。每个时刻是一个子对象（定义68），即函子背景下的范畴论类比子集。函子背景下的子对象是一个子函子（示例69），因此预层背景下的子对象是一个子预层，即表中行的子集。（这种范畴论类比子集可以扩展到其他类型的子结构，评注70。）

需要注意的是，“红天”例子中的预层不是层，因为这两个预层都缺乏成为层的（必要且充分的）全局截面。直观上，预层并没有提及西部和东部天空同时为红色或黑色的时刻，正如谚语也没有提及这两种情况。谚语“排除”了这两种情况。技术上而言，不存在一个全局截面限制为西部的红色（局部截面）和东部的红色——行（R, R），也不存在一个全局截面限制为西部的黑色和东部的黑色——行（B, B）；同样适用于愉悦和警告的（值域）预层。此外，第一个预层的全局截面以它们所限制的截面的并置形式出现，这类似于经典组合性的概念，即当复杂符号被实例化时，其组成部分（符号）也会被“实例化”（参见Fodor & Pylyshyn, 1988）。然而，对于第二个预层，全局截面并不是这样出现的，因为“温暖”并不是“愉悦”的一个“组成部分”。从概念上区分，“黑球”（即黑色的球）与“黑球”（即排斥某人）相对比——后者的含义并不是由“黑”和“球”的含义组合而成。第二种情况更接近IIT中的“整合性”概念（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024；Oizumi, Albantakis & Tononi, 2014）。这些差异涉及预层与层的对比，以及自然投影与限制映射的更广泛对比，这些内容在补充材料（附录B）中进行了更详细的讨论。

2.3.2 公理的评估

从拓扑空间转向预层（拓扑空间上的函子）揭示了当预层被视为关系数据库表时，组合性、整合性和排他性之间的区别，这可以被视为“第二个变化维度”。整个空间的行表（即全局截面）通过列的包含关系“水平”组合（参见组合性），并通过将行集合并为一个集合“垂直”整合（参见整合性），但并非所有可能的行都被包含（参见排他性）。因此，现象体验对应于一个预层（存在），它是预层范畴内部的（内在性）。全局截面是特定的（信息性），作为单一集合（整合性），并且与其他可能的预层和非全局截面区分开来（排他性）。预层可能有零个、一个或多个全局截面，但在这每种情况下，预层的全局截面集合只是一个集合。每个全局截面由构成底层拓扑的开集上的截面组成，这些截面之间的关系由预层（函子）对相应开集包含关系的作用决定，即限制映射。离散空间和不可分辨空间是给定集合的两种极端拓扑，因此分别对应于“最”和“最少”的组合形式。无论拓扑如何，预层都包含一个映射到单一全局截面集合的映射，这可能是空集、单元素集合或其他。在这种“一个整体”的意义上，整合性公理涉及全局截面集合（但见下文），而组合性公理涉及每个全局截面如何通过限制映射与它们的（局部）截面相关联，这些限制映射由拓扑决定。通过这种方式，整合性和组合性公理通过局部性被区分开来。它们与UMP的关系将在下文概述。

预层在其子预层范畴中是终结的，由子对象分类器给出（定义71，示例72）。预层的分类器说明数据在局部与全局上“真实”的程度（关于在认知中的应用细节，参见Phillips, 2024）。因此，全局截面集合可以被确定为最大子对象——参见开集X是X的子空间集合中的终结子空间。子对象分类器和最大子对象都是普遍构造，因此整合性涉及UMP。每个开集只有一个截面的预层是终结层，即该空间上层范畴中的终结对象，这是另一种普遍构造。终结层的子对象集合（及其子对象-对象关系）与底层拓扑空间同构（参见例如Leinster, 2011），因此通过恢复拓扑空间而不是其他任何空间，空间的现象学扩展性被纳入预层中，这是一种UMP（排他性）。对于给定的拓扑空间，层范畴是预层范畴的子范畴，它们通过一种称为伴随（定义73，示例74）的UMP相关联。伴随被提议作为感受与报告之间的形式化关系（Tsuchiya, Saigo & Phillips, 2023）。一对左伴随和右伴随函子彼此是普遍的，并且在对立意义上是“对偶的”（评注75）。伴随组成一个自函子，即到/自同一范畴的函子（评注76），因此以伴随形式的普遍性-对偶性原则构成了系统内部的映射（内在性）。因此，五个公理性属性涉及UMP，无论是原始形式还是对偶形式；在局部或全局上下文中，从断言体验是一个预层（存在）开始，从而完成了公理的范畴形式化（见图2）。

