新定义“共同体函数”，浅谈数学分类思想

新定义“共同体函数”

浅谈数学分类思想

我们在学习数学的过程中，经常遇到需要分类的情形，在2022版新课标课程学业质量标准表述中，不同学段都有对分类的要求，从小学课堂上“分一分”，到初中课堂上的分类讨论，体现了义务教育阶段数学教学中，分类思想的重要性。

分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。 分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。 分类讨论思想，贯穿于整个中小学数学的全部内容中。

即使在高中学段，它的重要性仍然不可替代，下面以一道高中自主招生压轴题为例进行说明：

题目

解析：

01

(1)简单描述为，一个函数，在某个范围内存在最大值和最小值，它们差的一半即为新函数——共同体函数。

从图象上来解读，一段有限的函数图象，分别存在最高点和最低点，这两点之间距离的一半作为新的函数——共同体函数。

①对于函数y=4044x，这是一次函数，图象是一条直线，当t=1时，自变量的范围为1/2≤x≤3/2，由一次函数增减性，当x=3/2时取最大值M=6066，当x=1/2时取最小值N=2022，所以此时共同体函数h的值为2022；

②对于函数y=kx+b，这仍然是一次函数，但由于一次项系数未知，因此增减性不明，所以需要分类讨论：

当k>0时，y随x的增大而增大，所以当x=t+1/2时取最大值M=k(t+1/2)+b，当x=t-1/2时取最小值N=k(t-1/2)+b，于是h=(M-N)/2=k/2；

当k<0时，y随x的增大而减小，所以当x=t-1/2时取最大值M=k(t-1/2)+b，当x=t+1/2时取最小值N=k(t+1/2)+b，于是h=(M-N)/2=-k/2；

02

(2)现在y=2/x是反比例函数，并且是第一象限内的一支，它的增减性是明确的，即y随x的增大而减小，此时需要考虑的是给出的范围x≥1，由于共同体函数本身也存在范围，左边界t-1/2应该在1的右侧，所以应该首先明确t的取值范围，即t-1/2≥1，解得t≥3/2；

当x=t-1/2时取最大值M=2/(t-1/2)，当t=t+1/2时取最小值N=2/(t+1/2)，所以h=(M-N)/2=4/(4t²-1)；

在t≥3/2前提下，h>0，我们利用小学时分数大小比较的方法来判断如何取最值：

分子一定，分母越小，分数越大。

4t²-1如何取最小值？考虑到这是一个二次多项式，利用二次函数最值探究方法，当t=3/2时4t²-1取最小值8，所以此时h=1/2；

03

(3)对于二次函数y=-x²+4x+k=-(x-2)²+k+4，增减性更复杂一些，对称轴是x=2，最大值是k+4，根据对称轴两侧增减性情况不同，所以又需要分类讨论：

确定分类依据前，需要明确的是对于区间t-1/2≤x≤t+1/2而言，是否包含对称轴x=2，以此为依据，初分三类：对称轴在区间右侧，对称轴在区间内，对称轴在区间左侧，对于第二类对称轴在区间内的情况，最大值可确定，但最小值需要比较两个边界点函数值大小，因此又细分为两类：左边界值最小、右边界值最小；

总共4种情形，分别讨论如下：

第一种：对称轴在区间右侧，如下图：

此时t+1/2≤2，解得t≤3/2，M=-(t+1/2-2)²+k+4=-(t-3/2)²+k+4，N=-(t-1/2-2)²+k+4=-(t-5/2)²+k+4；

所以h=1/2(M-N)=2-t，由t的取值范围可知h≥1/2，当t=3/2时，h取最小值1/2；

第二种：对称轴在区间内且左边界点取最小值，如下图：

此时区间中点t在2的左侧，即t≤2，同时满足t+1/2>2，所以t的取值范围是3/2

所以h=1/2(M-N)=1/2(t-5/2)²，对于函数h而言，开口向上，对称轴是t=5/2，在t的取值范围内，t=2最接近对称轴，所以t=2时，h取最小值1/8；

第三种：对称轴在区间内且右边界点取最小值，如下图:

类似第二种，此时区间中点t在2的右侧，即t>2，同时满足t-1/2<2，所以t的取值范围是2

所以h=1/2(M-N)=1/2(t-3/2)²，对于函数h而言，开口向上，对称轴是t=3/2，在t的取值范围内，t=2最接近对称轴，所以t=2时，h取最小值1/8，但t的取值范围中并不包含t=2，所以无法取最小值；

第四种：对称轴在区间左侧，如下图：

此时t-1/2≥2，解得t≥5/2，M=-(t-1/2-2)²+k+4=-(t-5/2)²+k+4，N=-(t+1/2-2)²+k+4=-(t-3/2)²+k+4；

所以h=1/2(M-N)=t-2，由t的取值范围可知h≥1/2，当t=5/2时，h取最小值1/2；

综上，四种情形讨论完毕，对于函数h而言，总共有两个最小值1/2和1/8，再取其中更小的最值1/8，根据题意，1/8=k+4，解得k=-31/8.

解题思考

本题难点在于第3问中t的取值范围如何分段，解法中采用的是四段，分别是t≤3/2，3/2

作为数学里重要的分类思想，义务教育阶段采取由浅入深的方式去培养，在小学低年段课堂上，一般采用“分一分”，并没有刻意强调分类依据，而是让学生根据自已的生活经验和已有的数学经验去分，只要合理都值得肯定，在这个基础上，随着数学学习的深入，对于数学比较有了更多方式之后，才开始确定分类依据，实现“按要求分类”，在此之后，分类思想才生长得更快，初中学段，无论是有理数分类、实数分类、线段分类、角分类、三角形分类等，其最底层的经验，来自一二年级时的“分一分”，通俗点讲，学生先学会用经验去分，再学会有依据地去分。如果学生面临一个数学问题探究时，没有想到去分类，说明在前面的学习过程中，积累的经验不足，这需要我们在课堂上充分调动学生动手动脑，解决“分不分”的问题；

关于分类的原则，前面提到的一个非常重要的原则是不重复不遗漏，这恰恰在初中学段，学生容易犯这种错误，首先这需要学生严密的数学逻辑，我们在课堂上需要以身示范，用正确的逻辑去教学，其次需要学生对数学概念理解更深，直至本质，才能准确进行比较，从而解决“分得对不对”的问题。