关于这种形式化有一些需要注意的地方。到目前为止，关于范畴与后设的联系几乎没有提及，因为本文的重点是公理，作为一种绕过操作化方法潜在陷阱的方式（参见引言）。然而，后设对公理性属性提出了更具体的主张，例如整合性和排他性公理，因此在补充材料（附录B）中进行了更详细的比较。

3 讨论

本文提出的范畴论方法有助于通过将IIT的公理与元理论原则联系起来，澄清IIT公理的地位：IIT的公理和原则与各种普遍映射属性（UMPs）有关。需要注意的是，这种联系并非还原论的，因为UMPs是不同类型。相反，这里的核心观点是展示如何使这些公理和原则在形式上更加精确，以便在IIT内部以及与其他理论和应用之间进行比较，接下来将对此进行讨论。

3.1 一些共性和差异

这种范畴论方法在公理上趋于一致，但在它们之间的关系上存在分歧。回顾一下，IIT公理/后设的一个核心特征是它们从存在到组合的顺序排列。对于后设而言，作为一种确定体验数量和质量的计算程序，每一步都必须按顺序进行，从而对后设施加了（线性/全序）的顺序，进而也对公理作为其操作化实现施加了顺序。数学结构的公理通常不会以这种方式排序，除非是为了惯例或概念上的清晰。相应的范畴论版本也没有排序。然而，（余）极限通过图的形状紧密相关。此外，每一个有限极限都可以通过两种类型的极限构造而成，即积和等化子（等价地，终结对象和拉回）。积和等化子分别是形状为一对对象和一对箭头的图的极限（等价地，终结对象和拉回是形状为空范畴和一对汇聚箭头的图的极限）。对偶地，这种情形也适用于有限余极限。因此，（余）极限的UMP通过形状相关，但不一定通过顺序。

IIT的另一个显著特点是，它能够在任何期望的空间或时间粒度上展开因果结构（IIT Wiki, 2024），例如，在考虑神经相关性（NCC）时，候选复合体中考虑的物理单元的基础水平，比如神经元及其活动的脉冲序列（参见Koch等人，2016年关于NCC的综述）。IIT将一个物理系统与其内在因果关系系统等同起来，尽管这种等同不必是一一对应关系，因为物理单元的一个子集可能对应于由后设确定的一个单一区别（IIT Wiki, 2024）。这种对应关系暗示了涉及物理系统范畴和内在因果关系范畴的另一种伴随情形。（也有研究采用层理论方法来建模神经系统，例如Barbero等人，2022年；Hansen和Gebhart, 2020年。）IIT认为，体验与对系统自身产生并产生差异的关系有关。这种情形与（左和右）伴随作为自函子的组合相比较。

“层次”的概念在IIT和范畴论的视角中都多次出现。对于IIT，内在信息（内在性后设）是在复合体内的单元之间计算的，而整合信息（整合性后设）是针对单元的划分（集合）计算的。因此，IIT有一种层次感，即单元集合内部与集合之间的因果关系。本文提出的范畴论视角也有（更高层次）的层次概念，即对象作为其他范畴中的范畴，以及函子作为映射箭头的箭头。现象体验涉及子系统内部和子系统之间的关系，正如我们预期的那样，如果将体验的组合性视为公理。

尽管IIT和这种范畴论方法之间存在相似之处和差异，但它们并不被视为可以直接比较/对比的竞争性理论，因为一个（IIT）被认为是一种理论，而另一个（范畴论）被认为是一种元理论。

3.2 超越IIT

元理论的价值在于理论之间的关系，就像范畴论对数学的价值一样。在这方面，这种范畴论视角可以通过多种方式超越IIT，具体取决于将什么视为基础层面。例如，IIT的一个重要含义涉及底层神经基底变化对现象体验的影响，比如视网膜盲点（scotoma）的结果（Olcese等人，2024）——现象学距离应该随着由大脑损伤诱导的因果关系变化而变化（Ellia等人，2021；Haun & Tononi, 2019）。这一预测目前正在上述对抗性合作中积极进行实证检验，与意识的预测加工理论形成对比。然而，这种差异是通过指定两种不同的基底模型获得的。范畴论方法超越IIT的一个方式是捕捉这些模型之间的关系。拓扑空间通过连续函数相关联，而每一个连续函数都会在相应的预层（或层）范畴之间诱导一对伴随函子。因此，范畴论（元理论）方法表明，这种变化通过扩张空间的函子相关联。这种情况与认知心理学中概念的分块/去分块观念相比较，以层范畴之间的函子来表达（Phillips, 2021）。

在IIT应用于现象学（有向）时间流动的研究中也出现了类似的情况（Comolatti等人，2024）。空间的现象学（Haun & Tononi, 2019）和时间的现象学是通过将相同的后设应用于不同的基底模型来展开的，这些模型被认为对应于空间与时间不同品质的不同因果结构。时间的模型与空间的模型密切相关，但作为一种“有向”的拓扑空间（Comolatti等人，2024）。从范畴论的角度来看，这种情况暗示了一种伴随情形，即某些拓扑空间与某些有序集在一个方向上相关，而有序集与拓扑空间在另一个方向上相关，作为一对伴随函子，从而通过UMP为时间赋予现象学方向。

当前的方法受到意识的元问题（Chalmers, 2018, 2020）与范畴论作为元数学（Eilenberg & Mac Lane, 1945）之间平行关系的启发。作为一种元理论，这种范畴论方法可能为元问题提供一些启示，元问题在于解释为什么意识的问题看起来是一个“难题”，而元问题看起来是“容易的”（Chalmers, 2018, 2020）。有人可能简单地诉诸于一种模式化的事实，即模式的数量远少于这些模式的实例数量——参见关系数据库，其中（按设计）只有一个元模式用于存储任何数据库状态的所有可能模式（Nijssen & Halpin, 1989）。然而，元问题中的不对称性在于，信念状态（例如，我相信苹果是红色的）似乎不会像现象状态（例如，红色苹果的体验）那样引发“内省不透明性”（参见Chalmers, 2018, 2020，对围绕这一点的理论，包括IIT的反驳）。本文提出的范畴论方法暗示了有限集与无限集上的拓扑之间的差异（例如，实数上的区间拓扑）。在后一种情况下，通常没有单元素开集，因此必须取包含感兴趣点的越来越小的邻域序列的余极限来确定截面（数据）——参见“视觉的不可穷尽的丰富性”（Haun & Tononi, 2024）。无限空间上的预层不能通过关系数据库模式给出。相比之下，构建在有限空间上的概念知识，以单点上的数据作为开集的唯一元素，可以直接评估而不取极限——参见对“思想语言”的层理论方法（Phillips, 2024）。实际上，这种差异被用于将层理论应用于感知的实际应用（Robinson, 2014）。

元理论应该是关于理论的理论，因此也应该说明现有理论之间的联系。在数学和计算机科学中，现有理论已经很成熟，范畴论的作用是严格的。而在意识领域，由于对基础的共识较少，范畴论的作用可能更多是促进或调和的，特别是在问题出现时。例如，以现象学为重点的IIT应该如何与其他意识理论联系起来（Del Pin等人，2021；Doerig等人，2021；Seth & Bayne, 2022；Signorelli等人，2021）？现象结构与感知/概念结构之间的联系是什么？（作为区分，感知状态是由外部刺激触发的，而现象状态也可能由梦境和幻觉引发。）为了说明，范畴/层理论已被用于评估一系列线索-目标学习任务中的组合性感知/概念结构（Phillips, 2018）。基本思想是，可以通过对新线索（字母字符对）的泛化（正确反应）来评估概念结构。报告意识到任务底层乘积结构的参与者表现出高于偶然水平的表现。学习过程中意识的变化对应于另一种普遍构造，涉及预层和层之间的关系，称为层化或层化作用，它通过连续函数改变底层拓扑（Phillips, 2018）。

这些转变表明了使用这种范畴论方法将现象结构和概念结构以及相关理论联系起来的方式——参见关于“思想语言”的感知结构和概念结构的联系（Phillips, 2024）。现象系统被置于感知系统和概念系统之间，作为两种“维度”对立的伴随情形：（1）主观与客观，以及（2）内部与外部（见图4）。在“水平方向”上，对立观点的调和是将主观优先（IIT）置于一边，将客观优先（科学的主导观点）置于另一边（另见Lawvere & Schanuel, 2009, 第84-85页），而在“垂直方向”上，心理学作为一门研究心理状态的科学（即“关于”其他状态的状态）与免除这种需求的其他科学相对立（Wilson, 1999）。伴随关系被认为在弥合现象学与可报告性之间的差距方面很重要（Tsuchiya等人，2023）。

3.3 回顾与展望

本文提出的方法主要关注（范畴论的）普遍构造，尤其是普遍映射属性，这引出了一个更广泛的问题：为什么采用这种方法？非常简短的回答是，这与对认知系统性属性的解释存在明显的平行关系，即解释为什么拥有某些认知能力意味着必须拥有某些其他认知能力。经典（符号系统）的解释依赖于一种特定的组合性概念（Fodor & Pylyshyn, 1988），但在为什么认知系统应该以这种方式具有组合性方面并不清晰（Aizawa, 2003）。范畴论的解释认为，这种组合性形式源于相关的普遍构造（Phillips & Wilson, 2010），而这些构造本身是由一种结构化的“梯度下降”决定的——普遍构造是相关范畴中的终结（或初始）对象，因此可以通过从范畴中的任何对象通过箭头遍历来获得，这类似于测度空间的结构类比，其中存在全局最小值但没有局部最小值（见Phillips, 2021; Phillips & Wilson, 2016，关于视角和形式化程序）。通过这种方式，我们可以将意识的存在本身（存在公理）视为一种普遍构造的搜索结果，而不仅仅是某种断言，这种断言可能出现在觉醒的瞬间。（然而，这种与系统性问题的平行关系并不假设概念结构和现象结构也是组合性的。）

然而，在这种平行关系的另一端，是如何（从实证和理论上）确定“普遍”的范围的问题。一个范畴中的普遍构造可能在另一个范畴中不存在。一种类似IIT后设的蛮力方法是从一个“大”范畴（候选复合体）开始，迭代尝试所有可能的子范畴，并通过某种度量比较普遍构造。如果没有蛮力方法，可能会遇到“局部最小值”，因为一个范畴中的普遍构造可能不如另一个范畴中的普遍构造理想。或者，可以借鉴窄与宽感受（qualia）的概念（Balduzzi & Tononi, 2009; Kanai & Tsuchiya, 2012），将窄感受视为开集上的数据，而宽感受视为全集上的数据，并检验窄感受是否可以通过层条件“拼接”在一起，这是一种UMP（Youngzie, Tsuchiya & Monti, 2024）。（关于其他范畴论方法应用于IIT，见Northoff, Tsuchiya & Saigo, 2019; Tull & Kleiner, 2020。）

预层和层的范畴论公理化表明，人们不必局限于集合值的（预）层——具有积和等化子（或拉回和终结对象）的范畴就足够了，例如向量空间或测度空间的范畴，这可能有助于公理化其他类型的现象体验。现象体验的“原子”不必仅仅是那些产生/产生差异的区分集合（IIT Wiki, 2024），而可以是空间本身。人们或许可以期望这种形式化的公理化能够扩展为一种“周期表”，用于组织感受结构（Tsuchiya, 2024）。将IIT公理用UMP表示是富有启发性的，因为有限（余）极限与它们的图的形状有关。通过这种方式，感受可能围绕图或拓扑空间的形状组织起来。

IIT的后设决定了何时内部因果关系构成一种现象体验，因此IIT并不意味着泛心论（Skrbina, 2003）——“然而，与泛心论不同，IIT明确地表明，并非一切都有意识。”（Tononi & Koch, 2015）。同样，并非每一种心理状态都被认为是具有句法/语义组合性的状态（Fodor, 1975; Fodor & Pylyshyn, 1988）；范畴论中的每一种构造也不一定是普遍构造。尽管范畴论具有广泛的适用性，且常被引用的口号是“伴随无处不在”（Mac Lane, 1998, 第97页），但本文提出的方法并不声称意识无处不在。相反，普遍映射属性（如层条件）为评估这些差异提供了额外的测试方法。在这种精神下，IIT的支持者可能会将这种方法视为一种指导，以开发更易于计算的方法，用于计算后设形式化后的意识体验的数量和质量。

在结束语中，提出意识的科学理论的核心问题在于，似乎必须为本质上是主观的（第一人称的现象体验）宣称一个客观的（科学的）理论，这看起来是一个悖论（Ellia等人，2021）。范畴论中的伴随情形概念，尤其是以普遍态射形式的普遍映射属性，似乎提供了一种解决这一难题的通用方法。回想一下，对于一对函子 F:C→D 和 G:D→C，伴随情形 F⊣G 表明，对于 C 中的每一个对象 X，存在一个从 X 到 G 的普遍态射，以及对于 D 中的每一个对象 Y，存在一个从 F 到 Y 的普遍态射。回想一下，普遍态射将每一条箭头分解为一个共同的（中介）箭头和一条唯一的箭头的组合：对于伴随情形，从 X 到 G 的普遍态射表明，每一条箭头 f:X→G(A) 可以分解为 f=G(u)∘ηX，其中 G(u) 和 ηX 分别是唯一箭头和中介箭头（从 F 到 Y 的普遍态射也是如此）。中介部分被视为不变的（“客观的”）成分，而唯一箭头是变化的（主观的）成分。如果假设 C 是一个主观体验的范畴，而 D 是一个事件的范畴，那么从 X 到 G 的普遍态射捕捉到了这些事件对应体验的不变性（客观方面），即相应的中介箭头 ηX。通过这种方式，一个层面的主观性（范畴内的UMP）与另一个层面的客观性（范畴外的UMP）得以调和，因此拥有意识的范畴（元）理论账户的重要性由此而来，这就是口号：“意识是一种普遍（映射）属性。”

A 基础理论

A.1 集合

‍A.2 范畴

范畴论对“结构”有两种观点，相对于范畴而言：内部结构（第A.2.1节）和外部结构（第A.2.2节）。通过普遍映射属性定义或确定的构造是普遍构造，它们的对偶构造也是如此（第A.2.3节）。在范畴论的入门书籍中，至少隐含地提到内部与外部的区别，例如，“极限是关于范畴内部发生的事情。”（Leinster, 2014, 第107页，重点在原文中），随后极限的概念从伴随函子的视角重新审视（Leinster, 2014, 第6章）。在范畴论中，从多个视角为形式化概念提供定义的做法是常见的（参见，例如，Mac Lane, 1998）。这里强调这种区别的背景是IIT的内在性公理（Albantakis等人，2023；IIT Wiki, 2024），其中内部与外部因果关系的差异在决定体验的数量和质量方面起着关键作用。关于这里使用的范畴论、层理论和拓扑斯理论概念的其他介绍也可供参考（参见，例如，Goldblatt, 2006；Lawvere & Schanuel, 2009；Mac Lane & Moerdijk, 1992；Rosiak, 2022）。关于高阶范畴论的介绍见此处（Grandis, 2020）。

A.2.1 范畴的内部结构

将范畴中的对象与图中的顶点相比较，箭头（从定义域到值域）与图中的边（从源到目标）相比较，恒等箭头与环路相比较，定义域/值域关系与源/目标关系相比较，以及（兼容的）箭头的组合与（相连的）边的连接相比较。然而，范畴和图之间存在两个本质区别。首先，范畴中的每一个对象都与一个恒等箭头相关联，但有向图不一定为每个顶点都包含一个环路。其次，对于范畴中每一对兼容的箭头 (f,g)，都存在一个箭头 g∘f，由组合操作给出，但对于从顶点 v 到顶点 w 的每条路径，不一定存在从 v 到 w 的对应边，即图的签名（元组）中没有对应于恒等（id）和组合（◦）的映射。任何满足这些条件的实体及其关系的排列都是一个范畴。

B 一些概念比较

在IIT和范畴论（以及数学一般）中，公理、后设和原则的概念在相关的但不完全相同的意义上被使用。这里也给出了一些其他比较，特别是关于后设的。

B.1 关于公理、后设和原则

“公理表达了每一个可想象的体验所不可辩驳地具有的属性——因此是基本属性。”（Grasso, Hendren, Juel & Tononi, 2024年6月30日）。存在公理之所以“不可辩驳”，是因为尽管人们可以怀疑公理的真实性，但怀疑本身也是一种体验，因此体验必须存在。同样，其他公理性属性也是不可辩驳的：例如，“每一次体验都是统一的——一个整体，不可还原为独立的体验（整合性公理）。如果我们试图通过想象一种非统一的体验来反驳这一点，我们最终会想象出两个或多个体验，而每一个体验本身确实是一个整体，不可还原为独立的体验。”（Grasso, Juel等人，2024年6月30日）。这些公理是从第一人称体验中提炼出来的，因此IIT具有以主观为先的现象学观点，这被认为是IIT的特征，并且在意识研究中是独特的，与其他所有科学中普遍存在的以客观为先的观点形成对比（IIT Wiki, 2024）。IIT还将基本属性（公理1-5）与其他偶然属性区分开来，这些偶然属性可能出现在某些但并非所有意识体验中，因此被认为对意识的存在并非必不可少。

从数学意义上讲，公理（通常）是某种结构的必要且充分条件，尽管在某些情况下可以使用不同但等价的公理集合。例如，任何满足范畴公理的事物及其关系的集合都是一个范畴。然而，并非每个范畴都必须有一个终结对象。如果一个范畴有一个终结对象，那么该对象在唯一的同构意义下是唯一的。因此，范畴的公理对应于基本属性，而终结对象的存在性/唯一性则对应于IIT意义上的偶然属性。

后设被假定为将公理表达为物理系统的属性——意识的基底：“在IIT方法中，后设是通过将体验的基本属性（公理）表述为意识基底的物理属性而获得的——仅从因果效力的角度理解。”（Grasso, Juel等人，2024年6月30日）。IIT方法是一种从内省到表述的反复过程，旨在建立现象结构（例如空间的扩展性）与Φ-结构（或因果结构）之间的同一性，即“它们之间的因果区别和关系”（Hendren, Grasso, Juel & Tononi, 2024年6月30日）。

对于数学而言，后设要么是公理的同义词，要么是一个猜想（类似于假设），即一个有待证明或证伪的命题。

IIT的最大化和最小化原则被视为范畴论原则的实例，即通过普遍映射属性来确定或定义某种上下文（范畴）中所有实体（对象）的结构，即一种唯一存在条件。

B.2 关于其他比较

提供了一个关于其他概念的基本比较（见表1），作为未来工作中更详细范畴论处理的指南。例如，一个系统（或基底）对应于一个范畴，其对象和箭头分别与单元和因果关系的概念相对应；通过这种方式，自关系与内射（endomorphism）对齐。然而，这种比较既不是决定性的，也不是规范性的，因为IIT和范畴论的概念通常有多个方面，可以从一个方面以另一个方面来理解。特别是，范畴论提供了几种密切相关但又不同的组合概念，例如，箭头 f:A→B 和 g:B→C 的组合作为箭头 g∘f:A→C，对象 A 和 B 的组合通过UMP作为积（对象）A×B，或者受限积（拉回对象）A×CB 等等。此外，函子保持箭头的组合，而（共）极限保持函子——根据一般伴随函子定理，它们是（左）右伴随——保持积、拉回等形式的组合（参见，例如，Leinster, 2014）。正如其他地方提到的（Phillips, 2024），符号与其物理实现之间的经典物理实例化映射（参见Fodor & Pylyshyn, 1988）本质上是一个函子。这种经典对应关系也暗示了与IIT中识别（外在的）物理结构和（内在的）因果结构概念的比较。如果IIT中这种物理-因果关系也被假定为保持（共）极限，那么根据伴随函子定理，这种关系必然是一种伴随情形，因此这里这种UMP的相关性。对于现象学空间的相对简单情况，IIT中包含、连接和融合的概念与范畴论中的包含（子对象）、积和余积概念直接对齐。另一方面，IIT中由区别和关系组成的因果结构还包括其他方面，例如因果范围（Grasso, Juel等人，2024年6月30日），这些在正文中没有考虑。（关于在建模实验数据背景下范围的详细描述，参见Leung, Cohen, Van Swinderen & Tsuchiya, 2021。）更详细的比较在下一节中给出。

另一个比较是IIT中的“展开”概念，这立即让人联想到函数式编程语言（例如Haskell）中的“展开”操作符（Jones, 2003），它基于范畴论中的F-（共）代数概念，即（共）递归的范畴论抽象和泛化，这在计算机科学中是众所周知的（参见，例如，Bird & De Moor, 1997）。这些以及更复杂的方案，例如相互（共）递归（Hinze & Wu, 2016），基于相应范畴中的（初始）终结（共）代数，因此与UMP有关（关于在认知中的应用，参见Phillips & Wilson, 2012）。

B.3 关于区别和关系

因果结构的两个主要组成部分是区别和关系。这些概念与形式化的范畴论概念“span”进行了比较，span是一种特定类型的（楔形）图，用于范畴中。一个楔形是一个具有两个发散箭头的范畴，即 −1←0→1，也记作 Λ。楔形的对偶是一个V形图，即 −1→0←1，它用于拉回（pullback）的定义。

B.3 关于区别和关系

因果结构的两个主要组成部分是区别和关系。这些概念与形式化的范畴论概念“span”进行了比较，span是一种特定类型的（楔形）图，用于范畴中。一个楔形是一个具有两个发散箭头的范畴，即 −1←0→1，也记作 Λ。楔形的对偶是一个V形图，即 −1→0←1，它用于拉回（pullback）的定义。

B.4 关于整合性和排他性

整合性和排他性的公理密切相关，但根据公理的解释方式，它们并不完全相同。特别是，从数学意义上讲，整合性（例如用于确定函数下的面积）暗示了一个余极限。以简单的说明为例，两个集合 U,V⊆X 的“面积”（以维恩图表示）仅仅是它们的并集，作为集合范畴 Set⊆ 中的余积（对象）U+V，这自动排除了维恩图中所有其他元素，即 X 中的补集 X∖U∩V。并集也可以通过从 (U,V) 到对角函数的普遍态射给出，如交换图所示。

然而，在IIT的意义上，整合性还涉及“不可解体”，例如“blackball”（排斥）不能被分解为“black”（黑色）和“ball”（球）的含义。正如“红天”例子所展示的，整合性和排他性在这种意义上密切相关——即作为一个层（sheaf）与作为一个非层的预层（presheaf）之间的区别，这已被提议用于现象体验（Youngzie等人，2024）。预层 F 与其“最近”的层之间的差异由另一种UMP给出，形式是从 F 到包含函子 Sh(X)⊆Psh(X) 的普遍态射，如交换图所示。

这种情形与IIT相似之处在于，两个对元素 b 产生相同效果的单元 a 和 a′ 被合并为同一个区别。这一步的一个重要方面是关于粒度：越来越精细的物理区别并不一定对意识有贡献（例如，分子不一定有意识），因为这些更小的物理系统的“原子”可能以相同的方式起作用（即产生并产生差异）——宏观层面的相互作用可以覆盖微观层面的相互作用（Hoel等人，2016）。共等化子以UMP的形式表达了这种情形。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2412.12179